Lektsia 5estremumy funktsiy 2 perem


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Лекция 5. Экстремумы фун к ций двух переменных 1. Определение экстремума функции двух переменных 2. Необходимое условие экстремума функции двух переменных 3. Достаточное условие экстремума функции двух переменных 4. Нахождение наибольшего, наименьшего значен ий функции двух пер е- менных в замкнутой ограниченной области 5. Метод наименьших квадратов 1. Определение экстремума функции двух переменных Напомним, что п од d - окрестностью точки M x y 0 0 0  ,  понимается мн о- жество точек M x y  ,  плоскости xOy , координаты которых удовлетворяют н е- равенству     d  -  - 2 0 2 0 y y x x точки M x y  ,  расположены внутри круга радиуса d с це н тром в M x y 0 0 0  ,  . Опр еделение 1.1 Точка M x y 0 0 0  ,  назы вается точкой локального ма к- симума  точкой локального минимума  для функции z f x y   ,  , если на й- дется такая d - окрестность точки M x y 0 0 0  ,  , для всех т о чек M x y  ,  которой выполняется неравенство  ,   ,  0 0 y x f y x f    ,   ,  0 0 y x f y x f  . Определение 1.2. Точки локального максимума и точки локального мин и- мума функции называются точками локального экстремума функции . Определение 1. 3 . Значе ние функции в точке локального экстремума наз ы- вается локальным экстремумом функции соответственно локальным макс и- мумом или локальным минимумом . Так например, на рис. 1.1 изображен график поверхность некоторой функции, для которой точка 0 M является точкой максимума, а на рис. 1.2 из о- бражен график функции, для которой точка 0 M является точкой минимума. Рис. 1.1 M 0 – точка максимума M 0 Рис. 1.2 M 0 – точка минимума M 0 2. Необходимое условие экстремума функции двух перем енных Сформулируем необходимое условие экстремума функции двух переме н ных. Теорема 2 .1  н еобходимое условие экстремума  . Если точка M x y 0 0 0  ,  является точкой локального экстремума функции  ,  y x f z  , то все частные производные ф ункции в этой точке равны нулю, либо в этой точке хотя бы одна из частных производных не существует. Согласно этой теореме д ифференцируемая фун к ция двух переменных  ,  y x f z  име е т локальный экстремум только в т ой точк е M x y 0 0 0  ,  , в кот о- р ой час т ные производные f f x y / / , обращаются в нуль / 00 / 00 , 0, , 0, x y fxy fxy         2 .1 или все равно, что градиент функции  ,  y x f z  равен нулевому вектору. Определение 2.1. То чка M x y 0 0 0  ,  , в которой ч астные производные f f x y / / , обращаются в нуль выполняется условие 2.1 , либо частные прои з- водные f f x y / / , не существуют, называется критической точкой  точкой, п о- дозрительной на экстремум . Определение 2. 2 . То чка M x y 0 0 0  ,  , в которой частные производные f f x y / / , обращаются в нуль выполняется условие 2.1 называется стациона р- ной точкой функции  ,  y x f z  . Теорема 1.1 не является достаточным условием локального экстремума функции двух переменных. То есть, если частные производные обращаются в нуль в точке M x y 0 0 0  ,  , то точка M x y 0 0 0  ,  может и не оказаться точкой л о- кального экстремума функции. Например, для функции ,  zfxyxy  час т- ные производ ные , xy zyzx   обращаются в нуль в точке 0 0, 0 M . Однако сама точка 0 0, 0 M не является точкой л о кального экстремума см. рис. 2.1  . Такая точка называется седловой точкой функци и  или точкой мин и макса . Рис. 2.1 Пример 2.1. Функция ,  zfxyxy  , график которой изображен на рис. 2.2, имеет точку локального минимума – точку 0 0, 0 M . Для этой фун к- ции частные производные 11 , 22 xy zz xy   не существуют в точке 0 0, 0 M , то есть в точке 0 0, 0 M выполняется необходимое условие точки локального экстремума. Рис. 2.2 Пример 2. 2 . Найти стационарные точки функции 5 6 8 3 3  -   xy y x z . Решение. Найдем частные производные функции : y x x z 6 3 2 -    , x y y z 6 24 2 -    . Приравнивая их к нулю, находим стационарные точки функции:                             -    -            -  -   -  -             . 5 , 0 , 1 ; 0 , 0 ; 0  1  , ; 0 , ; 0 4 , 0 2 ; 0 6 24 , 0 6 3 ; 0 , 0 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2 y x y x x x y x x y x y y x x y y x x x y z x z Таким образом, стационарные точки функции :   0 ; 0 O ,   5 , 0 ; 1 0 M . Как было сказано выше теорема 2.1, не каждая стационарная точка на самом деле является точкой локального экстремума. Поэтому пока не ясно, я в- ляются ли точки   0 ; 0 O ,   5 , 0 ; 1 0 M точками локального экстремума. Ответ на этот вопрос мы на й дем в следующем вопросе. 3. Достаточное условие экстремума фун кции двух переменных В данном вопросе сформулируем достаточное условие существования то ч- ки локального экстремума. Напомним из предыдущего вопроса, что фун к ция  ,  y x f z  может иметь точку M x y 0 0 0  ,  своей точкой локального экстре м у ма, если то лько все частные производные функции в этой точке равны нулю, либо в этой точке хотя бы одна из частных производных не существует. Теорема 3 .1  достаточное условие экстремума  . Пусть точка M x y 0 0 0  ,  есть стационарная точка для ф ункции  ,  y x f z   // 0000 , 0, , 0 xy fxyfxy  . Пусть в точке M x y 0 0 0  ,  существуют частные производные второго порядка. Обозначим  ,  0 0 // y x f A xx  ,  ,  0 0 // y x f B xy  ,  ,  0 0 // y x f C yy  , 2 B AC -   . Т огда, если: 1. 0 , 0    A , то M x y 0 0 0  ,  – точка минимума, 2. 0 , 0    A , то 000 ,  Mxy – точка максимума, 3.   0 , то 000 ,  Mxy – не является точкой экстремума, 4.   0 , то требуется дополнительное исследование. Замечание . В случае , когда   0 , как правило, пользуются определением точки экстремума. Отыскивают такую достаточно малую окрестность точки M x y 0 0 0  ,  , в кот орой могут выполняться как неравенство  ,   ,  0 0 y x f y x f  , так и неравенство  ,   ,  0 0 y x f y x f  . Тогда по определению точка M x y 0 0 0  ,  не является точкой эк с тремума. Пример 3. 1. Исследовать на экстремум функцию 22 ,245 zfxyxxyyxy -- . Решение . Сначала найдем стационарные точки для данной функции. Час т- ные производные равны / , 44 x fxyxy - , / , 21 y fxyyx - . Решая систему вида  2 .1, к о торая для нашей задачи примет вид / / , 440, , 210, x y fxyxy fxyyx  -   -   получим   44, 440,44,1, 24410, 210,77,0. yx xyyxx xx yxxy -  --    -- ---   Итак, точка  0 , 1  0 M – подозрительная на экстремум. А это значит, что возможное число точек экстремума, равно одному. Проверим для точки M 0 1 0  ,  выполнимость достаточного признака экстремума выполнимость о д- ного из у с лови й 1 – 4 из теоремы 3.1 . В нашем случае имеем 4  ,  0 0 //   y x f A xx , 1  ,  0 0 //   y x f B xy , 2  ,  0 0 //   y x f C yy , 0 7 1 2 4 2   -   -   B AC , 0 4   A , значит, точка M 0 1 0  ,  является точкой минимума для функции см. рис . 18.3. Рис. 3.1 Пример 3.2 . Найти точки локального экстремума функции 5 6 8 3 3  -   xy y x z . Решение. С тационарные точки функции были найдены в предыдущем в о- просе см. пример 2.2 :   0 ; 0 O ,   5 , 0 ; 1 0 M . Вычисл им частные производные второго порядка:       222 366, 2466, 24648 xxyxyy xxy fxyxfyxfyxy   ---- . Т о гда определитель примет вид   36 288 48 6 6 6 , -  - -   xy y x y x . Вычислим значения определителя в стационарных точках и воспользуемся достаточным условием точки локального экстремума . В точке   0 ; 0 O 0 36 36 0  -  -   , следовательно, в точке   0 ; 0 O нет локального экстрем у ма. В точке   5 , 0 ; 1 0 M 0 108 36 144 36 5 , 0 1 288   -  -     , следовательно, в точке   5 , 0 ; 1 0 M есть л о кальный экстремум. Так как 0 6  0 ; 1  //    ,5 f A xx , то   5 , 0 ; 1 0 M – точка локального мин и мума. Вычислим значение функции в точке   5 , 0 ; 1 0 M :     4 5 5 , 0 1 6 5 , 0 8 1 3 0     -   M z . Таким образом, точка локального минимума   5 , 0 ; 1 0 M ,   4 0  M z . 4. Нахождение наибольшего и наимен ьшего значений функции двух пер е менных в замкнутой ограниченной области Справедливо утверждение о том, что е сли функция   y x f z ,  диффере н- цируема в ограниченной замкнутой области  , то она достигает своего на и- большего з начения . наиб z и своего наименьшего значения . наим z в одной из стационарных точек области  или в о д ной из точек границы области  . y d yyx  xxy c O a b x Рис. 4 .1 Составим алгоритм нахождения . наиб z и . наим z для того случая, ког да граница области  состоит из отдел ь- ных участков, отделенных друг от друга крайними точками участков границы  см. р ис. 4 .1. 1. Сначала находим все стаци о- нарные точки функции z f x y   ,  , лежащие строго внутри области  , решая систему ура в нений:            . 0 , , 0 , y x f y x f y x 2. Если участок границы задан уравнением     b a x x y y , ,   , то ищем стационарные точки функции одной переменной       b a x x y x f z , , ,   , р е шая уравнение       0 ,   x x y x f . Если же участок границы задан уравн е нием     d c y y x x , ,   , то ищем стационарные точки функции одной переме н ной       d c y y y x f z , , ,   , решая уравнение       0 ,   y y y x f . 3. Вычисляем значения функции   y x f z ,  во всех стационарных то ч- ках функции , лежащих строго внутри области  , во всех крайних точках уч а- стков границы , во всех стационарных точках участков границы , а затем выб и- раем из них наибольшее значение . наиб z и наимен ь шее знач ение . наим z . Рассмотрим пример. Пример 4 .1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 22 , 22 zfxyxyxy - в замкнутой области  , ограниченной прямыми l x y 1 1 :   , l x y 2 1 :   - , l x y 3 1 : -  , l x y 4 1 : -  - см. рис. 8.2. Решение . Замкнутая ограниченная область имеет вид квадрата см. рис. 4.2. 1 Определим стационарные точки функции z f x y   ,  , лежащие строго внутри области  . Н аходим частные производные      z f x y x x x  ,  2 1 , , 41 yy zfxyy  - . Решая систему , 210, , 410 zfxyx xx zfxyy yy       -   получим стационарную точку M 0 1 2 1 4 -       , , лежащую строго внутри  . M 0 M 1 M 2 M 3 A B C  Рис 4 .2 2 Тепе рь необходимо исследовать функцию z f x y   ,  на границе  . a  Первая граница области задана уравнением прямой l x y 1 1 :   . На этой границе  l y x x 1 1 0 1 : ,  ,   -    исследуемая функция z f x y   ,  двух пер е- менных станет функцией одной переменной, а именно подставляем в фун к цию z f x y   ,  вместо y выражение y x  -  1  f x y f x x x x x x x x  ,   ,       -    -   - -    -  1 2 1 1 2 3 2 3 2 2 2 . Итак, на границе l x y 1 1 :   функция z f x y   ,  примет вид f x x x x 1 2 3 2 3 0 1   ,  ,   -   . Находя ее стационарную точку из условия   f x 1 0   , получим     -    f x x x 1 1 6 2 0 1 3 0   , / , 1 заметим, что здесь нео б- ходимо также следить, чтобы стационарная точка лежала внутри отрезка   0 , 1 . Получили точку M 1 1 3 2 3 ,       , лежащую на границе l x y 1 1 :   и явля ю- щейся на ней стационарной точкой функции z f x y   ,  . б Вторая граница области задана уравнением прямой l x y 2 1 :   - . На ней  l y x x 2 1 1 : ,  ,  0  - -  -  исследуемая функция z f x y   ,  примет вид по д- ставляем в функцию z f x y   ,  вместо y выражение y x  - - 1  222 , , 12112365 fxyfxxxxxxxx ------- , f x x x x 2 2 3 6 5 1   ,  ,      - 0 . Находя ее стацио нарную точку, получим        -  - f x x x 2 2 6 6 0 1 1   , , 0 полученная точка не лежит внутри интерв а- ла. в Для границы l x y 3 1 : -  получим f x y f x x x x x x x x  ,   ,       -   -  - -   -  1 2 1 1 2 3 4 5 2 2 2 , f x x x x 3 2 3 4 5 0   ,  ,   -   1 , 0 4 6   3  -   x x f при   x 2 2 3 0   / , 1 , M 2 2 3 1 3 , -       – стационарная точка функции на участке l x y 3 1 : -  . Для границы l x y 4 1 : -  - получим f x y f x x x x x x x x  ,   ,            -      1 2 1 1 2 3 4 3 2 2 2 , f x x x x 4 2 3 4 3 1   ,  ,      - 0 , 0 4 6   4     x x f при   x 3 2 3 1  -  - / , 0 , M 3 2 3 1 3 -       , – ста ционарная точка функции на участке l x y 4 1 : -  - . 3 Вычислим значения функции   y x f z ,  во всех полученных стаци о- нарных точках M 0 1 2 1 4 -       , , M 1 1 3 2 3 ,       , M 2 2 3 1 3 , -       , M 3 2 3 1 3 -       , , во в сех крайних точках участков границы:   A 0 , 1 ,   B 1 0 , ,   C 0 1 , - ,    - 1 0 , и в ы- берем из них наибольшее, наименьшее значения . Имеем 8 13 2 4 1 2 1 4 1 2 2 1 2 2 0   - -              -  M z , 3 8 3 3 1 2 3 1 3 3 1 3 2 , 3 1 2 1 1         -                      f f z M , 3 11 5 3 2 4 3 2 3 3 2 3 1 , 3 2 2 3 2         -                     -  f f z M , 3 5 3 2 3 1 , 3 2 4 3        -        -  f f z M ,         2 1 0, 10302033 A zff - ,         2 1 1, 01312134 B zff - ,         z f f С  -      0 1 0 3 0 6 0 5 5 2 2 , ,         z f f   -  -  -  -   1 0 1 3 1 6 1 5 2 2 2 , , z f x y z f  С max max  ,   ,     -  0 1 5 , z f x y z f  M min min  ,  ,    -        0 1 2 1 4 13 8 . 5 . Метод наименьших квадратов 1 Метод наименьших квадратов  МНК  является одной из простейших з а- дач аппроксимации – приближенного восстановления функции по и з вестным ее значениям в некоторых точках. Задача ставится следующим образом: пусть известен набор точек узлов         111222333 ,, ,, ,, ..., , nnn MxyMxyMxyMxy .  5. 1 Необходимо п одобрать функцию   fx определенного вида, чтобы она по возможности наиболее точно отражала неизвестную зависимость измеря е мой величины от координат точек  5. 1. Аппроксимирующую функцию   fx в о б- щем случае подбирают в в и де         1122 ... mm fxaxaxax   ,  5. 2 где 12 , , ..., m aaa – пока неизвестные коэффициенты параметры,   1 x  ,   2 x  , ,   m x  – некоторые известные базовые простейшие функции. Значения к о- эффиц ие н тов 12 , , ..., m aaa необходимо подобрать так, чтобы значения функции  5. 2 в точках 12 , , ..., n xxx по возможности наименее всего отклонялись бы от значений 12 , , ..., n yyy . Таким образом, МНК состоит в минимизации суммы квадр а то в погрешностей невязок   iii yfx d - , то есть:       2 2 12 11 , , ..., min nn miii ii Saaayfx d  -  .  5. 3 Рассмотрим сначала самый простейший случай, который часто используе т- ся в экономике в трендовом анализе, когда   1 xx   ,   2 1 x   , апп роксим и- рующая линейная функция имеет вид   fxaxb  ,  5. 4 где 12 , aaab  – пока неизвестные коэффициенты. Подберем коэффициенты , ab таким образом, чтобы функция вида  5. 3 двух переменных относительно , ab        2 2 11 , nn iii ii Sabyaxb d  -   5. 5 принимала самое наименьшее значение. Для этого находим частные произво д- ные по параметрам , ab пользуемся производной сложной функции:             11 , 22 nn iiiiii ii Sab yaxbxyaxbx a   ----   ,             11 , 212 nn iiii ii Sab yaxbyaxb b   ----   . 1 Изучение данного вопрос необязательно Согласно необходимому условию точки экстремума приравниваем найде н- ные выше частные производные к нулю    , 0 Sab a    ,   , 0 Sab b     и получаем систему для нахождения коэффициентов , ab :     2 1111 0 i nnnn iiiiii iiii yaxbxxyaxbx  ---  ,     111111 0 nnnnnn iiiiii iiiiii yaxbyaxbyaxbn  -----  , 22 111111 1111 0,, 0,. ii nnnnnn iiiiii iiiiii nnnn iiii iiii xyaxbxaxbxxy yaxbnaxbny    --      --     Итак, для определения коэффициентов , ab получили линейную систему двух уравнений 2 111 11 , . i nnn iii iii nn ii ii axbxxy axbny               5. 6 Можно доказать, что точка  , ab , найденная из си стемы  5. 6, действ и- тельно является точкой минимума функции  5. 5. Пример 5. 1. В таблице 5. 1 даны значения точек   , iii Mxy  1,2,...,8 i  . Пользуясь методом наименьших квадратов, найти вид линейной функции   fxaxb  то есть найти параметры , ab , для которой функция  5. 5 прин и- мает наименьшее значение. Таблица 5. 1. 1 x 0 2 x 1 3 x 2 4 x 3 5 x 4 6 x 5 7 x 6 8 x 7 1 y  1 2 y  3 3 y  2 4 y  2 5 y  3 6 y  7 7 y  3 8 y  4 Для нахождения параметров , ab необходимо составить и решить систему линейных уравнений  5. 6. Составим вспомогательную таблиц у 5. 2. Таблица 5. 2. значения i значения i x значения i y значения 2 i x значения ii xy 1 0 1 0 0 2 1 3 1 3 3 2 2 4 4 4 3 2 9 6 5 4 3 16 12 6 5 7 25 35 7 6 3 36 18 8 7 4 49 28 суммы 1 n i i x   28 1 n i i y   25 2 1 n i i x   140 1 n ii i xy   106 По таблице 5. 2 легко составить систему  5. 6: 14028106, 28825, ab ab      решить которую можно по правилу Крамера с точностью до сотых долей:   1402851 284112107336 28872 - , 1 10628 10682528848700148 258 -- ,   2 1401065106 28281251062819532 2825125 - , 1 148 0,44 336 a    , 2 532 1,58 336 b    . Итак, искомый вид линейной функции   0,441,58 fxaxbx  . Для н а- глядности построим в системе координат исходные точки   , iii Mxy  1,2,...,8 i   и полученную прямую 0,441,58 yx  см. рис. 5. 1. Рис. 5. 1. Согласно вышеизложенному заключаем, что из всех прямых в ида yaxb  , построенная прямая 0,441,58 yx  наиболее четко отражает зад а- чу, то есть точки   , iii Mxy  1,2,...,8 i   ближе всего приближены к этой пр я- мой. Рассмотрим случай, когда   2 1 xx   ,   2 xx   ,   2 1 x   , аппроксим и- рующая квадратичная функция имеет вид   2 fxaxbxc  ,  5. 7 где 123 , , aaabac  – пока неизвестные коэффициенты. Параметры , , ab с подбираютс я таким образом, чтобы функция вида  5. 7 трех пер е менных относительно , , ab с        2 22 11 , , nn iiii ii Sab сyaxbxc d  -   5. 8 принимала самое наименьшее значение. Для этого находим частные произво д- ные по параметрам , , ab с пользуемся про изводной сложной функции:         222432 11 22 nn iiiiiiiii ii S yaxbxcxxyaxbxcx a   ------   ,         232 11 22 nn iiiiiiiii ii S yaxbxcxxyaxbxcx b   ------   ,         22 11 212 nn iiiiii ii S yaxbxcyaxbxc c   ------   . Для нахождения точки экстремума функции  5. 8 приравниваем найде н ные частные производные к нулю:   24322432 11111 0 nnnnn iiiiiiiiii iiiii xyaxbxcxxyaxbxcx  ------  ,   3232 11111 0 nnnnn iiiiiiiiii iiiii xyaxbxcxxyaxbxcx  ------  ,   22 1111 0 nnnn iiiiii iiii yaxbxcyaxbxcn  ------  . В результате получаем линейную систему трех уравнений для нахождения п а раметров , , ab с : 4322 1111 32 1111 2 111 , , . nnnn iiiii iiii nnnn iiiii iiii nnn iii iii axbxcxxy axbxcxxy axbxcny                    5. 9

Приложенные файлы

  • pdf 18814167
    Размер файла: 419 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий