начерталка

1. Сызба Геометрия және инженерлік графика пәні. Цилиндирлік бұрама сызықтың эпюрін
Сызба геометрия – геометрияның инженерлер үшiн аса маңызды саласы. Ол түрлi бұйымдардың, физикалық және химиялық құбылыстардың қағаз бетiндегi кескiндерiн тұрғызу заңдылықтарын зерттейдi. Салынған кескiндерiне қарап, бұйымның пiшiнiн және кеңiстiктегi орнын анықтауға, физикалық және химиялық құбылыстарға түсiнуге болады. Осы кескiндердiң көмегiмен бұйымдарға немесе құбылыстарға байланысты мәселелердi талдау ережелерi де сызба геометрияда қарастырылады. Кескiн салынатын қағазды жазықтық деп қарастырады. Сондықтан сызба геометрияда жазықтықтағы кескiндердi салу, кескiндерiне қарап көлемi бар денелердi көз алдымызда елестету және кескiндерде түрлi инженерлiк есептердi шешу теориясы баяндалады.
5. Беттің анықтамасы және жасалуы
Бет деп сызықтардың бiр параметрлiк жиынын айтады. Оны үздiксiз қозғалатын жасаушы деп аталатын сызықтың кеңiстiктегi геометриялық орны ретiнде анықтауға болады. Жасаушы өзiнiң формасын өзгертiп отыруы да мүмкiн. Кейбiр жасаушылары түзу сызықтар болатын қарапайым беттердi келтiрелiк; S нүктесiн және m(Sm) қисығын алып, осы S нүктесi арқылы өтетiн және m қисығымен қиылысатын түзулердiң жиынын қарастыралық (10.2,а-сурет). Осындай түзулердiң бiр параметрлiк жиыны l, l 1, l 2,…, l i,… конустық беттi анықтайды. S конустық беттiң төбесi, ал m оның бағыттаушысы деп аталады. Егер n қисығымен қиылысатын және s түзуiне параллель болатын түзулердiң жиыны цилиндрлiк беттi анықтайды /10.2,ә-сурет/. Сонда s түзуi – цилиндрлiк бет жасаушыларын бағытын көрсетедi екен, ал n – оның бағыттаушысы болады. Ендi кеңiстiк қисығын алып, оған жүргiзiлген жанамалар да бiр параметрлiк жиын, яғни бет жасайтынын байқаймыз.
6.2-сурет
Атап айтқанда қисығына жүргiзiлген жанамалар l, l 1, l 2,… торс деп аталатын беттi анықтайды (6.2,б-сурет).
6. Беттің анықтауышы.Анықтауыштың геометриялық және алгоритмдік бөліктері.
Беттi анықтайтын шарттарды беттiң анықтауышы деп атауға келiсiлген. Анықтауыш – геометриялық және алгоритмдiк деп аталатын екi бөлiктен тұрады. Сызба геометрияның керi есебiн шешуге мүмкiндiк беретiн кескiндердi қайтымды деп атайды. Бiр проекциядан тұратын кескiн кайтымды бола алмайды. Сызба геометрияда қарастырылатын қайтымды кескiндерге аксонометрия, монж эпюрi, перспектива және сандық белгiлерi бар проекциялар жатады.

7. Қисықтың қиюшысы мен жанамасы.Қисықтың реті.
Қисық сызық (қысқаша – қисық) деп нүктелердiң бiр параметрлiк жиынын айтады. Оны кеңiстiкте үздiксiз қозғалатын нүктенiң траекториясы ретiнде қарастыруға болады.Қисықты оның проекциясына қарап зерттеймiз. Сондықтан оны проекциялағанда қандай қасиеттердiң сақталатынын бiлудiң үлкен маңызы бар. Егер нүкте сызыққа тиiстi болса, онда осы нүктенiң проекциясы сол сызықтың проекциясына тиiстi болады. Олай болса қисықтың қиюшысы - сол сызық проекциясының қиюшысына, ал жанамасы – жанамасына проекцияланады. Теңдеулерiне қарап қисықтарды алгебралық және трансценденттiк деп ажыратады. Мысалы эллипс (парабола немесе гипербола) – алгебралық қисық, ал синусоида- трансценденттiк қисық екенi түсiнiктi. Алгебралық қисықтың ретi деп оның түзумен (немесе жазықтықпен кеңiстiк қисығы үшiн) қиылысу нүктелерiнiң санын айтады.
8. Беттің нұсқасы (очеркі).
Беттің нұсқасы деп оның берілген проекциялар жазықтығына қарағанда көріну сызығының проекциясын айтады. Қайсыбір φ бетін π’ жазықтығына параллель проекциялау үшін осы φ бетін жанайтын берілген бағытқа параллель проекциялаушы сәулелер жүргізеді. Осы проекциялаушы сәулелердің φ бетімен жаанусы нүктелері A, B, C қайсыбір k сызығын анықтайды. Бұл k сызығын көріну сызығы деп атайды. k’ сызығы φ бетінің нұсқасы.

9. Конустық бет және оны эпюрде (сызбада) кескіндеу.
Конустық бет - белгілі бір сызықтың (S бағыттаушы) барлық нүктесін кеңістіктің берілген нүктесімен (m төбесімен) қосатын түзулердің (l’ жасаушыларының) геометриялық орны.

10 . Цилиндірлік бет, және оның эпюрдегі(сызбадағы) кескіні.
Цилиндрлік бет — берілген бағытқа параллель және бағыттауыш сызық арқылы өтетін кеңістіктің жасаушы түзулерінің жиыны;

11. Бұрмалану көрсеткіштері (коэффисиенттері) арасындағы байланыс; қиғашбұрышты аксонометрияның негізгі формуласы.
Бўрмалану көрсеткiшi деп аксонометриялық масштабтың натурал масштабқа қатынасын айтады. Абсцисса осi бағытындағы бұрмалану көрсеткiшiн u, ордината осi бағытындағы бұрмалану көрсеткiшiн v және аппликата осi бағытындағы бұрмалану көрсеткiшiн w әрiптерiмен белгiлелiк. Сонда .
Проекциялау бағытына қарай аксонометрияның тiк бұрышты және қиғаш бұрышты деп ажыратады. Тiк бұрышты аксонометрияда проекциялау бағыты проекциялар жазықтығына перпендикуляр (s') болады, ал қиғаш бұрышты аксонометрияда проекциялау бағыты проекциялар жазықтығына перпендикуляр болмайды (s').
Бұрмалану көрсеткiштерiне қарай аксонометрия үшке бөлiнедi: изометрия, диметрия және триметрия. Изометрияда: u=v=w. Диметрияда u=vw,. Триметрияда uvwu.
Қиғаш бұрышты акс-я нег формуласы: u2+v2+w2=2+ctg2..
12 .Торс бет және оны эпюрде (сызбадағы) кескіні

13. Айналу беті. Айналу бетінің параллельдері ,экваторы,мойыны,меридианадары
Жасаушысы деп аталатын l түзуiнен айналдырғанда пайда болатын беттi – айналу бетi деп атайды (11.1-сурет).. Мl нүктесi центрi Оi нүктесi болатын m шеңберiн, М1 l нүктесi – центрi О1 i нүктесi болатын m1 шеңберiн, М2 l нүктесi – центртi О2i нүктесi болатын m2 шеңберiн, … шеңберлер сызады. Сонда пайда болған m, m1, m2, … шеңберлерiн айналу бетiнiң параллельдерi дейдi. Өте тығыз орналасқан параллельдердiң жиыны айналу бетiнiң үздiксiз қаңқасын анықтайды. Ең үлкен параллель айналу бетiнiң экваторы, ал ең кiшi параллель оның мойыны болады. Айналу бетiнiң өсi арқылы өтетiн жазықтықпен қиылысу сызығын меридиан деп атайды. Меридиандар өзара конгруэнттi (тең) болады. °рбiр меридиан бетiнiң барлық параллельдерiмен тiк бұрыш жасап

6.3-сурет
қиылысады және керiсiнше, әрбiр параллель барлық меридиандармен тiк бұрыш жасап қиылысады.
14 Аксонометрияның негізгі теоремасы (К.Польке теоремасы)
Кез келген нарсенин аксонометриясын салу ушин Польке теорасын колданамыз. Теорема: Бiр жазықтықта жататын, O' нүктесiнен бiр-бiрiне қалауымызша алынған бұрыштар жасап тарайтын, кез-келген ұзындықтағы үш кесiндi O'Ex', O'Ey', O'Ez' тiк бұрышты координаталар осiне бас нүктеден (0 нүктесiнен) бастап салынған өзара тең OEx, OEy, OEz кесiндiлерiнiң параллель проекциялары бола алады.15. Бірқуысты айналу гиперболоиды. Осі горизонталь проекциялаушы болатын айналу гиперболоидының сызбасын салу керек.

Цилиндр немесе конус деп геометриялық денелердi атайды, ал бұл жерде олардың бүйiр беттерi туралы әңгiме болып отыр. Жасаушыға тиiстi А және В нүктелерiнiң фронталь проекцилары горизонталь орналасқан кесiндiлер, ал горизонталь проекциялары iздерiне тең шеңберлер болатын mAmB параллельдерiн анықтайды. Цилиндрдiң параллельдерi бiрiне - бiрi конгруýнттi шеңберлер болса, конустың параллельдерi радиустары үздiксiз өзгерiп отыратын шеңберлер. Конустың төбесiн (S нүктесiн) радиусы нольге тең параллель деп қарастырады.
Айқас екi түзудiң бiреуiн екiншiсiнен айналдырғанда пайда болатын беттi бiрқуысты айналу гиперболоиды деп атайды. Оның себебi осындай беттiң өсi арқылы өтетiн жазықтықпен қиылысу сызығы гипербола болады. 6.3,б-суретте бiрқуысты айналу гиперболоидының қаңқасын және фронталь нұсқасын салу көрсетiлген.
Екiншi реттi қисықты өсiнен айналдырғанда екiншi реттi бет пайда болады.
16. Алгебралық айналу бетінің реті туралы екі теорема.
17. Гиперболалық параболоид. Гиперболалық параболоидтың эпюрдегі(сызбадағы) кескіні.
Эпюрде түзусызықтық бет бағыттаушыларымен анықталады. Мысалы бағыттаушылары айқас түзулер p, q, r болатын беттi қарастыралық (6.5,а-сурет). Оның кезейсоқ жасаушысын салу үшiн р түзуi бойынан А нүктесiн алып, осы А нүктесi мен r түзуi анықтайтын (A,r) жазықтығын қарастыралық. Егер А нүктесi арқылы r түзуiне параллель а түзуiн жүргiзсек, онда жазықтығын параллель екi түзу (а мен r) анықтайды. Сонда (аr) жазықтығы мен q түзуiнiң қиылысу нүктесiн (В=∩q) А нүктесiмен қосатын
l =(AB) түзуi r түзуiмен де қиылысады, өйткенi l және r түзулерi бiр жазықтықта жатыр. А нүктесi р түзуiн сызғанда оған сәйкес q және r түзулерiмен қиылысатын l түзуi бiрқуысты гиперболоид (6.5,ә-сурет) деп деп аталатын беттi құрады.
(a,b, ).
18. Монж эпюрі туралы түсінік. Монж эпюрінің қайтымдылығы.
Монж эпюрi, қысқаша эпюр деп атайды (3.1, б-сурет). Эпюр француздың “жазық сызба” деген мағынадағы сөзiнен алынған. Онда нүктенiң фронталь (А1) және горизонталь (А2) проекциялары (х осiне перпендикуляр) вертикаль байланыс сызығы бойынша орналасады: (А1А2)х. (А1А2) – вертикаль байланыс сызығы. Координаталары белгiлi нүктенiң эпюрiн салу оңай, өйткенi |O'Аx'|=|OAx|=x, |Ax'А2'|=|AxA2|=y, |Ax'А1'|=|AxA1|=z. Қайтымдылық туралы түсiнiк. Берiлген нәрсенiң проекциясын салуды сызба геометрияның тура есебi, ал берiлген проекциясы бойынша кеңiстiкте нәрсенiң өзiн табуды сызба геометрияның керi есебi деп атайды. Сызба геометрияның керi есебiн шешуге мүмкiндiк беретiн кескiндердi қайтымды деп атайды. Бiр проекциядан тұратын кескiн кайтымды бола алмайды. Сызба геометрияда қарастырылатын қайтымды кескiндерге аксонометрия, монж эпюрi, перспектива және сандық белгiлерi бар проекциялар жатады.
19. Коноид және оның эпюрдегі кескіні.

Параллелизм жазықтығы бар бет бағыттаушыларының бiреуi түзу, ал екiншiсi қисық болса, онда оны коноид деп атайды. 6.5,ә -суретте параллелизм жазықтығы фронталь проекциялар жазықтығына перпендикуляр орналасқан коноидтың эпюрi көрсетiлген. Коноидқа тиiстi М нүктесiнiң фронталь проекциясы (М1 нүктесi) бойынша оның горизонталь проекциясын (М2 нүктесiн) салу оңай. Ол үшiн беттiң М нүктесi арқылы өтетiн жасаушысы болатын l түзуiн пайдаланамыз: М1 l1 1. Осы түзудiң горизонталь проекциясы бойынан байланыс сызығының көмегiмен М2 нүктесi анықталады.
20. Жалпы жағдайда орналасқан түзу және оның эпюрі(сызбасы).
Жалпы жағдай жазықтықтары проекциялар жазықтықтарына не перпендикуляр, не параллель емес жазықтықтар

21) Сызбаны (эпюрді) проекциялар жазықтықтарын алмастыру тәсілімен түрлендіру. Инварианттары.
Проекциялар жазықтығын алмастыру тәсiлi А нүктесiнiң фронталь 1 және горизонталь 2 жазықтықтар жүйесiндегi проекцияларын қарастыралық (5.1,а-сурет). Фронталь проекциялар жазықтығын горизонталь проекциялаушы 4 жазықтығымен алмастыралық. 42;24=x24;12=x12. Берiлген А нүктесiн 4 жазықтығына тiк бұрыштап проекциялалық: (АА4) 4.

5.1-сурет
Ендi 2 жазықтығын 4 жазықтығымен алмастыруды қарастырылады. Алдыңғы жағдайда горизонталь проекциялар жазықтығы 2 сақталса, қарастырылып отырған жағдайда фронталь проекциялар жазықтығы 1 сақталады. 41;14=x14. Эпюр алу үшiн 2 жазықтығын х12 түзуiнен, ал 4 жазықтығын х14 түзуiнен айналдырып 1 жазықтығымен беттестiремiз. Эпюрде (А1А4)х14 және |A4A14|=|А2А12|
Проекциялар жазықтығын алмастыру тәсiлiнiң инварианттары:
нүктенiң жаңа проекциясы мен сақталатын проекциясы жаңа өске прпендияуляр түзүдiң бойында орналасады;
нүктенiң жаңа проекциясынан жаңа өске дейiнгi қашықтық оның ескi проеяциясынан ескi өске дейiнгi қашықтыққа тең болады.
Жаңа проекциялар жазықтығын есептi шешуде қолайлы болатындай етiп таңдап алады. Егер проеяциялар жазықтықтарының бiреуiн алмастыру жеткiлiктi болмаса, онда екiншiсiнде бiртiндеп жаңа жазықтықпен алмастыруға болады.
22. Түрлендіру тәсілімен шешілетін негізгі төрт есеп
Түрлендiру арқылы шешiлетiн төрт негiзгi есеп.
1-есеп. Жалпы жағдайда орналасқан l (l 1, l 2) түзуiн деңгейлi түзуге айналдыру қажет .
2-есеп. Берiлген деңгейлiк түзудi проеяциялаушы түзуге айналдыру қажет.
3-есеп. Жалпы жағдайда орналасқан жазықтықты проекциялаушы жазықтыққа айналдыру қажет.
4-есеп. Берiлген проекциялаушы жазықтықты деңгейлiкжазықтыққа айналдыру керек.
23) Фронтальдің эпюрі (сызбасы) және оның қасиеттері.
Егер жазықтығы iздерiмен берiлсе де, горизонтальдарының фронталь проекциялары қалауымызша х осiне параллель жүргiзiледi (4.3, ә-сурет): h1f =11.

4.3-сурет
Горизонталь h және жазықтықтың фронталь iзi 1 нүктесiнде қиылысады. Осы нүктенiң горизонталь проекциясы арқылы жазықтығының горизонталь iзiне параллель етiп жүргiзiлген түзу горизонтальдiң горизонталь проекциясы болады. h1||x; h1f ; 11(1112)x; (1112)x=12; 12h2||h. Берiлген жазықтықта жататын және фронталь проекциялар жазықтықтың параллель түзудi жазықтығының фронталi деп атайды. Жазықтықтың фронталiн салу үшiн, алдымен оның х осiне параллель орналасатын горизонталь проекциясын жүргiземiз. Ал оның фронталь проекциясын анықтауда берiлген жазықтықта жататыны ескерiледi.
24) Екінші позициялық есеп. Сызық пен нүктелердің өзара орналасуы.
2-есеп. Берiлген деңгейлiк түзудi проеяциялаушы түзуге айналдыру қажет.

25) Үшінші позициялық есеп. Екі түзудің өзара орналасуы.
3-есеп. Жалпы жағдайда орналасқан жазықтықты проекциялаушы жазықтыққа айналдыру қажет.