Lek 9

Лекция 9. Синтез КИХ-фильтров методом наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации
Синтез КИХ-фильтров методом наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации.
Теорема Чебышева и следствия из нее.
Итерационная процедура синтеза оптимального КИХ-фильтра.
9.1. Синтез КИХ-фильтров методом наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации
Постановка задачи: синтезировать оптимальный КИХ-фильтр с ЛФЧХ.
Оптимальный КИХ-фильтр  это КИХ-фильтр минимального порядка при заданных требованиях к АЧХ.
Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации включает в себя следующие этапы:
Задание аппроксимируемой функции.
При синтезе КИХ-фильтра – это идеальная АЧХ.
Проиллюстрируем на примере ФНЧ.
Аппроксимируемая АЧХ (рис. 9.1)  непрерывная функция на интервале аппроксимации 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, включающему ПП и ПЗ.
13 EMBED Visio.Drawing.5 1415
Рис. 9.1. АЧХ идеального КИХ-фильтра ФНЧ
Выбор класса аппроксимирующих функций.
В качестве КИХ-фильтра выберем КИХ-фильтра 1-го типа.
Для него класс аппроксимирующих функций  это тригонометрический полином, описывающий амплитудную функцию (см. табл. в Лекции 7):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (9.1)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 порядок полинома (для КИХ-фильтра 1-го типа):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (9.2)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (9.3)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – длина КИХ-фильтра, на основании (9.2) равная:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415; (9.3)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ( вектор неизвестных коэффициентов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
АЧХ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 КИХ-фильтра:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (9.4)
Для КИХ-фильтра синтез сводится к расчету
ИХ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415связана с коэффициентами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (см. табл. в Лекции 7):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.5)
Следовательно, в методе чебышевской аппроксимации синтез КИХ-фильтра сводится к расчету
Выбор полинома 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 наилучшего приближения к аппроксимируемой функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Полином наилучшего приближения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 выбирается по критерию Чебышева:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (9.6)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 весовая функция, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 взвешенная ошибка аппроксимации.
Согласно критерию Чебышева полиномом наилучшего приближения будет тот, который

Поэтому критерий Чебышева называют также

Весовая функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 управляет значением модуля максимума ошибки аппроксимации на интервале аппроксимации 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (в ПП и ПЗ).
Вес, равный 1, присваивается полосе с наибольшим отклонением. Веса в остальных полосах определяются как отношение максимального отклонения к максимальному отклонению в данной полосе.
Пример 9.1
Заданы максимально допустимые отклонения в ПП 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и в ПЗ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Определить весовую функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вес, равный 1, присваивается
Вес в равен отношению
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

9.3. Теорема Чебышева и следствия из нее
В теореме Чебышева доказывается, какие условия должны выполняться для тригонометрического полинома наилучшего приближения.
Теорема Чебышева. Для того чтобы тригонометрический полином 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 был полиномом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на интервале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, необходимо и достаточно, чтобы максимум модуля взвешенной ошибки аппроксимации достигался в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точках на интервале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и значения максимальной ошибки последовательно чередовались по знаку.
Следствия из теоремы Чебышева:
Полином наилучшего приближения определяется среди полиномов одинакового порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Существует единственный полином наилучшего приближения порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, который обеспечивает

Существует единственный полином наилучшего приближения, который при заданной максимальной ошибке аппроксимации обеспечивает

Точки, в которых модуль ошибки аппроксимации достигает своего максимума, называют точками альтернанса. Их количество 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равно:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.7)
При решении оптимизационной задачи в (9.6) определении вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 модуль заменяется на
Теорему Чебышева называют теоремой об альтернансе
Вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определяется с помощью алгоритма Ремеза (см. в книге).

Пример 9.2
Определить порядок КИХ-фильтра 1-го типа с АЧХ на рис. 9.2:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
ФЧХ КИХ-фильтра линейна с точностью до скачков на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 9.2. АЧХ и ФЧХ КИХ-фильтра ФНЧ 1-го типа
9.4. Итерационная процедура синтеза оптимального КИХ-фильтра
Задание требований к АЧХ.
Оценка начальной длины КИХ-фильтра (по эмпирической формуле).
Синтез КИХ-фильра расчет
Проверка выполнения требований к АЧХ:
если не выполняются
если выполняются
В результате определяют оптимальный порядок 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
При увеличении/уменьшении порядка необходимо обращать внимание на тип избирательности и тип КИХ-фильтра!!!








13PAGE 15


13PAGE 14115




Root EntryEquation Native 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeaEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanMT ExtraTimes New RomanTimes New RomanMT ExtraMT ExtraMT ExtraMT ExtraMT ExtraTimes New RomanMT ExtraTimes New RomanMT ExtraTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanMT ExtraTimes New RomanMT Extra 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·

Приложенные файлы

  • doc 18814150
    Размер файла: 370 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий