Розділ 2 Тема 2.1

Розділ 2. Аналітична геометрія.
Векторна алгебра
Аналітична геометрія – це розділ математики, в якому властивості геометричних об’єктів( точок, ліній, фігур тощо) вивчаються з використанням алгебраїчних методів.
Основоположником аналітичної геометрії вважають французького математика та філософа Р. Декарта (1596 – 1650 рр.), який розробив метод координат, що є основним апаратом аналітичної геометрії.
В аналітичній геометрії розв’язують такі дві задачі:
дано лінію як множину точок, потрібно скласти її рівняння.
дано рівняння лінії і потрібно побудувати лінію, що описується цим рівнянням.

2.1. Векторна алгебра
2.1.1. Векторні та скалярні величини. N- вимірний вектор.
Векторний простір
Скалярними величинами називаються величини, які характеризуються лише числовим значенням (довжина, площа, температура).
Векторними величинами називаються величини, які визначаються не тільки числовим значенням, а й напрямком (швидкість, сила, прискорення).
Вектором називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, для якого зазначено, яка з його точок є першою (початок вектора), а яка – другою (кінець вектора)
Рис. 1


Довжиною (модулем) вектора 13 EMBED Equation.3 1415(позначається 13 EMBED Equation.3 1415) називають довжину відрізка, що зображує вектор.
N- вимірним вектором називають упорядковану сукупність п дійсних чисел, яка записується у вигляді 13 EMBED Equation.3 1415.
Числа 13 EMBED Equation.3 1415 називають координатами ( компонентами) вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Поняття п- вимірного вектора широко використовується в економічних задачах. Наприклад, деякий набір товарів можна охарактеризувати вектором 13 EMBED Equation.3 1415, а відповідні ціни одиниці товару – вектором 13 EMBED Equation.3 1415.
Множина всіх п- вимірних векторів називається п- вимірним простором і позначається 13 EMBED Equation.3 1415.
Векторні простори 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 можна розглядати як відповідно як множину на прямій, множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі.

2.1.2. Різновиди векторів
13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415

Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати, тобто


Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо всі його координати дорівнюють нулю: 13 EMBED Equation.3 1415 Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 називається протилежним вектору 13 EMBED Equation.3 1415. Два ненульові вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 називаються колінеарними ( паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:
13 EMBED Equation.3 1415


Вектор називається одиничним (нормованим), якщо його довжина дорівнює одиниці.

Одиничні вектори, які мають напрями додатних координатних півосей, називаються координатними векторами (ортами): 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Два вектори називаються перпендикулярними ( взаємно ортогональними), якщо сума добутків відповідних координат векторів (скалярний добуток векторів) дорівнює нулю.

2.1.3. Дії з векторами, заданими в координатній формі
Сумою п-вимірних векторів 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 називають п-вимірний вектор 13 EMBED Equation.3 1415 , координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-додатків, тобто
13 EMBED Equation.3 1415

Наприклад, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.

Добутком числа k (скалярна) на п-вимірний вектор 13 EMBED Equation.3 1415називається п-вимірний вектор 13 EMBED Equation.3 1415k13 EMBED Equation.3 1415, координати якого дорівнюють добутку числа k на відповідні координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415, тобто
13 EMBED Equation.3 1415

Наприклад,якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Властивості додавання векторів та множення числа на вектор (k,l- деякі числа):
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415:
6) 13 EMBED Equation.3 1415;
7) 13 EMBED Equation.3 1415;
8) Для довільного вектора 13 EMBED Equation.3 1415 існує протилежний вектор 13 EMBED Equation.3 1415такий, що 13 EMBED Equation.3 1415.
Різницею векторів13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415називають вектор 13 EMBED Equation.3 1415, який позначатимемо 13 EMBED Equation.3 1415.
(13 EMBED Equation.3 1415

Скалярним добутком 13 EMBED Equation.3 1415 двох п-вимірних векторів 13 EMBED Equation.3 1415і 13 EMBED Equation.3 1415 називають число, що дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів, тобто
Наприклад,
якщо 13 EMBED Equation.3 1415; 13
·EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Скалярний добуток має простий економічний зміст. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415- вектор об’ємів різних товарів, а 13 EMBED Equation.3 1415 - вектор їх цін, то скалярний добуток 13 EMBED Equation.3 1415 виражає загальну вартість усіх цих товарів.

Властивості скалярного добутку векторів:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, причому 13 EMBED Equation.3 1415 тоді і тільки тоді, коли 13 EMBED Equation.3 1415.


2.1.4. Координати вектора. Довжина вектора.
Кут між векторами
13 EMBED Equation.3 1415.

Координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415- відповідно початок та кінець вектора, то

Довжиною ( нормою) – вектора 13 EMBED Equation.3 1415( позначають 13 EMBED Equation.3 1415) називають невід’ємне значення квадратного кореня з суми квадратів координат вектора, тобто
13 EMBED Equation.3 1415.

Наприклад, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Кутом між ненульовими векторами 13 EMBED Equation.3 1415і 13 EMBED Equation.3 1415називається число 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, яке визначається рівністю
13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 2.1. Знайти кут між векторами 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язання
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Відповідь. 13 EMBED Equation.3 1415.

2.1.5. Лінійна залежність і незалежність векторів.
Розкладання вектора за базисом
Нехай 13 EMBED Equation.3 1415- вектори з п-вимірного векторного простору, а 13 EMBED Equation.3 1415- деякі дійсні числа.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 називається лінійною комбінацією векторів 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415

Вектори 13 EMBED Equation.3 1415 називаються лінійно залежними, як що існують такі дійсні числа 13 EMBED Equation.3 1415, одночасно не рівні нулю, такі що

Якщо рівність 13 EMBED Equation.3 1415 справджуються тільки тоді, коли 13 EMBED Equation.3 1415, то вектори 13 EMBED Equation.3 1415 називаються лінійно залежними.
Для перевірки векторів 13 EMBED Equation.3 1415 не лінійну незалежність потрібно скласти із координат векторів визначник, який не повинен дорівнювати нулю:
13 EMBED Equation.3 1415
Теорема 1. Вектори 13 EMBED Equation.3 1415лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли хоча б один з них є лінійною комбінацією інших.

Вимірність простору – це максимальна кількість лінійно незалежних векторів, що містяться у ньому. Будь-яку сукупність п лінійно незалежних векторів п-вимірного лінійного простору 13 EMBED Equation.3 1415 називають його базисом.
Теорема 2. Будь-який вектор 13 EMBED Equation.3 1415 з 13 EMBED Equation.3 1415 єдиним способом може бути зображений у вигляді лінійної комбінації векторів базису.
Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 - базис лінійного простору 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415

розклад вектора 13 EMBED Equation.3 1415 за базисом 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415- координати вектора 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 у цьому базисі.

Алгоритм розкладу вектора 13 EMBED Equation.3 1415 за базисом13 EMBED Equation.3 1415
Записати рівність 13 EMBED Equation.3 1415 у формі матричного рівняння, де вектори 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 записати у вигляді матриць-стовпців.
Від матричного рівняння перейти до системи лінійних алгебраїчних рівнянь та розв’язати одержану систему.
Записати розклад вектора 13 EMBED Equation.3 1415 за базисом 13 EMBED Equation.3 1415. Для цього в рівність 13 EMBED Equation.3 1415замість 13 EMBED Equation.3 1415 підставити розв’язки системи.
Приклад 2.2. Написати розклад вектора 13 EMBED Equation.3 1415 у базисі 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язання
Використаємо формулу розкладу вектора за базисом 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Розв’язком цієї системи є 13 EMBED Equation.3 1415.
Так, 13 EMBED Equation.3 1415- розклад вектора 13 EMBED Equation.3 1415 в базисі 13 EMBED Equation.3 1415.
Відповідь. 13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 19238442
    Размер файла: 288 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий