lek-5

Лекция-5

ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

§ 2.5. Методы численного интегрирования

2.5.1. Понятие о формулах численного интегрирования.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл вида
13 EMBED Equation.3 1415. (2.5.1)
Для многих функций 13 EMBED Equation.3 1415 первообразные представляют собой достаточно сложные комбинации элементарных функций, либо вовсе не выражаются через них. В таких случаях использование формулы Ньютона-Лейбница на практике не представляется возможным. Во многих практических случаях достаточно получить значение интеграла с заданной точностью 13 EMBED Equation.3 1415. Для вычисления приближенного значения интеграла существуют формулы численного интегрирования. Суть построения формул численного интегрирования состоит в следующем.
Разобьем отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 частей. Для простоты изложения положим эти части одинаковой длины 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Пронумеруем точки разбиения так, как показано на рис. 2.5.1. Имеем:
13 EMBED Equation.3 1415,
при этом
13 EMBED Equation.3 1415.


Рис. 2.5.1. К вопросу о численном интегрировании.

Исходный интеграл (2.5.1) может быть представлен в виде суммы интегралов по полученным в результате разбиения «малым» отрезкам:
13 EMBED Equation.3 1415. (2.5.2)
Интегралы
13 EMBED Equation.3 1415 (2.5.3)
вычисляются по приближенным формулам.
Простейшие формулы для приближенного вычисления интегралов по отрезку называются квадратурными формулами. Рассмотрим некоторые из них ниже, а также изучим вопросы их точности. Порядок точности квадратурной формулы определяется степенью полинома (многочлена), для которой эта квадратурная формула точна.

2.5.2. Формула прямоугольников (формула «средних»).
Заменим на i-ом участке интегрируемую функцию постоянной величиной, например, равной ее значению в средней точке (рис. 2.5.2):

Рис. 2.5.2. К интегрированию по формуле прямоугольников.

13 EMBED Equation.3 1415 , где 13 EMBED Equation.3 1415. (2.5.4)

Тогда интеграл на отрезке заменяется площадью прямоугольника, т.е.

13 EMBED Equation.3 1415 , (2.5.5)
и вычисление исходного интеграла сводится к вычислению суммы

13 EMBED Equation.3 1415. (2.5.6)
Кроме того, часто из практических соображений в качестве 13 EMBED Equation.3 1415 в формуле (2.5.6) берется 13 EMBED Equation.3 1415, либо 13 EMBED Equation.3 1415. В результате получаем:
13 EMBED Equation.3 1415 (2.5.7)
– квадратурная формула «левых» прямоугольников;
13 EMBED Equation.3 1415 (2.5.8)
– квадратурная формула «правых» прямоугольников.

Формулы (2.5.7) и (2.5.8) менее точные, чем (2.5.6), но иногда более удобные, например, при численном решении дифференциальных уравнений.

Точность вычисления. Как следует из построения квадратурные формулы прямоугольников дают точный результат интегрирования для функций, постоянных на i-ом участке (13 EMBED Equation.3 1415). Квадратурная формула «средних» прямоугольников дает точный результат также и для линейных на i-ом отрезке функций. Это утверждение достаточно проверить для простейшей линейной функции 13 EMBED Equation.3 1415.

При точном интегрировании получаем:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,

а при интегрировании по формуле «средних» прямоугольников
13 EMBED Equation.3 1415

Как видно, результаты точного и численного интегрирования совпадают.

2.5.3. Формула трапеций.
Заменяем на i-ом участке интегрируемую функцию линейной функцией 13 EMBED Equation.3 1415, принимающей в точках 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 значения (рис. 2.5.3):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (2.5.9)

Рис. 2.5.3. К интегрированию по формуле трапеций.
Тогда интеграл на отрезке заменятся площадью трапеции (13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – основания, 13 EMBED Equation.3 1415 – высота)

13 EMBED Equation.3 1415. (2.5.10)
Вычисление исходного интеграла сводится к вычислению суммы

13 EMBED Equation.3 1415, (2.5.11)
или
13 EMBED Equation.3 1415. (2.5.12)

Точность вычисления. Как следует из построения квадратурная формула трапеций дает точный результат интегрирования для функций, линейных на i-ом участке (13 EMBED Equation.3 1415).




2.5.4. Формула Симпсона.
Разобьем интервал интегрирования на четное число отрезков. Рассмотрим сдвоенный участок [13 EMBED Equation.3 1415].
Построим параболу
13 EMBED Equation.3 1415,
принимающую в точках
13 EMBED Equation.3 1415
значения (см. рис. 3.5.4)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.


Рис. 2.5.4. К интегрированию по формуле Симпсона.

Такая парабола может быть представлена формулой
13 EMBED Equation.3 1415, (2.5.13)
где
13 EMBED Equation.3 1415, при этом 13 EMBED Equation.3 1415 (2.5.14)
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. (2.5.15)
Делая замену переменных, вычислим приближенное значение интеграла
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Параметры 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 определим из условий
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

В итоге получим квадратурную формулу Симпсона
13 EMBED Equation.3 1415. (2.5.16)
Общая формула для вычисления приближенного значения интеграла примет вид
13 EMBED Equation.3 1415. (2.5.17)

Суммирование ведется только по нечетным i. Если перегруппировать члены суммы, получим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
т.е.
13 EMBED Equation.3 1415 (3.5.18)

Точность вычисления. Как следует из построения квадратурные формулы Симпсона дают точный результат интегрирования для функций, имеющих вид квадратичной параболы на сдвоенном участке [13 EMBED Equation.3 1415] (13 EMBED Equation.3 1415– нечетное). При этом одинаковая длина сдвоенных участков вовсе не обязательна и использовалась здесь исключительно для упрощения промежуточных выкладок и вида результирующих формул (2.5.17)–(2.5.18).
В том случае, когда сдвоенные участки имеют одинаковую длину, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415 – средняя точка сдвоенного участка,
формула Симпсона точна для функций, имеющих вид кубической параболы на этих участках. Это утверждение достаточно проверить для 13 EMBED Equation.3 1415.
При точном интегрировании имеем:
13 EMBED Equation.3 1415,
а при интегрирование по формуле Симпсона получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Как видно, результаты точного и численного интегрирования совпадают.





2.5.5. Вычисление интеграла с заданной точностью.
Обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415 вычисленное приближенное значение интеграла
13 EMBED Equation.3 1415
при разбиении отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 частей. При необходимости вычислить результат с заданной точностью 13 EMBED Equation.3 1415 вычисления повторяют с последовательно уменьшающимся (вдвое) шагом до тех пор, пока не выполнится условие окончание счета
13 EMBED Equation.3 1415. (2.5.19)


2.5.6. Пример численного интегрирования полинома.
Вычислить
13 EMBED Equation.2 1415,
где 13 EMBED Equation.2 1415.
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.

Метод прямоугольников.
Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Расчет сведен в табличную форму.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1
0.375
0.713

2
1.125
–0.283

3
1.875
–3.951

4
2.625
–12.822


На основании данных, приведенных в таблице, вычисляем приближенное значение интеграла по формуле средних прямоугольников (2.5.6):
13 EMBED Equation.2 14150.75·[0.713+(–0.283)+(–3.951)+(–12.822)]=-12/258




Метод трапеций.
Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Расчет сведен в табличную форму

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

0
0.0
1.0

1
0.75
0.391

2
1.5
–1.625

3
2.25
–7.578

4
3.0
–20.0


На основании данных, приведенных в таблице, вычисляем приближенное значение интеграла по формуле трапеций (2.5.12):
13 EMBED Equation.2 14150.75·{[1.0+(–20.0)]/2+0.391+(–1.625)+(–7.578)}=–13.734


Метод Симпсона.
Аналогично методу трапеций:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Расчет сведен в табличную форму (таблицы метода трапеций и метода Симпсона совпадают).
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

0
0.0
1.0

1
0.75
0.391

2
1.5
–1.625

3
2.25
–7.578

4
3.0
–20.0


На основании данных, приведенных в таблице, вычисляем приближенное значение интеграла по формуле Симпсона (3.5.18):
13 EMBED Equation.2 14150.75/3·[1.0+4·0.391+2 (–1.625)+4 (–7.578)+(–20.0)]=-12.749






2.5.7. Пример программы (лабораторная работа 5).
Вычисление интеграла методами прямоугольников (средних), трапеций и Симпсона с заданной точностью.
Варианты задания.
13 EMBED Equation.3 1415,
где
13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 – номер группы; 13 EMBED Equation.3 1415 – номер студента по журналу.

Текст программы на F90
function f(x)
common a0,a1,a2
f=((x+a2)*x+a1)*x+a0
end

! метод прямоугольников
function pr(a,b,n)
h=(b-a)/n; s=0; x=a+h/2
do i=1,n
s=s+f(x); x=x+h
enddo; pr=h*s
end

! метод трапеций
function tr(a,b,n)
h=(b-a)/n; s=(f(a)+f(b))/2; x=a+h
do i=1,n-1
s=s+f(x); x=x+h
enddo; tr=h*s
end

! метод Симпсона
function simps(a,b,n)
h=(b-a)/n; s=f(a)+f(b); x=a+h; z=1
do i=1,n-1
s=s+(3+z)*f(x); x=x+h; z=-z
enddo; simps=h*s/3
end

function aintegral(a,b,eps,kmax,n,sint)
n=2; s=sint(a,b,n)
do k=0,kmax
n=n*2; s1=sint(a,b,n); if(abs(s1-s)enddo
1 aintegral=s1
end

external f,pr,tr,simps
parameter(s=17,g=3,eps=0.0001,kmax=20,a=0,b=3)
common a0,a1,a2
real r(20)
a0=-s*(g*g+s*s)/1000; a1=(s+g)**2/100; a2=-(2*g+s)/10;
print '(4(2x,a,f10.4))','a0=',a0,'a1=',a1,'a2=',a2
print 100,'PR:',aintegral(a,b,eps,kmax,n,pr),'n=',n
print 100,'TR:',aintegral(a,b,eps,kmax,n,tr),'n=',n
print 100,'SIMPS:',aintegral(a,b,eps,kmax,n,simps),'n=',n
call qatr(a,b,eps,20,f,sq,ier,r); print 100,'QATR:',sq
100 format(2x,a,f10.4,4x,a,i10)
end


Результаты счета

a0= -5.0660 a1= 4.0000 a2= -2.3000
PR: 2.3520 n= 512
TR: 2.3520 n= 1024
SIMPS: 2.3520 n= 4
QATR: 2.3520
Press any key to continue

Замечание.
1. В приведенной программе реализованы все три рассматриваемые в настоящем курсе формулы численного интегрирования:
п/п PR – вычисление интеграла по формуле прямоугольников;
п/п TR – вычисление интеграла по формуле трапеций;
п/п SIMPS – вычисление интеграла по формуле Симпсона.
2. Переменная 13 EMBED Equation.2 1415 (в программе – kmax) определяет количество отрезков, на которые делится интервал интегрирования для вычисления интеграла с заданной точностью. При этом значение n последовательно удваивается до тех пор, пока изменение приближенного значения интеграла не станет меньше заданного малого числа 13 EMBED Equation.2 1415(в программе – eps), значение которого вводится. При расчете было принято:
kmax =20, eps =0.0001.
3. К данной программе (проекту) необходимо подключить стандартную подпрограмму QATR.FOR.
4. Формальному параметру sint (имени подпрограммы) в подпрограмме-функции aintegral соответствуют фактические параметры pr,tr и simps (имена подпрограмм-функций). Эти параметры, а также фактический параметр f в обращении к стандартной подпрограмме qatr, должны быть перечислены в списке оператора external:
external f,pr,tr,simps .

5. Параметры a0,a1,a2 вычисляются в основной программе и передаются в подпрограмму-функцию f оператором общих областей common:
common a0,a1,a2 .









13PAGE 141115





13PAGE 15


13PAGE 141115















































Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native)Equation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 18814117
    Размер файла: 479 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий