серия 1


Математический интенсив. Серия 1
Десять человек решили сдать в общую кассу по 30 форинтов. К сожалению, у них были только купюры по 20 и 50 форинтов. Тем не менее, каждый отдал ровно по 30 форинтов. Какая наименьшая сумма денег могла быть у всех десяти вместе? (KoMaL 1979:05, Gy.1841, модификация)
На какое наибольшее количество составных слагаемых можно разбить число 2017? (Математический журнал для юношества, Вьетнам, 221.1)
По кругу расставлены пятьдесят фишек. Два игрока по очереди убирают фишки, выбирая каждым своим ходом любые три, пока не останется всего две фишки. Если две оставшиеся фишки в начале не стояли рядом, выигрывает первый игрок (который начинает игру); в противном случае выигрывает второй. Кто выиграет при правильной игре? (Белоруссия, 1999, кат. D, №1)
Делится ли на 3 количество решений уравнения , где a, b и c – натуральные числа?
Имеется 6 монет, из которых не более двух фальшивых (возможно, все монеты настоящие). Фальшивые монеты весят меньше настоящих на 1 грамм. За три взвешивания на чашечных весах без гирь определите все фальшивые монеты или докажите, что их нет.
Может ли шестизначное число вида быть квадратом натурального числа (цифры a и b не обязательно различны)?
В классе учатся n мальчиков и n девочек. Каждый мальчик составил рейтинг девочек в порядке убывания: какая нравится ему больше всего, какая на втором месте и т.д. (никакие две девочки не нравятся никакому мальчику в одинаковой степени). На день святого Валентина каждому мальчику подарили по девочке. Обсуждая полученные подарки, мальчики заметили, что при любом другом распределении девочек хотя бы одному из них досталась бы меньше нравящаяся ему девочка. Докажите, что хотя бы один из мальчиков получил ту девочку, которая нравилась ему больше всего.
Натуральное число назовем двухчастным, если все его натуральные делители можно разбить на две группы с одинаковой суммой. Докажите, что двухчастных чисел бесконечно много.
За круглым столом сидит 210 человек. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Каждый из них заявил: "Среди моих 20 соседей (10 справа и 10 слева) — ровно 10 лжецов". Известно, что среди них более 100 лжецов. Сколько всего лжецов за столом?

Приложенные файлы

  • docx 20162970
    Размер файла: 18 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий