MODUL1—Voprosy—Zadachy-(STUD)—16c


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

3

из

12


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИ
СТ
И
КА


MODUL

N1

VOPROSY
+ZADACHY


Вопросы

на модуль

1.

Задачи математической статистики
.
Генеральная и выборочная совокупности
.

Объем
выборки и выборочны
е

характеристик
и.

2.

Дискретны
й

вариационный
ряд, статистический ряд
,
ранжирование
,

частн
ость
(относительн
ая

частот
а
)
полигон частот
.

3.

Интервальный вариационный ряд.
группирование статистических данных сл
у-
чайной величины?

Как строится гистограмма?

Какой смысл имеет гистограмма
относительных частот
?

4.

Как строится и какой вид имеет статистическая
(эмпирическая) функция распр
е-
деления?
Теорема В.И.Гливенко.


5.

Выборочное среднее и выборочная дисперсия

для дискретного вариационного
ряда, для интервального вариационного ряда

6.

Мода, медиана, начальный эмпирический момент порядка k, центральный эмп
и-
рическ
ий момент порядка k

7.

Неравенство Чебышёва.

Теорема (теорема Чебышева).

8.

Закон больших чисел в форме Чебышёва
.
Закон больших чисел в форме Берну
л-
ли.

9.

Определение и свойства точечной оценки.

Как определяется несмещенная

оце
н-
ка
?
Как определяется эффективная о
ценка? Как определяется состоятельная
оценка?

10.

Относительная частота как оценка вероятности
(несмещенная?, эффекти
в
ная?,

состоятельная
?).

11.

Эмпирическая функция распределения

как оценка функции распределения


е-
смещенная?, эффективная?, состоятельная?).

12.

Точе
чная оценка математического ожидания
.
Теорема

1
(

есть
состоятел
ь-
ная и несмещенная

оценка генеральной средней
)
.

MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

4

из

12


13.

Теорема

2
(
является
эффективной
,

несмещенной

оценкой для нормально
распределе
н
ной

случайной величины
)
.

14.

Точечные оценки дисперсии
.
Теорема 3.

(
Выборочная дисперсия

является
состоятельной, но смещенной оценкой генеральной дисперсии
)
.

15.

Исправленная дисперсия
.
Теорема .4.
(
Исправленная дисперсия

явл
я-
ется состоятельной и несмещенной оценкой для генеральной ди
с
персии
)
.

16.

Точечная оценка вероятности события
.
Теорема

5
.
(
Относительная ча
с
тота

появления события

в

испытаниях есть состоятельная, н
е-
смещенная и эффективная оценка вероя
т
ности
.

17.

Метод максимального правдоподобия

18.


Оценк
а

максимального правдоподобия для парамет
ра

распределения Пуа
с-
сона.


19.

Оценк
а

максимального правдоподобия для параметра

показательного ра
с-
пределения

20.

Оценк
а

максимального правдоподобия для
для параметров

и

но
р
мально
распределенной генеральной совокупн
о
сти.

21.

Оценк
а

максимального правдоподобия для для параметр
а

биномиально
го
ра
с-
пределени
я.


MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

5

из

12


Задачи

на модуль

Задача. 531. +542.

531. Заданы выборки из генеральной совокупности значений дискре
т-
ной случайной ве
личины х. Требуется: а) составить вариац
и
онный ряд; б)
составить таблицу частот; в) построить полигон частот.

1) 2, 1, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 3;

2)

3, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 4, 3, 1, 3, 4, 2, 1;

3)

4, 4, 1, 2, 1, 4
, 4, 1, 4, 3, 4, 3, 2, 4, 4, 1, 1, 2, 4, 4;

4)

4, 3, 4, 4, 1, 2, 4, 4, 3, 3, 1, 2, 4, 4, 3, 2, 4, 4, 3, 4.

+542.

Найдите выборочные: среднее
, дисперсию
, среднее квадр
а-
тическое отклонение
,

исправленные дисперсию

и среднее квадр
а-
тическое отклонение

случайной величины х по выборке 531 (1
-
4).

Ответ
.

531. +542
.


1)

а) 1, 2, 3, 4;


б)

i

1

2

3

4

i

0,15

0,25

0,5

0,1

1)
;
;
;
; 1)
;

2
)

а) 1, 2, 3, 4;


б)

i

1

2

3

4

i

0,25

0,25

0,25

0,25

2)
;
;
;
; 2)
;

3
) а) 1, 2, 3, 4;


б)

i

1

2

3

4

i

0,25

0,15

0,1

0,5

3)
;
;
;
; 3)
;

4
) а) 1, 2, 3, 4;


б)

i

1

2

3

4

i

0,1

0,15

0,25

0,5

4)
;
;
;
; 4)
.

MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

6

из

12


Задача.

532. +543.

532. Пятьюдесятью абитуриентами на вступительных экзаменах п
о-
лучены следующие количества баллов:

12, 14, 19, 15, 14, 18, 13, 16, 17, 12,

20, 17, 15, 13, 17, 16, 20, 14, 14, 13,

17, 16, 15, 19, 16, 15, 18, 17, 15, 14,

16, 15, 15, 18, 15, 15, 19
, 14, 16, 18,

18, 15, 15, 17, 15, 16, 16, 14, 14, 17.

Требуется: а) составить вариационный ряд; б) составить таблицу ча
с-
тот; в) построить полигон частот.

+543. Найдите
,
и

50 абитуриентами
, по выборке из задачи 532.

Ответ.. 532. +543.

1) а) 1
2
,
13
,
14, 15, 16, 17, 18, 19, 20;


б)


12

13

14

15

16

17

18

19

20


0,04

0,06

0,16

0,24

0,16

0,14

0,10

0,06

0,04

;
.

!!
Задача. 534. + 551.

534. Имеются следующие данные о размерах основных фондов ( в
млн. руб.) 30 предприятий:

4,2; 2,4; 4,9; 6,7; 4,5; 2,7; 3,9; 2,
1; 5,8; 4,0;

2,8; 7,3; 4,4; 6,6; 2,0; 6,2; 7,0; 8,1; 0,7; 6,8;

9,4; 7,6; 6,3; 8,8; 6,5; 1,4; 4,6; 2,0; 7,2; 9,1.

а) постройте интервальную таблицу частот с шириной интервала 2 (млн.
руб.).

б) постройте гистограмму.

+ 551. По данным задачи 534 вычислите выб
орочную среднюю разм
е
ра о
с-
новных фондов 30 предприятий двумя способами: а) по исхо
д
ным данным;
б) по интервальной таблице частот, приняв за значения размера основных
фондов середины интервалов.

Вычислите выборо
ч
ную дисперсию, исходя из
интервальной таблицы

частот.

MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

7

из

12


Ответ. 534. + 551

Интервалы


2
-

4

9

4
-

6

7

6
-

8

10

8
-

10

4

250
-

260

5

Итого

30

a)
;
б)
; в)
.

Задача. 537.+ 547. .

537. Задана интервальная таблица частот некоторой величины.

Требуется построить гистограмму:

1)

10
-
15

15
-
20

20
-
25

25
-
30

30
-
35


0,1

0,2

0,4

0,2

0,1


2)

2
-
5

5
-
8

8
-
11

11
-
14


0,24

0,40

0,20

0,16

+5
47. Найдите
,

и

по интервальной таблице частот, з
а-
данной в задаче 537 (1
-
2).

Ответ. 537.+ 547.

1) .
;
;
;

2).
;
;
.

Задача. 539. +548.

539. Результаты измерения роста 100 студентов приведены в следу
ю-
щей таблице:

Рост (см)

154
-
158

158
-
162

162
-
166

166
-
170

Число студентов

8

14

20

32



Рост (см)

170
-
174

174
-
178

178
-
182

182
-
186

Число студентов

12

8

4

2

а) Преобразуйте данную таблицу в интервальную таблицу ча
с
тот.

б) Выбрав середины интервалов за значение роста, составьте дискре
т-
ную таблицу частот.

548.Найдите выборочные числовые характеристики роста ст
у
дентов
по интервальной таблице частот, зад
анной в задаче 539.

MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

8

из

12



Ответ.539. +548.

a)

Рост

154
-

158

158
-

162

162
-

166

166
-

170

170
-

174

174
-

178

178
-

182

182
-

186


0
,08

0,14

0,20

0,32

0,12

0,08

0,04

0,02


б)

Рост

156

160

164

168

172

176

180

184


0
,08

0,14

0,20

0,32

0,12

0,08

0,04

0,02

;
.

Пример 1
. Дов_инт_для

по генеральной_ди
сперсии
σ
2



Пусть дисперсия нормально распределенной случайной величины х равна
0,25. По выборке объема n=25 найдено выборочное среднее
=52. Требуе
т-
ся найти доверительный интервал для неизвестного математического ож
и-
дания m, если
доверительная вероятность должна быть равна 0,95.

Решение
. Решаем уравнение 2Ф (t
) = 0,95, используя таблицу знач
е-
ний функции Лапласа (см. приложение). Для t

получим знач
е
ние 1,96. З
а-
тем находим концы доверительного интервала:



Таким образом, (51,804; 52,196)


искомый доверительный инте
р
вал с н
а-
дежностью 0,95; т.е.

р (51,804 < m < 52,196)

0,95.

Пример 2
. Дов_инт_ для

по выборочной_дисп

или


Найдите доверительный интервал для математического ожидания m но
р-
мально распределенной случайной величины, для которой по в
ы
борке объ
е-
ма n = 25 найдены выборочное среднее
= 2,4 и испра
в
ленная выборочная
дисперсия
= 4, если надежность должна ра
в
няться

= 0,95.

Решение
. Пользуясь таблицей (см. приложение), решаем ура
в
нение
2S(t
) = 0,95 и находим t

= 2,064. Тогда согласно (2) имеем:

MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

9

из

12




Искомый доверитель
ный интервал (1, 5744; 3,2256).

Задача № 554

Дов_инт_для

по генеральной_дисперсии
σ
2

(Ist
-
N5)

Найдите доверительный интервал с надежностью

для неи
з
вестного
математического ожидания m нормально распределенной случайной вел
и-
чины х, если известно среднее квадратическое откл
о
нение

и найдено
среднее

по выборке объема n.

1)


= 0,95,

= 2,

= 10, n = 25.

2)


= 0,95,

= 5,

= 14, n = 25.

3)


= 0,95,

= 5,

= 14, n = 16.



-

OTVET

.
554.

.


1) (9,216; 10,78); 2) (12,04; 15,96);



3) (11,55; 16,45);

Задача № 555
.
Дов_инт_ для

по

или

--
(Ist
-
N5
-
)
-

Известен объем выборки (n) для случайной величины с но
р
мальным
распределением, выборочное среднее (
), исправленное выборочное сре
д-
нее квадратическое отклонение (
). Требуется найти доверительный инт
е
р-
вал для математического ожидания m с наде
ж
ностью

= 0,95.

1)

n = 16,

= 4,2,

= 2,15.

2)

n = 25,

= 6,4,

= 1,08.


-

OTVET
.

555.

.


1) (3,06; 5,34); 2) (5,
95; 6,85).

MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

10

из

12


Задача № 556.

.
Дов_инт_ для

по

или

--
(Ist
-
N5
-
)
-

Из генеральной совокупности с нормальным распределением и
з
влеч
е-
на выборка объема n= 10 и составлена таблица частот:

x
i

-
2

1

2

3

4

5

i

0,2

0,1

0,2

0,2

0,2

0,1

Найдите доверительный интервал для математического ожид
а
ния с
надежностью

= 0,95.


-

OTVET

.
556.





(0,28; 3,72).

Задача № 557
.
Дов_инт_для

по генеральной_дисперсии
σ
2

--
(Ist
-
N5
-
)
-

Из большой партии электролампочек сделана выборка 10 ламп
о
чек
для испытания на продолжительность горения. Средняя продо
л
жительность
горения оказалась равной
= 3000 ч. Предполагая, что продолжител
ь-
ность горения лампочки имеет но
рмальное распредел
е
ние со средним ква
д-
ратическим отклонением
х

= 35 ч, найдите дов
е
рительный интервал для m
x

=M[x] с надежностью

= 0,95.


-

OTVET

.
557.

.



(2993; 3007).


Пример 3
.

Дов_инт_ для р = р(А) по
μ

р = р(
А)

вероятность события А

k



число наступлений
события А
при n
-
кратном повторении опыта






частота
события А в
серии n опытов равна:

.

. р

.

.

При
заданном

границы

доверительного интервала

для вероятности р = р(А) находят по формулам

, (4)

где t

-

решение уравнения 2Ф(t
) =
.

MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

11

из

12


ПРИМЕР
:

В результате 100 независимых опытов событие А пр
о
изо
ш
ло 36
раз. Требуется найти доверительный интервал для вероя
т
ности р = р(А) при
заданной доверительной вероятности

= 0,8.

Решение
. По условию n = 100 и k= 36, следовательно,

= 0,36. Далее
по табли
це для функции Лапласа находим t

= 1,28. Подставляя полученные
значения в формулу (5), имеем:

;

.

Таким образом с вероятностью

0,8 выполняется неравенство

0,3018 p 0,4228.

!!
!

При больших n можно
использов
ать формулу



Задача № 564.

Дов_инт_ для р = р(А) по
μ
--
(Ist
-
N5)

Из большой совокупности школьников произведена выборка из 20 ч
е-
ловек. Оказалось, что для 16 из них способность запоминать из
у
чаемый м
а-
териал существенно п
овышается в том случае, когда зан
я
тиям предшествует
8
-
часовой сон. Найдите 75%
-
ный доверительный интервал для оценки доли
школьников, способность которых к зап
о
минанию существенно повышае
т-
ся.


-

OTVET

.

564.

.



(0,6124; 0,9503).


MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

12

из

12


Задача № 569
.
Дов_инт_ для р = р(А) по
μ
--
(Ist
-
N5
-
)
-

В 100 независимых выстрелах стрелок поразил мишень 82 раза. На
й-
дите 95%
-
ный дов
ерительный интервал для вероятности попад
а
ния в м
и-
шень при одном выстреле данного стрелка.


-

OTVET

.
569.

.



(0,736; 0,881).

!
!


Задача 14.

Дов_инт_ для р = р(А) по
μ
--
(Ist
-
N4
-
)
-

Произведено

независимых испытаний, в каждом из которых неи
з-
вестная вероятность

события

постоянна. Событие

н
а
ступило в

испытаниях. Найдите для вероятности

прибл
и
женный
0.994
-
доверительный интервал
.




!
!



Задача 16.

Дов_инт_ для р = р(А) по
μ
--
(Ist
-
N4
-
)
-

При испытании

элементов зарегистрировано

отк
а
зов.
Найдите доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероя
т-
ность

отказа элемента с надежностью
.


!
!


Задача 17.

Дов_инт_ для р = р(А) по
μ
--
(Ist
-
N4
-
)
-

В результате проведенного социологического опроса

человек ре
й-
тинг кандидата в президенты составил
. Найдите довер
и
тельный и
н-
тервал для рейтинга кандидата с гарантированной н
а
дежностью
.


MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

13

из

12


!
!



Задача 18.

Дов_инт_ для р = р(А) по
μ
--
(Ist
-
N4
-
)
-

Численность повторной выборки составляет

единиц. Доля пр
и
знака
составляет
. Найдите с доверительной вероятностью
, в к
а-
ких пределах находится отклонение частоты от доли признака.


!!
?
Задача 19.

Дов_инт_для

по генеральной_дисперсии
σ
2

--
(Ist
-
N4
-
)
-

Обследуется средняя продолжительность телефонного разговора. Сколько
телефонных разговоров должно быть зафиксировано, чтобы с вероятн
о-
стью

можно было бы утверждать, что отклонение средней продо
л-
жительности зафиксированных разговоров от ген
е
ральной средней не пр
е-
восходит

секунд, е
сли среднее квадрати
ч
ное отклонение длительности
одного разговора равно

минутам?


!!
?
Задача 20.

Дов_инт_для

по генеральной_дисперсии
σ
2

--
(Ist
-
N4
-
)
-

Производится выборочное обследование возраста читателей масс
о
вых
библиотек. Сколько карточек необходимо взять для обследов
а
ния, чтобы с
вероятностью

можно было бы утверждать, что средний возраст в
выборочной совокупности отклонится от ген
е
рального среднего не более,
чем на 2 года? Генеральное среднее ква
д
ратичное принять равным

г
о-
дам.


MODUL1
--
Voprosy
--
Zadachy
-
(STUD)
---
16c.doc

14

из

12


При
мер 4 (
№ 2.34
)
:

Точечная оценка
--
(Ist
-
N2
-
)
-

В результате анализа технологического процесса получен вариацио
н
ный
ряд:

Число дефектных
изделий

0

1

2

3

4

Число партий

79

55

22

11

3

Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по зак
о-
ну
Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных и
з
делий.

Решение:

m

0

1

2

3

4

p

0.
4647

0.3235

0.1294

0.0647

0.0176


Ответ:

P
=7.79*10
-
7

Задача № 2.19.
Точечная оценка
--
(Ist
-
N2
-
)
-

Используя резуль
таты анализа и предполагая, что число дефектных изделий
в партии распределено по закону Пуассона, определить те
о
ретическое число
партий с тремя дефектными изделиями.

m

0

1

2

3

4

5

Итого

fi

164

76

40

27

10

3

320

Pm


0,34

0,116

0,026

0,004

0,001


Pm*f
i

28
8,75

25,84

4,64

0,702

0,04

0,003

320

f
i
теор.

288

26

5

1

0

0

320





Приложенные файлы

  • pdf 19167371
    Размер файла: 787 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий