reshenie oge 2017


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ДЕМОНСТРАЦИОННОГО
ВАРИАНТА ОГЭ
-
2017 ПО
МАТЕМАТИКЕ




Модуль «Алгебра»


Найдите значение выражения

ͳ
Ͷ

Ͳ

Ͳ͹


. Приведем первую дробь к знаменателю 100, умножив и
числитель и знаменатель на 25:

ͳ
Ͷ

Ͳ

Ͳ͹

ʹͷ

Ͳ

Ͳ͹

Ͳ

ʹͷ

Ͳ

Ͳ͹

Ͳ

͵ʹ


Ответ
: 0,32.


На координатной прямой отмечена точка
А
.

Какому из чисел соответствует точка
А
?

ͳ

ͳͺͳ
ͳ͸











ʹ

͵͹











͵

Ͳ

͸










Ͷ

Ͷ


1

2

2


Решение.

Нетрудно

заметить, что точка
А

не находится посередине
отрезка
[0; 10]



она находится чуть ближе к 10. Значит число 4, а уж тем более
0,6 убираем из рассмотрения. При этом:

ͳͺͳ
ͳ͸

ͳͳ
ͷ
ͳ͸

ͳͲ


Методом исключения,
ܣ


͵͹
, число под номером 2.

Ответ
: 2.


Зна
чение какого из выражений является рациональным
числом?

ͳ


͸

͵











ʹ


͵


ͷ











͵



ͷ













Ͷ



͸

͵




Решение
. Первое число заведомо является иррациональным, потому что
число 6 не является квадратом натурального. Далее,

͵


ͷ


ͳͷ



также не
является рациональным числом. По определению:



ͷ




ͷ


ͷ


ʹͷ

ͷ


Выходит, число под номером 3


рациональное. Значит число 4


иррациональное; в этом можно убедиться, раскрыв скобки, а можно просто не
рассматривать, по
тому что мы уже получили ответ.

Ответ
: 3.


Решите уравнение

͹


ͻ

ͶͲ


Решение
. Прибавим к обеим частям равенства число 9, а затем разделим
обе части равенства на положительное число 7:

͹


ͻ

ͶͲ

͹


Ͷͻ



͹


Ответ
: 7.




3

4

3



Установите соответствие м
ежду графиками функций и
формулами, которые их задают


ͳ







ʹ





ʹ

͵




ʹ



В таблице под каждой буквой, соответствующей графику, впишите номер
формулы, которая его задаёт.

Решение
. График на рисунке В


прямая линия; уравнение, з
адающее этот
график, содержит
х

в первой степени. Значит В


2.

Понятно, что на рисунке А изображена парабола; уравнение, задающее
этот график, содержит
х

в чётной положительной степени. Отсюда А


1 и,
методом исключения, Б


3.




В последовательности чисел первое число равно 6, а каждое
следующее больше предыдущего на 4. Найдите пятнадцатое число.

Решение
.
Понятно, что здесь идет речь об арифметической прогрессии.

ܽ


͸

݀

Ͷ

ܽ
ଵହ

ܽ



ͳͷ

ͳ

݀

͸

ͳͶ

Ͷ

͸ʹ


Ответ
: 62.




Ответ
:

А

Б

В

1

3

2

5

6

4



Найдите значение выражения

ͻ
ܾ

ͷ
ܽ

ͻ
ܾ

ܾ

при
ܽ

ͻ
,
ܾ

͵͸
.

Решение
. Можно заметить, что при попытке предварительного упрощения
выражения и приведения чисел к общему знаменателю
ܾ
, выражение
ͻ
ܾ


исчезнет:

ͻ
ܾ

ͷ
ܽ

ͻ
ܾ

ܾ

ͻ
ܾ


ͷ
ܽ

ͻ
ܾ

ܾ

ͷ
ܽ
ܾ

ͷ

ͻ
͵͸

ͷ
Ͷ

ͳ

ʹͷ


Ответ
: 1,25.


Решите систему неравенств




ʹ

͸

Ͳ



ͷ

ͳ



На каком рисунке изображено множество её решений?


Решение
. Уединим переменную в каждом из неравенств.




ʹ

͸

Ͳ



ͷ

ͳ







ʹ

͸




Ͷ




Ͷ




ʹ

͸


Получается, что

решением системы

являются все
х

из

отр
е
зк
а

[

4;

2,6]



множество решений верно изображено на рисунке 2.

Ответ
: 2.



7

8

5


Модуль «Геометрия»


В равнобедренном треугольнике
АВС

с основанием
АС

внешний угол при вершине
С

равен 123°
. Найдите величину угла
ВАС
. Ответ
дайте в градусах.

Решение
. По свойству смежных углов,
величина угла
ВСА

найдется:


ܤܥܣ

ͳͺͲ


ͳʹ͵


ͷ͹



Известно, что в равнобедренном
треугольнике углы при основании равны,
значит


ܤܣܥ


ܤܥܣ

ͷ͹



Ответ
: 57. (Сим
вол градуса просили не писать в условии задачи.)


Найдите длину хорды окружности
радиусом 13

см, если расстояние от центра окружности
до хорды равно 5

см. Ответ дайте в см.

Решение
. Известно, что (кратчайшее) расстояние
от точки до прямой


это перпенди
куляр из этой точки
к данной прямой. В свою очередь, перпендикуляр,
проведенный из центра окружности к хорде, делит
её пополам.

Отрезок, соединяющий центр окружности с
серединой хорды, радиус окружности и половина
хорды образуют прямоугольный треугольник.


ܣܥ

ʹ
ܣܤ

ʹ

ܴ


ͷ


ʹ


ͳ͵

ͷ


ͳ͵

ͷ


ʹ

ͳʹ

ʹͶ


Ответ
: 24.



9

10

6



Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение
. Воспользуемся
формулой площади трапеции:

ܵ


ܽ

ܾ
ʹ





͹


ͻ

ͳʹ

ʹ

ͳʹ



ͳͶ

ͳʹ

ͳ͸ͺ


Ответ
: 168.


Найдите танге
нс угла
АОВ

треугольника, изображённого на
рисунке.

Решение
. Тангенсом угла
прямоугольного треугольника называется
отношение противолежащего катета к
прилежащему.
Воспользовавшись
клеточками, нетрудно найти нужные
величины:




ܣ ܤ

ܣܤ
ܣ

Ͷ
ʹ

ʹ


Ответ
: 2.


Укажите номера
верных

утверждений.

1)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести
прямую, параллельную этой прямой.

2)

Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

3)

Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб


квадрат.

4)

В любо
м параллелограмме диагонали равны.

Решение
. Первое утверждение верное


до аксиомы параллельных прямых
не хватает дописать "и притом только одну".

11

12

13

7


Второе утверждение противоречит правилу треугольника: сумма длин
двух любых сторон всегда должна быть больш
е длины третьей стороны
треугольника. Оно неверное.

Третье утверждение верное, его можно доказать по свойствам ромба.

Четвертое утверждение неверное. Мы все знаем, что диагональ самого
обычного параллелограмма, соединяющая вершины острых его углов всегда

больше диагонали, соединяющей вершины тупых углов.

Ответ
: 13. (Также можно записать и в другой последовательности, 31.)


Модуль
«Реальная математика»


В таблице приведены нормативы по бегу на 30 метров для
учащихся 9
-
х классов.


Мальчики

Девочки

Отме
тка

«отл.»

«хор.»

«удовл.»

«отл.»

«хор.»

«удовл.»

Время,
секунды

4,6

4,9

5,3

5,0

5,5

5,9


Какую отметку получит девочка, пробежавшая эту дистанцию за
5,36

секунды?

1)

Отлично







2)

Хорошо

3)

Удовлетворительно





4)

Норматив не выполнен

Решение
. Дев
очка не получит отметку «отл.», потому что затратила на
дистанцию более 5,0 секунд, но менее 5,5 секунд, что соответствует отметке
«хор.» (Хорошо)


вариант под номером 2.

Ответ
: 2.





14

8



На графике изображена зависимость атмосферного давления
(в миллимет
рах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах).
На какой высоте (в километрах) давление составит 540 миллиметров ртутного
столба?



Решение
. Определим цену деления вертикальной оси (оси давления). Для
этого возьмем две указанные отметки

и

посчитаем количество делений между
ними. Затем разделим разность этих отметок на количество делений между
ними и узнаем цену деления одной отметки.

Например, между 400 и 500 ровно 5 делений, значит цена одного деления
равна 20 миллиметров ртутного столба
. Аналогично, цена деления
горизонтальной оси (оси высоты) равна 0,5 километра.

Теперь находим отметку 540 миллиметров ртутного столба (на два деления
выше отметки 500) и ищем точку пересечения с графиком. Прикладываем
линейку к этой точке горизонтально и

находим, что ей соответствует отметка
2,5 километра.

Ответ
: 2,5.


15

9



Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет
198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит
проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?

Решение
.
Цена билета для школьника составит, с учётом скидки, ровно
половину цены билета для взрослого, то есть 198

/

2

=

99. Тогда:

ͳͻͺ

Ͷ

ͻͻ

ͳʹ

ͳͻͺ

Ͷ

ͳͻͺ

͸

ͳͻͺ

ͳͲ

ͳͻͺͲ


Ответ
: 1980.


Наклонная балка поддерживается тремя столбами, стоящими
вертикально на равном р
асстоянии друг от друга. Длины двух меньших столбов


60

см и 90

см. Найдите длину большего столба. Ответ дайте в см.

Решение
.
С учётом условий можно считать, что
меньший и больший столбцы являются основаниями
прямоугольной трапеции, а средний столбец


средней
линией трапеции. Тогда, по формуле средней линии
трапеции:



ܽ

ܾ
ʹ

ܽ

ʹ


ܾ

ʹ

ͻͲ

͸Ͳ

ͳʹͲ


По большому счёту, можно рассуждать и так: столбы отстоят друг от друга
на одинаковом расстоянии и расположены по величине. Значит их высоты
также отл
ичаются на одно и то же число. Эти замечания прямо вытекают из
теоремы Фалеса, да и просто интуитивно понятны.

Ответ
: 120.




16

17

10



Завуч школы подвёл итоги контрольной работы по
математике в 9
-
х классах. Результаты представлены на круговой диаграмме.


Как
ие из утверждений относительно результатов контрольной работы
верны
, если всего в школе 120 девятиклассников?

В ответе укажите номера верных утверждений.

1)

Более половины учащихся получили отметку «3».

2)

Около половины учащихся отсутствовали на контрольной
работе
или получили отметку «2».

3)

Отметку «4» или «5» получила примерно шестая часть учащихся.

4)

Отметку «3», «4» или «5» получили более 100 учащихся.

Решение
. Первое утверждение верное, потому что видно, что
сектор «3»
занимает по площади большую часть все
го круга.

Второе утверждение неверное, потому что в сумме секторы
«отсутствовали» и «2» занимают чуть больше четверти всего круга, но никак не
половину.

Центральный угол, отвечающий за сумму секторов «4» и «5»,
приблизительно равен 60°. С учётом того, чт
о вся окружность в градусной мере
равна 360°, то получается, что утверждение 3 верное.

18

11


Ранее мы отметили, что секторы «отсутствовали» и «2» занимают чуть
больше четверти всего круга, значит число отсутствовавших или получивших
«2» учеников примерно равно
120

/

4

=

30. Значит остальных учеников
примерно 120



30

=

90 и получается, что четвертое утверждение неверное.

Ответ
: 13. (Или 31.)


На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с
капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок
. Найдите
вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.

Решение
. Среди всех исходов испытания «взятие пирожка» только 3
являются благоприятными (по числу пирожков с яблоками). А всего исходов
может быть 4

+

8

+

3

=

15. Искомая вероятность 3

/

15

=

1

/

5

=

0,2.

Ответ
: 0,2.


Период колебаний математического маятника
Т

(в секундах)
приближенно можно вычислить по формуле
ܶ

ʹ


,
где
l



длина нити (в
метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах),
период колебаний которого со
ставляет 3 секунды.

Решение
. Сразу можем подставлять числовые значения в формулу,
никакие единицы измерения не требуют перевода в другие.

͵

ʹ



ͻ

Ͷ




ͻ
Ͷ

ʹ

ʹͷ


Ответ
: 2,25.




19

20

12


Часть
2

Модуль «Алгебра»


Сократите дробь

ͳͺ



͵





ʹ





Решение
. Заметим, что 18

=

2·9

=

2·3
2
.

ͳͺ



͵





ʹ





ʹ

͵





͵





ʹ




ʹ




͵




͵





ʹ






ʹ










͵












ʹ


͵


ͻ
͸


Ответ
:
9
6.


Рыболов в 5 утра на моторной лодке

отправился от пристани
против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и
вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани
он отплыл, если скорость течения реки равна 2

км/ч, а собственная скорость
ло
дки 6

км/ч?

Решение
.
Составим уравнение относительно времени.

Если
х



искомое расстояние в километрах, то время движения против
течения реки


x

/

(6



2)
, время движения по течению реки


x

/

(6

+

2)
, время
стоянки 2 часа. В сумме эти величины 10



5

=

5 часов.


Ͷ

ʹ


ͺ

ͷ

ʹ


ͳ͸



ͶͲ

͵


ʹͶ



ͺ


Ответ
: 8

к
м
.
(
З
д
е
с
ь

е
д
и
н
и
цы

у
ка
зы
ва
ем
.)





21

22

13



Постройте график функции






ͳ͵



͵͸



͵




ʹ


и определите, при каких значениях параметра
с

прямая
у

=

с

имеет с графиком
ровно одну общую точку.

Решение
. Недоп
устимыми значениями аргумента являются те, при
которых знаменатель дроби обращается в ноль:
x

=


2
и
x

=

3
не являются
аргументами данной функции.

Попробуем разложить числитель на множители в надежде на упрощение
вида нашей функции:




ͳ͵



͵͸





ʹ

͸




͸












͸










͸







͸









ʹ




͵




ʹ




͵



Тогда при
x




2
и
x



3

функция принимает вид:






ʹ




͵







͸


графиком этой функции является парабола, точки которой с абсциссами
x

=


2
и
x

=

3

являются выколотыми (это точки (

2;

4) и (3: 6)).

Становится понятно, что прямая
у

=

с

(горизонтальная линия) имеет с
графиком ровно одну общую точку
либо тогда, когда проходит через
вершину параболы, либо тогда, когда
он пересекает парабо
лу в двух точках,
одна из которых


выколотая, то есть
когда
с

=


4 или
с

=

6.

Остается теперь найти вершину
параболы. Для параболы вида



ܽ



ܾ

ܿ

координаты вершины имеют следующие формулы:

23

14






ܾ
ʹ
ܽ







ܾ
ʹ
ܽ


Ͷ
ܽܿ

ܾ

Ͷ
ܽ


Нас интересует только ордината вершины параболы:




Ͷ

ͳ



͸


ͳ
Ͷ


͸

ʹͷ


Ответ
:

6,25,

4, 6
;
гр
аф
и
к

и
зо
бр
аж
ен

н
а
ри
су
нк
е.


Модуль «
Геометрия
»


В прямоугольном треугольнике
АВС

с прямым углом
С

известны катеты:
АС

=

6,
ВС

=

8. Найдите медиану
CK

этого треугольника.

Решение
.
Для решения задачи даже рисунок не понадобится. Достаточно
вспомнить о том, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (и радиусу описанной
окружности).

ܥ

ͳ
ʹ

ܣܤ


ͳ
ʹ


ܣܥ




ܤܥ



ͳ
ʹ

͵͸

͸Ͷ

ͷ


Ответ
: 5.


В параллелограмме
ABCD

точка
Е



середина стороны
АВ
.
Известно, что
EC

=

ED
. Докажите, что данный параллелограмм


прямоугольник.

Доказательство
. Параллелограмм
отличается от прямоугольника равенством
диагоналей
, например. Про диагонали ничего
не сообщается, значит используем другое
отличие: в прямоугольнике все углы равны
90°, а в параллелограмме углы с общей
стороной в сумме образуют 180°.

Треугольники
ВЕС

и
AED

равны по трем сторонам. Значит равны и
соответств
ующие углы:

ܥܤܧ


ܦܣܧ
. По свойству параллелограмма, сумма
24

25

15


этих углов равна 180°, значит каждый из них равен по 90°. Такой
параллелограмм действительно прямоугольник.

Ответ
: что и требовалось доказать.


Основание
АС

равнобедренного треугольника
А
ВС

равно 12.
Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений
боковых сторон треугольника и касается основания
АС
. Найдите радиус
окружности, вписанной в треугольник
АВС
.


Решение
. Пусть
О



центр данной окружности (она называетс
я
вневписанной), а
Q



центр вписанной окружности треугольника
АВС
.

Точка касания
М

этих окружностей делит
АС

пополам (биссектриса,
проведенная к основанию, также и медиана).

AQ

и
АО



биссектрисы смежных углов, значит угол
OAQ



прямой.

Из прямоугольно
го треугольника
OAQ

получаем


ܣ




ܳ







квадрат высоты прямоугольного треугольника равен произведению проекций
катетов на гипотенузу (выводится из подобия треугольников, на которые
высота разбивает данный прямоугольный треугольник).

В тако
м случае

26

16


ܳ


ܣ




͵
͸
ͺ

Ͷ

ͷ


О
т
в
е
т
:

4
,
5
.


4ege.ru

Приложенные файлы

  • pdf 18497619
    Размер файла: 841 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий