5 lek


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Òåìà20.Ìiðà.Ïðîäîâæåííÿìið Ôóíêöi¨ìíîæèí.Ìiðè Ìèáóäåìîðîçãëÿäàòèôóíêöi¨ìíîæèí  : H ! ( �1 ; + 1 ] ,äå H äîâiëüíèé íàáiðïiäìíîæèí X . Îçíà÷åííÿ1. Ôóíêöiÿìíîæèí  : H ! ( �1 ; + 1 ] íàçèâà¹òüñÿ 1). íåâiä'¹ìíîþ ,ÿêùî 8 A 2 H :  ( A )  0; 2). àäèòèâíîþ(ñêií÷åííî-àäèòèâíîþ) ,ÿêùî 8 A 1 ;:::;A n 2 H (íåïåðåòèííèõ) ; 1 [ k =1 A k 2 H :  � 1 [ k =1 A k  = 1 X k =1  ( A k ); 3).  -àäèòèâíîþ(çëi÷åííî-àäèòèâíîþ) ,ÿêùî 8 A 1 ;A 2 ;::: 2 H (íåïåðåòèííèõ) ; 1 [ k =1 A k 2 H :  � 1 [ k =1 A k  = 1 X k =1  ( A k ); 4). ïiâàäèòèâíîþ(ñêií÷åííî-ïiâàäèòèâíîþ) ,ÿêùî 8 A 1 ;:::;A n 2 H; n [ k =1 A k 2 H :  � n [ k =1 A k   n X k =1  ( A k ); 5).  -ïiâàäèòèâíîþ(çëi÷åííî-ïiâàäèòèâíîþ) ,ÿêùî 8 A 1 ;A 2 ;::: 2 H; 1 [ k =1 A k 2 H :  � 1 [ k =1 A k   1 X k =1  ( A k ); 6). ìîíîòîííîþ ,ÿêùî 8 A;B 2 H;A  B :  ( A )   ( B ); 7). ñêií÷åííîþ ,ÿêùî 8 A 2 H :  ( A ) + 1 ; 8).  -ñêií÷åííîþ,ÿêùî 9 X 1 ;X 2 ;::: 2 H : X = 1 [ k =1 X k iâñi  ( X k ) + 1 Çàíàÿâíîñòiíåñêií÷åííèõçíà÷åíüóñóìàõ,âèêîðèñòîâó¹ìîïðèðîäíióçãîäæåí- íÿ: a +(+ 1 )=+ 1 ( a 2 R ) ; (+ 1 )+(+ 1 )=+ 1 ; 2 çíà÷åííÿ (+ 1 )+( �1 ) ââàæà¹òüñÿíåâèçíà÷åíèì. Îçíà÷åííÿ2. Ìiðîþ íàçèâà¹òüñÿíåâiä'¹ìíà  -àäèòèâíàôóíêöiÿìíîæèí,çà- äàíàíàïiâêiëüöi. Ïðèêëàä1.Äëÿôiêñîâàíîãî x 2 X ôóíêöiÿìíîæèí  ( A )=1 A ( x ) áóäåìiðîþ íà 2 X . Âëàñòèâîñòiìið. Íåõàé  ìiðàíàïiâêiëüöi P . 1.  ( ; )=0 : 2.  ñêií÷åííî-àäèòèâíà. 3.  ìîíîòîííà. 4.  -ïiâàäèòèâíà. 5.Íåõàé A 1 ;A 2 ;::: 2 P;A  S 1 k =1 A k .Òîäi  ( A )  1 X k =1  ( A k ) : Òåîðåìà1.(òåîðåìàïðîíåïåðåðâíiñòüìiðèçíèçó). Íåõàé  ìiðàíà êiëüöi K , A n 2 K;n  1 ;A n " ; 1 [ n =1 A n 2 K: Òîäi  � 1 [ n =1 A n  =lim n !1  ( A n ) : Òåîðåìà2.(òåîðåìàïðîíåïåðåðâíiñòüìiðèçâåðõó). Íåõàé  ìiðàíà êiëüöi K , A n 2 K;n  1 ;A n # ; 1 \ n =1 A n 2 K; ( A 1 ) + 1 : Òîäi  � 1 \ n =1 A n  =lim n !1  ( A n ) : Ïðèêëàäèìið Íåõàé A  R d îáìåæåíàìíîæèíà.Âiçüìåìîäåÿêå n  0 iâ R d ðîçãëÿíåìîóñi áðóñèâèãëÿäó d Y i =1 [ k i 2 � n ; ( k 1 +1)2 � n ] ;k i 2 Z (1) Çíà÷åííÿìiðèêîæíîãîòàêîãîáðóñàïîêëàäåìîðiâíèì 2 � nd ,ìiðóîá'¹äíàííÿ áðóñiâáåçñïiëüíèõâíóòðiøíiõòî÷îêââàæà¹ìîðiâíîþñóìiâiäïîâiäíèõìið.Íåõàé 3 A ( n ) îá'¹äíàííÿâñiõáðóñiâ,ùî¹ïiäìíîæèíàìè A , A ( n ) îá'¹äíàííÿâñiõáðóñiâ, ùîìàþòüõî÷àáîäíóñïiëüíóòî÷êóç A .ßêùî sup n  0 m ( A ( n ) )=inf n  0 m ( A ( n ) ) ; òîìíîæèíà A íàçèâà¹òüñÿâèìiðíîþçàÆîðäàíîì,i m ( A ) ïîêëàäà¹òüñÿðiâíîþ öüîìóñïiëüíîìóçíà÷åííþñóïðåìóìóiiíôiìóìó. Óìàòåìàòè÷íîìóàíàëiçiäîâîäèòüñÿ,ùîîá¹äíàííÿiðiçíèöÿäâîõìíîæèí,âè- ìiðíèõçàÆîðäàíîì,òàêîæâèìiðíiçàÆîðäàíîì,òîáòîêëàñöèõìíîæèíóòâîðþ¹ êiëüöå.Ïîçíà÷èìîöåêiëüöå÷åðåç K m .Òàêîæâiäîìî,ùî m ñêií÷åííî-àäèòèâíàíà K m . Ëåìà1. Äëÿáóäü-ÿêèõ A 2 K m ;"( 0 çíàéäóòüñÿçàìêíåíàìíîæèíà F " 2 K m iâiäêðèòàìíîæèíà U " 2 K m òàêi,ùî F "  A  U " ;m ( A ) � m ( F " ) ";m ( U " ) � m ( A ) ": Òåîðåìà3. ÌiðàÆîðäàíà m ¹ìiðîþíàêiëüöi K m óñåíñiíàøîãîîçíà÷åííÿ (òîáòîíåâiä'¹ìíîþ  -àäèòèâíîþôóíêöi¹þìíîæèí). Íàñëiäîê1. Íàïiâêiëüöi P d = f d Y k =1 ( a k ;b k ] j a k ;b k 2 R g âèçíà÷èìîôóíêöiþìíîæèí  d � d Y k =1 ( a k ;b k ]  := d Y k =1 ( b k � a k ) : Òîäi  d ¹ìiðîþíà P d . Òåîðåìà4. Íåõàé f : R ! R íåñïàäíàíåïåðåðâíàñïðàâàôóíêöiÿ.Íàïiâ- êiëüöi P 1 = f ( a;b ] j a;b 2 R g âèçíà÷èìîôóíêöiþìíîæèí  F (( a;b ]):= F ( b ) � F ( a ) : Òîäi  F ¹ìiðîþíà P 1 . Îçíà÷åííÿ3. Íåõàé H; e H  2 X ; : H ! ( �1 ; + 1 ] ; e  : e H ! ( �1 ; + 1 ] . Ôóíêöiÿìíîæèí e  íàçèâà¹òüñÿïðîäîâæåííÿìôóíêöi¨ìíîæèí  ,ÿêùî H  e H; 8 A 2 H :  ( A )= e  ( A ) : 4 Ïðèöüîìó  íàçèâà¹òüñÿçâóæåííÿì e  . Çîâíiøíiìiðè Îçíà÷åííÿ4. Ôóíêöiÿìíîæèí   :2 X ! [0 ; + 1 ] íàçèâà¹òüñÿ çîâíiøíüîþ ìiðîþ ,ÿêùî1).   ( ; )=0 ; 2).äëÿáóäü-ÿêèõ A;A n  X;n  1 ;A  S 1 n =1 A n ; âèêîíó¹òüñÿ   ( A )  1 X n =1   ( A n ) : (2) Ïðèêëàä2. Áóäü-ÿêàìiðà,âèçíà÷åíàíà 2 X ,¹çîâíiøíüîþìiðîþ. Âëàñòèâîñòiçîâíiøíiõìið. Íåõàé   çîâíiøíÿìiðà. 1.Äëÿ A;A n  X;A  S j n =1 A n ,âèêîíó¹òüñÿ   ( A )  P j n =1   ( A n ) : 2.   ìîíîòîííà. Îçíà÷åííÿ5. Íåõàé  ìiðàíàïiâêiëüöi P . Çîâíiøíüîþìiðîþ,ïîðîäæåíîþ ìiðîþ  ,íàçèâà¹òüñÿôóíêöiÿìíîæèí   ,âèçíà÷åíàçàïðàâèëîì:1).   ( A ):= inf f P 1 n =1  ( A n ) j A n 2 P;A  S 1 n =1 A n g ; ÿêùîiñíó¹õî÷àáîäíåçëi÷åííåïîêðèòòÿ ìíîæèíè A åëåìåíòàìè P ; 2)   ( A ):=+ 1 âiíøîìóâèïàäêó. Òåîðåìà5. Ôóíêöiÿìíîæèí   ,âèçíà÷åíàâîçíà÷åííi5,¹çîâíiøíüîþìiðîþ. ÒåîðåìàÊàðàòåîäîði.Ïîâíiìiðè Îçíà÷åííÿ6. Ìíîæèíà A íàçèâà¹òüñÿ âèìiðíîþçàÊàðàòåîäîði âiäíîñíîçîâ- íiøíüî¨ìiðè   ,ÿêùîäëÿáóäü-ÿêî¨ìíîæèíè E  X   ( E )=   ( E \ A )+   ( E \ A ) : (3) Ðiâíiñòü(3)ìîæíàçàïèñóâàòèóâèãëÿäi   ( E )=   ( E \ A )+   ( E \ n A ) Ñåíñîçíà÷åííÿïîëÿãà¹âòîìó,ùîöÿìíîæèíà A äà¹ðîçáèòòÿáóäü-ÿêî¨ìíî- æèíè E  X íàäâi÷àñòèíè,   àäèòèâíà. Òåîðåìà6.(òåîðåìàÊàðàòåîäîði). Íåõàé   äîâiëüíàçîâíiøíÿìiðà, S êëàñìíîæèí,âèìiðíèõçàÊàðàòåîäîðiâiäíîñíî   .Òîäi S ¹  -àëãåáðîþiçâó- æåííÿ   íà S ¹ìiðîþ. Îçíà÷åííÿ7. Ìiðà  íà  -àëãåáði F íàçèâà¹òüñÿ ïîâíîþ ,ÿêùî 8 A 2 F; ( A )=0 ; 8 B  A : B 2 F: Içìîíîòîííîñòiìiðèâèïëèâà¹,ùîòîäi  ( B )=0 . Iíêîëèãîâîðÿòü,ùî  -àëãåáðà F ¹ïîâíîþâiäíîñíîìiðè  .Ïîâíîòàôàêòè÷íî ¹âëàñòèâiñòþïàðèîá'¹êòiâ  òà F . 5 Íàñëiäîê2. Âèçíà÷åíàâòåîðåìiÊàðàòåîäîðiìiðà   íà S ¹ïîâíîþ. Òåîðåìà7.(òåîðåìàïðîâèìiðíiñòüåëåìåíòiââèõiäíîãîïiâêiëüöÿ). Íåõàé  ìiðàíàïiâêiëüöi P ,çîâíiøíÿìiðà   ïîðîäæåíàìiðîþ  , S êëàñ âñiõ   -âèìiðíèõìíîæèí.Òîäi P  S içâóæåííÿ   íà P çáiãà¹òüñÿç  . Òåîðåìà8. Íåõàé    -ñêií÷åíàìiðàíàïiâêiëüöi P ,ùîïîðîäæó¹çîâíiøíþ ìiðó   ; i S êëàñìíîæèí,âèìiðíèõçàÊàðàòåîäîðiâiäíîñíî   .ßêùî e   äîâiëüíåïðîäîâæåííÿ  íà S ,òî 8 A 2 S : e  ( A )=   ( A ) : Íàñëiäîê3. Íåõàé    -ñêií÷åíàìiðàíàïiâêiëüöi P ,ìiðè e  1 ; e  2 äâਨ ïðîäîâæåííÿíà k ( P ) .Òîäi 8 A 2 k ( P ): e  1 ( A )= e  2 ( A ) : Òåîðåìà9.(òåîðåìàïðîíàáëèæåííÿìið訨çíà÷åííÿìèíàêiëüöi). Íåõàéìiðà    -ñêií÷åíàíàïiâêiëüöi P ,äîâiëüíèì÷èíîìïðîäîâæåíàíà  - àëãåáðó S ìíîæèí,âèìiðíèõçàÊàðàòåîäîðiâiäíîñíîïîðîäæåíî¨   .Òîäi 8 A 2 S; ( A ) + 18 " 9 B 2 k ( P ):  ( A 4 B ) ": ÌiðàËåáåãàâ R d .ÌiðàËåáåãà-Ñòiëòü¹ñàâ R Âiçüìåìîóíiâåðñàëüíóìíîæèíó X = R d .Íàêëàñiïiäìíîæèí P d = f d Y k =1 ( a k ;b k ] j a k ;b k 2 R g âèçíà÷èìîôóíêöiþ  d � d Y k =1 ( a k ;b k ]  := d Y k =1 ( b k � a k ) : Òîäi  d ¹ìiðîþíàïiâêiëüöi P d ,çà  d âèçíà÷èìîçîâíiøíþìiðó   d .×åðåç S d ïîçíà÷èìîêëàñìíîæèí,âèìiðíèõçàÊàðàòåîäîðiâiäíîñíî   d . Òîäiìíîæèíèç S d íàçèâàþòüñÿ âèìiðíèìèçàËåáåãîì â R d ,çâóæåííÿ   d íà S d íàçèâà¹òüñÿ ìiðîþËåáåãà â R d .ÌiðóËåáåãàíà S d òàêîæïîçíà÷àòèìåìî÷åðåç  d . Çíà÷åííÿìiðèËåáåãàäåÿêèõïiäìíîæèí R . 1.ÌiðàËåáåãàîäíîòî÷êîâî¨ ìíîæèíèäîðiâíþ¹íóëþ.Ìà¹ìî  1 ( b )=lim n !1  1 � ( b � 1 n ;b  =lim n !1 1 n =0 : 2.ÌiðàËåáåãàáóäü-ÿêî¨ñêií÷åíî¨àáîçëi÷åíî¨ìíîæèíèäîðiâíþ¹íóëþ,îñêiëüêè öåñêií÷åíààáîçëi÷åíàñóìàìiðîäíîòî÷êîâèõìíîæèí. 6 3.ÌiðàËåáåãàêîæíîãîçiíòåðâàëiâ [ a;b ] ; ( a;b )( a;b ] äîðiâíþ¹ b � a .Íàïðèêëàä, ìà¹ìî  1 ([ a;b ])=  1 ( a )+  1 (( a;b ])=0+( b � a )= b � a; iíøiiíòåðâàëèðîçãëÿäàþòüñÿàíàëîãi÷íî. 4.ÌiðàËåáåãàâñi¹¨ìíîæèíè R äîðiâíþ¹ + 1 .Àäæå  1 ( R )=lim n !1  1 (( � n;n ])=lim n !1 2 n =+ 1 : Òåîðåìà10. Íåõàéìíîæèíà A  R d âèìiðíàçàÆîðäàíîì.Òîäi A âèìiðíà çàËåáåãîì,içíà÷åííÿìiðÆîðäàíàiËåáåãàäëÿíå¨çáiãàþòüñÿ. Ðåãóëÿðíiñòüìið Òåîðåìà11. Íåõàé  ìiðàíà S ,ñêií÷åíàíàîáìåæåíèõìíîæèíàõ.Òîäiäëÿ áóäü-ÿêèõ A 2 S; ( A ) + 1 ,i "( 0 çíàéäóòüñÿêîìïàêòíàìíîæèíà K " i âiäêðèòàìíîæèíà U " òàêi,ùî K "  A  U " ; ( A ) �  ( K " ) "; ( U " ) �  ( A ) "

Приложенные файлы

  • pdf 18814052
    Размер файла: 60 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий