Лекція 2 Динаміка кристалічної ґратки


Лекція 2. Динаміка кристалічної ґратки
1. Одновимірні коливання однорідної струни.
2. Коливання і хвилі в простій одновимірній ґратці.
3. Коливання і хвилі в складній одновимірній ґратці.
4. Коливання і хвилі тривимірної ґратки
5. Кінетична і потенціальна енергія кристала. Квантування коливань ґратки.
6. Теплоємність твердих тіл.
7. Теплопровідність твердих тіл
8. Теплове розширення твердих тіл
9. Задачі.
1. Одновимірні коливання однорідної струни.
Розглянемо поширення поздовжніх хвиль в необмеженій струні з лінійною густиною ρ.
При поширенні хвилі на елемент довжини Δx діє сила зліва Sσ(x) і справа Sσ(x+ Δx), S – площа поперечного перерізу. На елемент струни з масою SΔxρ діє сила F = Sσ(x+ Δx)- Sσ(x), яка дає зміщення ξ(x,t). Тоді
Sσ(x+ Δx)- Sσ(x), звідки
(із закону Гука ε=∆ll=∆ξ∆x=dξdx)
Тепер
υ – фазова швидкість хвилі.
Розв’язок q=2πλ - хвильовий вектор.

При цьому фазова швидкість не залежить від частоти.
2. Коливання і хвилі в простій одновимірній ґратці.
Розглянемо ланцюжок з N атомі масою М і міжатомною відстанню а, які можуть переміщуватись лише вздовж осі Ох (один ступінь свобод на атом). Маємо примітивну комірку Браве з вектором трансляції T = na. n – ціле число, номер вузла. Зміщення атома в довільному вузлі зумовить зміщення атомів у всіх вузлах.
Розглянемо випадок малих зміщень. При цьому сили квазіупружні (немає ангармонізму). Будемо враховувати лише взаємодію найближчих сусідів.
Сили, що діють на n- ий атом з боку сусідніх

Результуюча сила

Ланцюжок атомів нагадує струну. Розв’язок шукаємо у вигляді

Підставляючи в попереднє рівняння, знаходимо
-Mω2 = -β(2-e-iqa- eiqa). ω2 = 2(β/M)(1-cosqa) = 4(β/M)sin2(qa/2).
Або Отже, з’явилась дисперсія для частоти коливань, пов’язана з хвильовим вектором.
При заміні q′ = q+2πg/a, де g – ціле число, отримаємо ту ж дисперсію. А це означає, що q′ і q фізично нерозрізнимі. Тому достатньо розглядати q в інтервалі від 0 до 2π/a. Всі фізичні властивості повинні бути періодичними з періодом 2π/a. Вибирають інтервал


Оскільки то λmin = 2a.
Якщо число атомів G в ланцюжку дуже велике, а взаємодіють лише ближні атоми, то умови на поверхні не впливають на рух атомів всередині ланцюжка. Тоді можна уявити, що ланцюжок замкнений по колу і граничні умови можуть бути замінені на циклічні умови Борна-Кармана для відхилення атома ξn= ξn+G.
Звідси exp(±iqGa) = 1, тобто qGa = 2πNk, де Nk – ціле число. Звідси

і при умові для числа дискретних значень хвильового вектора знаходимо
-G/2 < Nk < +G/2.
Число коливань dz = 2dNk в інтервалі частот dω з урахуванням дисперсії

Фазова швидкість υф = ω/|q| = ,
групова швидкість υгр = |dω/dq| = .
3. Коливання і хвилі в складній одновимірній ґратці.
Розглянемо одновимірний кристал, побудований з атомів двох сортів з масами m1 і m2. Вузли n′ зайняті масами m1, а n" - m2. Позначимо коефіцієнт квазіпружної сили між атомами n′ і n" β1, а між n′ і n"-1 β2. Елементарна комірка з об’ємом Ω = а містить два атоми. Зміщення атомів Врахуємо взаємодію лише між найближчими атомами в наближенні квазіпружних сил (малі амплітуди коливань).
Знаходимо розв’язок


де

Обидві частоти мають екстремум (похідна =0) на межі q = π/a.
З’явилися дві гілки коливань: акустична і оптична. Для граничних частот знайдемо

4. Коливання і хвилі тривимірної ґратки
Тривимірна ґратка, комірка якої містить S атомів, має три акустичні гілки і 3S -3 оптичні гілки. Зокрема, при S = 2 маємо три гілки акустичні і три – оптичні. Для малих величин хвильового числа сусідні атоми в акустичній гілці коливаються в фазі, а в оптичній гілці – в протифазі.

5. Кінетична і потенціальна енергія кристала. Квантування коливань ґратки.
Для простої одновимірної ґратки у випадку малих коливань зміщення n-го атома визначається суперпозицією зміщень біжучих хвиль

Коливання, які відповідають різним q, ортогональні. Тоді нормована координатна частина зміщення може бути представлена у формі
кількість комірок в кристалі.
Умова нормування
Введемо нормальні координати
В такому разі
Повна енергія коливань складається з кінетичної і потенціальної енергій

Потенціальна енергія Wn має мінімум в положенні рівноваги, тому перша похідна =0. Наступна похідна
Отже
Позначивши (n - n′) = l, отримаємо остаточно

В такому разі повна енергія
Ми отримали вираз для повної енергії всіх N незалежних осциляторів. Проте, ці лінійі осцилятори не мають нічого спільного з реальними атомами, крім маси М.Кожен осцилятор відповідає одному з можливих нормальних коливань усього кристала як цілого (одній моді коливань). У нормальному коливанні беруть участь усі атоми кристала, які коливаються з однаковою частотою ωq.
Вираз для повної енергії можна проквантувати, замінивши координати і імпульси на оператори. Отримаємо енергію гармонічних осциляторів

Енергія всього кристала
Аналогічно отримаємо для тривимірної ґратки з S атомами в комірці.
6. Теплоємність твердих тіл.
Теорія Ейнштейна правильно описує величину теплоємності кристалів при високих температурах і пояснює зниження теплоємності до нуля при T → 0. Однак, з експерименту випливає, що теорія Ейнштейна лише якісно пояснює температурну залежність теплоємності. Насправді поблизу абсолютного нуля температур теплоємність знижується за законом C ~ T3.

Рис.1. Теплоємність в теоріях Ейнштейна та Дебая
Фонони
Коливання атомів у кристалічній решітці не є незалежними. Зміщення від положення рівноваги одного атома веде за собою зміщення інших сусідніх з ним атомів. Отже, кристал виглядає як система N пружно зв'язаних атомів, які мають 3N ступенів свободи.
Цей зв'язок між атомами приводить до того, що в кристалі формуються стоячі хвилі з вузлами на поверхні кристала (як у струні гітари). Ці хвилі називаються фононами.
Якщо довжина кристала в напрямку х дорівнює а, то умовою для виникнення стоячої хвилі є ka = nπ. Отже, модуль хвильового вектора повинен мати значення k = nπ/a. Густина станів dn/dk = а/π.

Рис.2. Стоячі хвилі
Стояча хвиля в одновимірному кристалі
Звідси, число стоячих хвиль в інтервалі Δk

Ми знаємо, що k = ω/υ, тому dk = dω/υ і
число стоячих хвиль в інтервалі від ω до ω+dω.
Стояча хвиля в двовимірному кристалі
Аналогічно, якщо виникає двовимірна хвиля, то необхідно
, b – довжина кристала в напрямку y.
При цьому - модуль хвильового вектора стоячої хвилі.

Рис.3. Утворення стоячої хвилі в двовимірному кристалі
Це одна хвиля. Тому в теорії достатньо розглянути лише чверть площини (kx,ky), тобто лише перший квадрант.
На долю кожної стоячої хвилі в k-площині припадає площа

Отже, густина точок на k-площині дорівнює S/π2. Тоді

Переходячи до полярної системи координат, знайдемо

Стояча хвиля в тривимірному кристалі
Знайдені результати узагальнюємо на тривимірний випадок (паралелепіпед зі сторонами a, b, c). В цьому випадку

На долю точки в k-просторі припадає об'єм π3/abc = π3/V.
Отже, густина точок дорівнює V/π3. Кількість стоячих хвиль

і .
Оскільки в кристалі поширюються дві поперечні і одна поздовжня хвилі, то для кількості фононів в інтервалі частот від ω до ω+dω в одиниці об'єму отримаємо
,
причому середня величина фазової швидкості хвилі в кристалі

Частоти цих хвиль можуть лежати в інтервалі від 0 до ωm. Повне число коливань дорівнює 3n, де n – число атомів в одиниці об'єму:

Звідси

Отже, максимальній частоті фонона ωm відповідає мінімальна довжина хвилі, рівна подвоєної міжатомній відстані в кристалі. Більш коротких довжин хвиль не може бути, оскільки не буде кому забезпечувати коливання.
Теорія Дебая
Точну теорію теплоємності вдалося створити Дебаю в 1912 р. Він врахував, що коливання атомів у кристалічній решітці не є незалежними. Зміщення від положення рівноваги одного атома веде за собою інших сусідніх з ним атомів. Отже, кристал виглядає як система N пружно зв'язаних атомів, які мають 3N ступенів свободи.
Вище ми показали, що пружно зв'язані атоми формують хвилі в кристалі, одна з яких є поздовжня, а дві інші - поперечні.
Ми вже знаємо, що для кількості фононів в інтервалі частот від ω до ω+dω в одиниці об'єму маємо

причому середня величина фазової швидкості хвилі в кристалі .
Енергія фононів. Теплоємність
Використовуючи вираз для ωm, запишемо

Тепер знайдемо внутрішню енергію одиниці об'єму кристала:

Звідси знаходимо теплоємність кристала:

де введені позначення: θ = ћωm/k - температура Дебая, x =ћω/kT, xm = θ/T.
Теплоємність при низьких температурах
При дуже низьких температурах величина xm буде великою. Це дозволяє замінити межі інтегрування від 0 до ∞. При цьому одержимо

тобто, одержимо закон Т3 Дебая, що добре виконується при низьких температурах
При високих температурах ћωm/kT << 1 и U = Uo + 3nkT, у повній відповідності із законом Дюлонга і Пті.
Недоліки теорії Дебая
Теорія Дебая повністю описує теплоємність одноатомних кристалів – діелектриків. Достатньо точно вона описує і інші одноатомні кристали (наприклад, для кристалу міді відхилення теорії від експерименту не перевищують 1% у всьому температурному інтервалі від 0 до 300 К.
Проте, теорія Дебая неадекватно описує експериментальні дані для кристалів з двома і більше молекулами (атомами) в елементарній комірці кристалічної решітки. Причина полягає в тому, що в цих кристалах присутні дві фононні гілки – акустична і оптична. Остання в теорії Дебая не врахована. Крім того, теорія Дебая не враховує вклад електронів в теплоємність металів при низьких температурах.
Теорія Дебая користується спрощеною моделлю зі спектральною функцією розподілу , яка при високих температурах суттєво відрізняється від реального вигляду цієї функції (ІЧ спектр).
Теплоємність металів
На відміну від діелектриків в металах крім атомів (молекул) є ще вільні електрони, кожен з яких має три ступені свободи. Отже, електронний газ повинен дати вклад в теплоємність, рівну 3RT/2. Проте експеримент показав, що такого суттєвого збільшення теплоємності в металах не спостерігається. Це було однією з причин виникнення квантової статистики, яка показала, що введення в систему тепла не може суттєво збільшити енергію системи електронів, оскільки є нездоланна перешкода у вигляді принципу Паулі. Цей принцип так впливає на розміщення електронів в кристалі, що вони в основній масі неспроможні збільшувати свою енергію.
Ми вже знаємо, що при 0 К електрони в металі займають місця з E < EF, Для теплового збудження електронів, тобто для збільшення їхньої кінетичної енергії потрібно, щоб в енергетичній зоні існувало вільне місце. Якщо такого місця немає, збудження електрона неможливе. Теплове збудження може дати електрону енергію kT. Відповідні місця є лише поблизу рівня Фермі.

Рис.4.
Це приводить до розмивання функції Фермі в околі рівня EF. Розмивання відбувається в межах енергії kT. Саме ці електрони і дають вклад в теплоємність металів. Цей вклад складає

Оскільки при 300 К kT = 0,025 еВ, а EF ≈ 5 еВ, то повна теплоємність металу складе С = (3 + 7,5·10-3)R.
Отже, електронна складова теплоємності при кімнатній температурі не перевищує 1%. Відзначимо, що саме ця маленька частина електронів повністю відповідальна за електропровідність металів.
7. Теплопровідність твердих тіл
Поширення теплоти в ізотопному середовищі описується законом Фур’є
ΔQ = -κ·gradT·ΔSΔt.
Густина потоку теплової енергії

У загальному випадку густина потоку – тензорна величина (анізотропія).
Дебай в 1914 р. показав, що тепловий опір обумовлений ангармонізмом коливань атомів (в гармонічному наближенні тепловий опір дорівнює нулю). Гармонічні хвилі поширюються незалежно, не розсіюючись одна на іншій. Теплового опору немає, тепловий потік поширюється зі швидкістю звуку.
Ангармонізм дозволяє проявитись взаємодії трьох фононів: два фонони перетворюються в один, чи один розпадається на два. Теорію розробив Паєрлс в 1929 р. При цьому повинен виконуватись закон збереження енергії () і закон збереження квазіімпульсу () з точністю до вектора трансляції оберненої ґратки. В цьому випадку енергія в сумарній моді переноситься в тому ж напрямку, що і в окремих модах. Тепловий опір відсутній.
Коли , маємо нормальний N-процес розсіювання (всі реальні частинки так розсіюються). Коли , маємо процес перекидання або U–процес. У цьому випадку енергія в сумарній моді переноситься в протилежному напрямку до перших двох мод. Такий процес зменшує величину теплопровідності.
Розглядаючи фонони як ідеальний газ, знаходимо

Тут cV –теплоємність одиниці об’єму.
Частота зіткнень фононів буде пропорціональна до температури (високі температури), а довжина вільного пробігу фононів буде зменшуватись обернено пропорціонально температурі. Тому κ ~ 1/T.
При низьких температурах у процесах перекидання будуть брати участь лише фонони з енергіями ħω>ħθD/2, число яких падає Звідси, довжина вільного пробігу фонона зростає з пониженням температури: Величина cV зменшується (cV ~T3). Тому
При низьких температурах довжина вільного пробігу досягає розміру зразка і перестає залежати від температури. Тода залишається лише
8. Теплове розширення твердих тіл
Між атомами в кристалі діють пружні сили (F=-βx). Потенціальна енергія Wn(x)= βx2/2.
За Больцманом ймовірність відхилення від положення рівноваги

Середнє значення відхилення
.
Отже, відстань між атомами при цьому не змінюється з підвищенням температури.
Реально існує теплове розширення. Коефіцієнт об’ємного розширення , обумовленого асиметрією взаємодії між атомами (потенціальна крива не параболічна, а має форму кривої Морзе). Тому потрібно розкласти Wn(x) в ряд і врахувати неквадратичні члени.
Wn(x) = -Wno + βx2 – γx3 + …Вклад останнього члена малий, тому відповідну експоненту розкладемо в ряд, обмежившись першим членом. Остаточно отримаємо

Звідси, коефіцієнт лінійного розширення
Тут а – постійна ґратки. Отже, ангармонізм визначає величину коефіцієнта лінійного теплового розширення.
9. Задачі.
1. Який закон дисперсії в простій одновимірній ґратці. Порівняти з законом дисперсії однорідної струни.
2. Що таке групова і фазова швидкості.
3. Скільки в кристалі акустичних і оптичних віток коливань? Чим вони відрізняються?
4. Скільки всіх мод коливань в атомі?
5. Що таке фонон? Яка статистика фононів?
6. Пояснити суть моделі теплоємності Айнштайна.
7. Пояснити суть моделі теплоємності Дебая.
8. Яка основна причина появи теплового розширення твердих тіл?
9. Користуючись формулою справедливою для простої одновимірної ґратки, знайти групову і фазову швидкість.
10. Для одновимірного складного кристала з масами М1 і М2 при β1=β2=β закон дисперсії має вигляд: Визначити групові і фазові швидкості для оптичної та акустичної віток коливань в межах першої зони Бріллюена.
11. Знайти формулу для теплоємності Дебая для одновимірної простої ґратки при низьких температурах ( де ).
12. Знайти формулу для теплоємності Дебая для двовимірної простої ґратки при низьких температурах ( де ).

Приложенные файлы

  • docx 19535091
    Размер файла: 223 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий