LEK2.DOC

ЛЕКЦИЯ 2

Векторно-матричные математические модели ЭМС

При исследовании систем управления с научными или инженерными целями в большинстве случаев приходится иметь дело с двумя типами задач, К первому типу можно отнести задачи анализа, когда требуется определить характеристики заранее заданной системы. Ко второму типу- задачи синтеза, когда требуется спроектировать систему, обладающую заданными характеристиками. Существует два основных подхода к анализу и синтезу линейных систем управления.
Первый подход сводится, по-существу, к составлению блок схемы системы или структурной схемы и определению передаточных функций отдельных элементов и всей системы.
Второй подход основан на возможности описания поведения системы некоторым количеством уравнений первого порядка относительно переменных состояния с начальными условиями. Методы анализа и синтеза систем управления, использующие этот способ описания поведения системы, принято называть методами пространства состояния. Этот подход лежит в основе современной теории управления.
Понятие “состояние”, лежащее в основе современного подхода к описанию поведения ЭМС, было впервые введено Дъюрингом в 1936 году. Начало широкому использованию этого подхода для решения задач ТАУ положили в 40-х годах Российские ученые Айзерман, Фельдбаум, Летов, Лурье.
При анализе и синтезе систем все переменные, характеризующие систему или имеющие к ней прямое отношение делятся на входные переменные, представляющими собой управляющие и возмущающие воздействия ui, выходные переменные Xi, характеризующие реакцию системы и предсталяющие интерес для исследователя и промежуточные переменные Yi или переменные состояния, характеризующие динамическое поведение исследуемой системы (см. рис. 2.1).






Для удобства оперирования с многомерными величинами совокупность входных переменных представим в виде вектора входа
UT =[u1 u2 ....ur],
совокупность выходных переменных - в виде вектора выхода
XT =[x1 x2 ....xm],
и совокупность переменных состояния- в виде вектора состояния
YT =[y1 y2 ....yn].
В любой момент времени t состояние системы является функцией начального состояния Y(t0) и вектора входа U(t 0, t), т.е.
Y(t)= F[ Y(t0), U(t0,t)], (2.1)
где F- однозначная функция своих аргументов.
Вектор выхода в момент времени t является также функцией Y(t0) и U(t 0, t) и может быть записан как
X(t)= ([ Y(t0), U(t0,t)]. (2.2)
Уравнения 2.1 и 2.2 называются уравнениями состояния системы. Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями, уравнения 2.1 и 2.2 могут быть записаны в следующей общей форме

dY(t)/dt= F*[ Y(t0), U(t0,t), (2.3)

dX(t)/dt= (*[ Y(t0), U(t0,t)]. (2.4)

Если система описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, то уравнения состояния системы сводятся к следующим:

dY/dt=AY+BU, (2.5)

X=CY+DU , (2.6)
где
A- квадратная матрица размером nxn, называемая матрицей системы и. характеризующая динамические свойства системы;
B-прямоугольная матрица размером nxr, называемая матрицей управления. Она характеризует воздействие входных переменных ui на переменные состояния yi .
C- матрица измерения размера mxn. Она характеризует связь выходных координат xi ( как правило это измеряемые переменные) с переменными состояния yi.
D- матрица размера mxr, характеризующая непосредственное воздействие входов u i на выходы x i
Вывод уравнений состояния является исходным моментом анализа и синтеза систем в современной теории управления ЭМС.
В качестве примера рассмотрим электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением, конструктивными постоянными Cе и Cм , моментом инерции ротора J, моментом нагрузки на валу Мс , управляемый по цепи якоря изменением напряжения uя. Двигатель описывается двумя уравнениями: уравнением равновесия напряжений в цепи якоря

uя =L я d(я /dt + Rя (я + Cе ( (2.7)

и уравнением равновесия моментов на валу (уравнением Ньютона)

Jd(/dt= Cм (я - Мс (2.8)

Разрешив эти уравнения относительно производных, получим

(13 EMBED Equation.2 1415
( (2.9)
(13 EMBED Equation.2 1415

Примем в качестве переменных состояния скорость вращения ротора y1=( и ток якоря y2 =(я ДПТ, а в качестве выходной переменной – противо ЭДС двигателя x1 = Cе (. Приводя систему (2.9) к матричной форме (2.5) и (2.6), получим

A13 EMBED Equation.2 1415 (2.10)

·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Полученные формулы 2.10-2.12 представляют собой векторно-матричную математическую модель двигателя постоянного тока .
Составим далее векторно-матричную модель механической системы, состоящей из груза с массой m, подвешенного на пружине с коэффициентом упругости k и двигающегося в цилиндре с коэффициентом трения f под действием управления u(t) - внешней силы (см. рис. 2.2 ).











Рис.2.2.
В качестве выходной переменной x1 примем линейное перемещение груза z, т.е. x1= y1=z. Следовательно, с учетом введенных обозначений уравнение (2.14) можно представить системой уравнений состояния вида

( 13 EMBED Equation.2 1415=0 y1 +1y2 + 0 u ( (2.15)
( 13 EMBED Equation.2 1415=-(k/m) y1 - (f/m)y2 + (1/m)u

Записывая систему (2.15) в матричной форме (2.5)-(2.6), получим векторно-матричную модель рассматриваемой механической системы в виде
A 13 EMBED Equation.2 1415 (2.16)

BT13 EMBED Equation.2 1415, (2.17)

C13 EMBED Equation.2 1415, (2.18)
D13 EMBED Equation.2 1415 (2.19)

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ МАТРИЦЫ СИСТЕМ

Научившись составлять векторно-матричные уравнения в форме переменных состояния, теперь необходимо выяснить, как эти уравнения и соответствующие им матрицы связаны с уже известными понятиями передаточной функции, характеристического уравнения и т.д.
С этой целью применим преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях к уравнениям состояния системы в форме (2.5). Тогда
pY(p) = AY(p) +BU(p)
X(p)= CY(p)
Теперь вместо векторных переменных Y(t), U(t) и X(t), являющихся функциями времени, мы имеем дело с их изображениями в области комплексной переменной p; в то же время A, B и C-матрицы соответствующих размеров с постоянными элементами остаются неизменными.
В первом уравнении перенесем AY(p) в левую часть и использовав соотношение pY(p)= p1Y(p) (где 1- единичная матрица размером nxn), представим первое уравнение в виде
(p1- A) Y(p)= BU(p)
Отсюда
Y(p)= (p1- A)-1 BU(p)
и следовательно
X(p)= C(p1- A)-1 BU(p)
Вводя обозначения
G(p)=(p1- A)-1 B, H(p)= C(p1- A)-1 B,
запишем
Y(p)= G(p) U(p), X(p)= H(p)U(p) (*)
Матрица H(p) размером mxr (т.к. X(p) это-вектор размера m, U(p)-вектор размера r) называется передаточной матрицей вход -выход системы. Элемент Hij этой матрицы представляет собой обычную передаточную функцию от j-го входа к i-му выходу. Это сразу становится ясным, если выписать отдельно i-ю строку равенства (*), предварительно выполнив умножение на U(p)
xi(p)=Hi1(p) u1(p) +....+Hij(p) uj(p) +....+Hir(p) ur(p)
Если система имеет один вход и один выход (m=r=1), то передаточная функция вырождается в обычную передаточную функцию. В этом случае можно написать
H(p)= X(p)/ U(p)
В многомерном случае эта запись недопустима, т.к. операция деления на вектор не имеет смысла.
Матрица G(p) размером nxr называется передаточной матрицей вход- состояние.
Найдем передаточную матрицу H(p) для рассмотренного выше двигателя постоянного тока. Предварительно вспомним, что операция обращения некоторой квадратной матрицы Ф может быть выполнена по формуле
13 EMBED Equation.2 1415
где присоединенная матрица
T
13 EMBED Equation.2 1415

получается из матрицы Ф заменой каждого элеменат (ij его алгебраическим дополнением (ij с последующим транспонированием полученной матрицы.
Для рассмотренного ДПТ имеем
p1-A=13 EMBED Equation.2 1415
det(p1-A)=13 EMBED Equation.2 1415

Adj(p1-A)=13 EMBED Equation.2 1415

Следовательно

( p1-A )-1= (13 EMBED Equation.2 1415)-1 13 EMBED Equation.2 1415(13 EMBED Equation.2 1415
Отсюда

С( p1-A )-1= (13 EMBED Equation.2 1415)-1 ( [Ce 0] 13 EMBED Equation.2 1415(13 EMBED Equation.2 1415=

=(13 EMBED Equation.2 1415)-1(13 EMBED Equation.2 1415

H(p) = C (p1-A)-1 B=
=(13 EMBED Equation.2 1415)-113 EMBED Equation.2 1415(13 EMBED Equation.2 1415=
=(13 EMBED Equation.2 1415)-1(13 EMBED Equation.2 1415=
=13 EMBED Equation.2 1415

Первый и второй элементы полученной матрицы представляют собой соответственно передаточные функции “ЭДС- напряжение на якоре” и “ЭДС-момент нагрузки”. Вводя обозначения

13 EMBED Equation.2 1415(постоянная времени цепи якоря) и

13 EMBED Equation.2 1415-электромеханическая постоянная времени ДПТ,

окончательно получим

Heu(p)=E(p)/U(p)=13 EMBED Equation.2 1415

Heм(p)=E(p)/M(p)= - 13 EMBED Equation.2 1415(13 EMBED Equation.2 1415

Так как в передаточные матрицы

G(p)=(p1- A)-1 B
и
H(p)= C(p1- A)-1 B,

входит выражение (p1- A)-1, то все элементы этих матриц, т.е. передаточные функции системы, содержат выражение det(p1-A), являющееся характеристическим полиномом системы. Корни этого полинома называются собственными числами матрицы A.

САУ
(Y()

u1

u2

ur

xm

x1

x2

Рис.2.1

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы имеет вид

m d2z/dt2 +f dz/dt + kz=u(t) (2.14)
Примем в качестве переменных состояния -линейное перемещение груза y1=z и линейную скорость перемещения груза y2=dz/dt.
Тогда имеем y2=dy1/dt и d2z/dt2 = dy2/dt.


m

z

u

K






Приложенные файлы

  • doc 18814135
    Размер файла: 153 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий