Самая первая лаба по физике

Петрозаводский Государственный
Университет
Кольский филиал.


ФИО
Наименование работы: Определение времени реакции студента

Факультет:


Курс, группа
Цель работы: Изучение методов измерения физических величин и расчет погрешностей.

Этап работы
оценка
дата
преподаватель


Допуск


Вахонина О.В.


Окончание



Принадлежности: Измерительная линейка

Итоговая оценка


Теоретические основы работы.

Введение в теорию погрешностей.

При решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих типов.
Погрешность13 XE "Погрешность:задачи" 15 задачи. Она связана с приближенным характером исходной содержательной модели (в частности, с невозможностью учесть все факторы в процессе изучения моделируемого явления), а так же ее математического описания, параметрами которого служат обычно приближенные числа (например, из-за принципиальной невозможности выполнения абсолютно точных измерений). Для вычислителя погрешность задачи следует считать неустранимой (безусловной), хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.
Погрешность13 XE "Погрешность:метода" 15 метода. Это погрешность, связанная со способом решения поставленной математической задачи и появляющаяся в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например, линейных моделей.
Погрешность13 XE "Погрешность:округления" 15 округлений (погрешность действий). Этот тип погрешностей обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.
Все три описанных типа погрешностей в сумме дают полную погрешность13 XE "Погрешность:полная" 15 результата решения задачи.
В большинстве технических расчетов допустимые погрешности находятся в пределах 0,1 до 5%, но во многих научных вопросах, связанных с современной техникой, они должны быть снижены до тысячных долей процента, а иногда и более.
Обеспечить необходимую точность результата можно только тогда, когда исходные данные берут достаточно точными и когда учитывают все погрешности, которые привносятся самими вычислениями.
Виды измерений.

Измерением13 XE "Измерение" 15 называют сравнение данной физической величины с однородной величиной, принятой за единицу измерения.
Значение величины, найденное путем измерения, называется результатом измерения13 XE "Результат измерения" 15. Измерения могут быть прямыми и косвенными.
Прямым13 XE "Измерение:прямое" 15 называется измерение, при котором значение искомой величины находится непосредственно из опыта, путем отсчета по шкале измерительного прибора.
Косвенным13 XE "Измерение:косвенное" 15 называют измерение, при котором значение интересующей нас величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям (т.е. по формулам).
Опыт показывает, что сколь угодно точно измеряя повторно какую-нибудь величину, мы получаем отличные друг от друга результаты. Следовательно, ни одно измерение невозможно сделать абсолютно точно; любое измерение всегда связано с некоторой ошибкой (погрешностью). Абсолютно точный результат получается только при счете.
Физическое измерение состоит не только в нахождении численного значения измеряемой величины, оно должно содержать и оценку ошибки, допущенной при измерении. Результат измерения любой величины без оценки ошибки измерения является неполноценным.

Виды погрешностей.
Абсолютная погрешности.

Измеряя величину с точным значением Х, мы обычно получаем лишь ее приближенное значение Хпр.
Абсолютной13 XE "Погрешность:абсолютная" 15 погрешностью (ошибкой) (0 приближенного значения Хпр называется абсолютная величина разности между соответствующим точным значением Х и данным приближенным числом, т.е.
(0=(Хпр- Х(.
Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины.
В физике рассматривают также ошибку со знаком или конкретную ошибку измерения:
(0=Хпр – Х.
Чаще всего мы не знаем точного значения Х и, следовательно, не имеем возможности определить абсолютную погрешность (0 приближенного значения Х. В этом случае ограничиваются оценкой сверху абсолютной погрешности, т.е. находят величину ( по возможности малую такую, что
(0 ( ( .
Величина ( называется предельной абсолютной ошибкой13 XE "Погрешность:предельная абсолютная" 15 (погрешностью) приближенного значения Х. Очевидно неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
или сокращенно
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - среднее значение измерений, определяемое формулой
13 EMBED Equation.3 1415,
а величина n число измерений.
Предельная ошибка не поддается ни измерению, ни вычислению, но ее можно оценить более или менее обоснованно. Чем меньше предельная ошибка, тем больше точность измерений.
Часто бывает, что нам известны два приближенных значения Х1 и Х2 , между которыми заключено точное значение Х искомой величины:
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда можно положить:
13 EMBED Equation.3 1415, где
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415
Относительная погрешность.
Относительной13 XE "Погрешность:относительная" 15 погрешностью (ошибкой ) (0 приближенного значения Хпр называется отношение абсолютной погрешности (0 этого значения к соответствующему точному значению Х, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
отсюда следует соотношение:
13 EMBED Equation.3 1415
т.е. абсолютная погрешность приближенного значения равна его относительной погрешности, умноженной на соответствующее точное значение Х.
Если точное значение Х не известно или слишком сложно, то дают верхнюю оценку величины (0. Величина (, удовлетворяющая неравенству:
(0 ( (
называется предельной относительной погрешностью13 XE "Погрешность:предельная относительная" 15 приближенного значения Хпр. Очевидно положить
13 EMBED Equation.3 1415
где ( - предельная абсолютная погрешность значения Х.
Относительная погрешность может быть выражена в процентах:
13 EMBED Equation.3 1415
Качество измерений, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины, называется точностью измерений13 XE "Точность измерений" 15. Очевидно, чем меньше погрешности всех видов, тем выше точность измерений.
Типы погрешностей.

По характеру влияния на результаты измерений и по виду вызывающих их причин погрешности делятся на 3 типа:
систематические,
случайные,
промахи.
Деление погрешностей по виду вызывающих их причин представляет собой наиболее принципиальный тип их классификации. Этот подход позволяет наметить общую стратегию уменьшения погрешностей путем последовательного выявления, учета и устранения сначала систематических погрешностей и промахов, а потом оценки и снижения случайных погрешностей.

Промахи. Ошибки измерений.

Промах13 XE "Промах" 15 – это грубая ошибка, вызванная невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора, описка при записи показаний прибора и т.д.). Промахи могут очень сильно исказить результаты измерений, особенно в тех случаях, когда их число не велико.
Ошибки измерений, которые обусловлены неточностью процедуры (включая вычисления), называют ошибками процедуры13 XE "Ошибка:процедуры" 15. К ошибкам процедуры можно отнести ошибку вычислений и методическую ошибку.
Ошибку вычислений13 XE "Ошибка:вычислений" 15 нельзя путать с промахом при вычислениях. Ошибка вычислений обусловлена приближенностью вычислений (округления и пр.) Эту ошибку можно сделать пренебрежимо малой, если производить вычисления с относительной погрешностью, по меньшей мере, в десять раз меньшей, чем при прямых измерениях. То есть использовать на один десятичный знак больше, чем в самом неточном результате измерений.
Методическая ошибка13 XE "Методическая:ошибка" 15 может быть обусловлена несовершенством метода измерений или приближенностью вычислительных формул. В случае корректно поставленного эксперимента или использования простых обоснованных формул методическая ошибка пренебрежимо мала. В физическом практикуме приходится учитывать в основном случайные и систематические ошибки: ошибки снятия показаний приборов, ошибки помех и исходные ошибки, так как методика измерений и расчетные формулы заданы в руководстве к работе.
Систематические погрешности.
Систематическими13 XE "Погрешность:систематическая" 15 называются погрешности, величина которых не изменяется при повторении измерений данной величины в тех же условиях (тем же методом, теми же приборами и т.д.).
Систематические погрешности – это погрешности, вызываемые известными причинами, или причины которых можно установить при детальном рассмотрении процедуры измерений.
Каждая из систематических погрешностей однозначна и постоянна по значению (при повторных измерениях). Систематические погрешности возникают в тех случаях, когда не учитывается влияние на результаты эксперимента различных постоянно действующих факторов: температуры, давления, влажности воздуха и т.д. Источниками систематических погрешностей могут быть также измерительные приборы вследствие неточности их градуировки или неисправности. Такие погрешности называют ошибками прибора.
Измерительные приборы должны соответствовать требованиям государственных стандартов (ГОСТ). В соответствующем стандарте и паспорте прибора указана допустимая основная ошибка этого прибора, означающая допустимую предельную ошибку исправного прибора в нормальных условиях его работы. Эту ошибку практически можно считать “абсолютной” ошибкой прибора. Таким образом в качестве оценки ошибки прибора берется допустимая основная ошибка. Допустимая основная ошибка стрелочных электроизмерительных приборов (Х вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
где k – класс точности или приведенная основная ошибка прибора,
Хр.ш.- размах его шкалы, т.е. разность максимального и минимального показания его шкалы :
Хр.ш..= Хmax – Xmin
Класс точности13 XE "Класс точности" 15 показывает относительную предельную ошибку (в %), когда стрелка прибора находится на последнем делении шкалы. Следует помнить, допустимая основная ошибка измерительного прибора на протяжении всей шкалы одинакова, а относительная ошибка тем больше, чем меньше показания прибора.
К систематическим ошибкам можно отнести так называемую ошибку помехи13 XE "Ошибка:помехи" 15. Ошибка помехи может быть обусловлена внешними электрическими и магнитными полями, вибрацией, рассеянным светом и пр. Эту ошибку следует устранить реорганизацией эксперимента, что может оказаться вовсе не простым делом. Если все же потребуется производить измерения в условиях, где показания измерительного прибора колеблется около некоторого среднего значения, то зарегистрируем наибольшее Xmax и наименьшее Xmin показание и в качестве результатов измерения возьмем их среднее значение по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Ошибку величины 13 EMBED Equation.3 1415 теперь можно оценить по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Случайные погрешности.

Случайные погрешности, в отличии от систематических, не имеют видимой причины. Точнее говоря, причины их столь многочисленны и каждая из них столь незначительно влияет на общий результат измерения, что их индивидуальное рассмотрение не имеет смысла. Общая случайная погрешность не постоянна ни по абсолютному значению, ни по знаку, но появление существенной случайной погрешности тем менее вероятно, чем больше ее абсолютное значение.
Таким образом, случайными13 XE "Погрешность:случайная" 15 называются погрешности, величина которых меняется непредсказуемым образом при повторных измерениях данной величины в тех же условиях. Случайные погрешности вызываются действием различных неконтролируемых факторов: толчков, воздушных течений, пылинок и т.д. Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств. Влияние случайных погрешностей можно существенно уменьшить усреднением результатов большого числа измерений. Допустим, что Х1,Х2,..,Хn – результаты отдельных измерений, а (Хi (i((1,n( ) – их абсолютные погрешности:
13 EMBED Equation.3 1415
Сложив почленно эти равенства, мы получим :
13 EMBED Equation.3 1415
откуда получим равенство для Х:
13 EMBED Equation.3 1415
где величина 13 EMBED Equation.3 1415называется средним арифметическим результатом серии измерений. Так как при большом числе измерений эта величина очень мала, то можно считать, что 13 EMBED Equation.3 1415. Чем больше число измерений n, тем точнее выполняется это равенство.
Если систематическая и случайная ошибка присутствуют одновременно, то говорят о систематическом и случайном компонентах ошибки. Ошибка прибора, как правило, систематическая, если при повторных измерениях одной и той же величины пользуются одним и тем же прибором; если же при каждом измерении величины пользуются другим прибором, то эта ошибка случайная. Ошибка становится также случайной, если пользуются разными пределами измерений одного и того же прибора. Ошибка процедуры может содержать как систематический, так и случайный компонент. Исходная ошибка не содержит случайного компонента, а ошибка помехи, как правило, случайна.
Оценка случайных погрешностей проводится на основании математической статистики.

Среднеквадратичная погрешность среднего.
До сих пор речь шла о распределении случайных ошибок единичных измерений. Но среднее арифметическое Х случайных величин:
13 EMBED Equation.3 1415
является также случайной величиной. Если сделано N серий измерений, в каждой серии по n измерений и найдены все N средних значений Xi, то все величины Xi распределятся вокруг 13 EMBED Equation.3 1415так же по функции Гаусса. Стандартное отклонение средних арифметических серий находится по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Величина 13 EMBED Equation.3 1415 называется дисперсией среднего13 XE "Дисперсия:среднего" 15 и является мерой погрешности среднего значения Х, найденного из n измерений. В теории погрешностей доказывается, что
13 EMBED Equation.3 1415
Это означает, что 13 EMBED Equation.3 1415 в отличии от 13 EMBED Equation.3 1415, зависит от числа проведенных измерений:
13 EMBED Equation.3 1415 (2.1.)
Следовательно, при достаточно большом n можно записать:
13 EMBED Equation.3 1415
Величина 13 EMBED Equation.3 1415 называется выборочной среднеквадратичной погрешностью среднего13 XE Выборочная среднеквадратичная погрешность среднего" 15 или оценкой стандартного отклонения среднего арифметического.13 XE "Оценка стандартного отклонения среднего арифметического." 15

2.4. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Для любой конечной выборки 13 EMBED Equation.3 1415. Практически очень важно оценить величину 13 EMBED Equation.3 1415.
Интервал 13 EMBED Equation.3 1415, в который с заданной вероятностью ( попадает истинное значение Х измеряемой величины, называется доверительным интервалом13 XE "Интервал:доверительный" 15, соответствующим вероятности (. Вероятность ( называется также доверительной вероятностью13 XE "Вероятность:доверительная" 15 или надежностью13 XE "Надежность" 15.

2.5. Тест Стьюдента.

Если число измерений мало ((30), то 13 EMBED Equation.3 1415, то для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя. В этом случае пользуются распределением, выведенным английским математиком и химиком Госсетом ( псевдоним “Стьюдент”).
В распределении Стьюдента плотность распределения вероятности рассматривается как функция величины t:
13 EMBED Equation.3 1415,
которую называют коэффициентом Стьюдента13 XE "Коэффициент:Стьюдента" 15. Распределение Стьюдента зависит от n и при n(( переходит в распределение Гаусса. На основе распределения Стьюдента составлена таблица, в которой приведены значения коэффициента Стьюдента t, соответствующие числу измерений n при различных уровнях доверительной вероятности (:

Таблица 1.
n
(


90%
95%
99%

2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
50
100
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,89
1,86
1,83
1,76
1,73
1,68
1,66
12,70
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,14
2,09
2,01
1,98
63,70
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
2,98
2,86
2,68
2,63


Коэффициентами Стьюдента можно пользоваться для оценки предельной ошибки арифметического среднего, если распределение результатов единичных измерений отвечает нормальному или приближенно нормальному распределению. Метод называют коротко тестом Стьюдента13 XE "Тест:Стьюдента" 15.
Для определения предельной ошибки при заданном нами уровне доверительной вероятности надо прежде всего найти среднее арифметическое результатов измерений и оценку стандартного отклонения Sх. По таблице 1. соответственно числу измерений и уровню доверительной вероятности берется коэффициент Стьюдента и по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
находится 13 EMBED Equation.3 1415. Уровень доверительной вероятности в физическом практикуме экспериментатор выбирает сам, если в руководстве к работе нет на это специальных указаний. На практике чаще всего пользуются уровнем доверительной вероятности в 90%, 95% и 99%. Если принять уровень доверительной вероятности равным 100%, то предельная ошибка будет: (Х=((. В этом случае измерения не будут нести никакой информации кроме того, что значение измеряемой величины находится в пределах от (( до ((.
Не следует выбирать уровень доверительной вероятности и настолько большим, чтобы предельная ошибка стала сравнима с результатом измерения. И в этом случае результат измерения содержал бы мало информации. В общем надо исходить из принципа: чем больше число измерений, тем больший уровень доверительной вероятности можно выбирать. При малом числе измерений может так случиться, что все результаты измерений окажутся по одну сторону от истинного значения величины Х.


Порядок выполнения работы.


Время реакции – временной интервал между возникновением события и принятия решения по этому событию.
13 EMBED Excel.Sheet.8 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

i
величин
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
результат

h(m)










---

t










13 EMBED Equation.3 1415

(t










13 EMBED Equation.3 1415

((t)2










13 EMBED Equation.3 1415


Определение погрешности:

ta,n = 2.26 13 EMBED Equation.3 1415
Вывод: в ходе проведенной работы получен результат
13 EMBED Equation.3 1415 с.

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeArial Cyr1"ИArial Cyr1"ИArial Cyr1"ИArial Cyr1"рArial Cyr1" Arial Cyr1"
·Arial CyrО/15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0"р.";[Red]\-#,##0"р."О;

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0.00"р.";[Red]\-#,##0.00"р."Оk*3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;[email protected]_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;[email protected]_-а14 1414141414141414141414 1414 1414мИ

Приложенные файлы

  • doc 20239823
    Размер файла: 198 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий