MS lek3

Лекция 3. Интервальное оценивание.
$1.   Интервальное оценивание.
Пусть, как обычно, имеется выборка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из распределения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] с неизвестным параметром13 EMBED Equation.DSMT4 1415. До сих пор мы занимались «точечным оцениванием» неизвестного параметра находили число («оценку»), способную, в некотором смысле, заменить параметр.
Существует другой подход к оцениванию, при котором мы указываем интервал, накрывающий параметр с заданной наперед вероятностью. Такой подход называется «интервальным оцениванием». Сразу заметим: чем больше уверенность в том, что параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что искать диапазон, в котором [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]лежит с вероятностью 1, бессмысленно это вся область13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Определение.
Пусть13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Интервал [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называется доверительным интервалом для параметра [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] с уровнем доверия 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если для любого [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Замечание.
Неравенство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 обычно соответствует дискретным распределениям, когда нельзя обойтись равенством: например, для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415при любом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равенство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 невозможно, а неравенство имеет смысл:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Прежде чем рассматривать регулярные способы построения доверительных интервалов, разберем пример. Начнем с нормального распределения как с наиболее важного и часто встречающегося.
Пример 1.
Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] из нормального распределения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] неизвестный параметр, а [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]известно. Требуется построить ДИ для параметра [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] c уровнем доверия 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Нормальное распределение устойчиво по суммированию. (убедиться самостоятельно):
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеют нормальное распределение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и эти случайные величины независимы. Тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]имеет нормальное распределение с параметрами
13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Поэтому
случайная величина
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

имеет распределение 13 INCLUDEPICTURE
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Итак, величина [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]имеет стандартное нормальное распределение.
По заданному 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 найдем число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]такое, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Определение.
Пусть распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] с функцией распределения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] непрерывно. Число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется квантилью порядка p распределения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] р. Если функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] монотонна, квантиль определяется единственным образом.
Если число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] квантиль порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 стандартного нормального распределения, то
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Итак, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (квантили стандартного нормального распределения).
Рис. 7: Плотность стандартного нормального распределения и квантили.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Разрешив неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] относительно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], получим доверительный интервал
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(13)

Можно подставить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Итак, искомый доверительный интервал с уровнем доверия 13 EMBED Equation.DSMT4 1415имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Мы построили доверительный интервал для параметра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415нормального распределения при известном13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Для этого мы рассмотрели функцию от выборки и неизвестного параметра [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
имеющую при любом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] стандартное нормальное распределение.
Сформулируем общий принцип построения доверительных интервалов
Найти функцию13 EMBED Equation.DSMT4 1415, распределение которой G не зависит от параметра [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Необходимо, чтобы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415была обратима по [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при любом фиксированном 13 EMBED Equation.DSMT4 1415


2. Пусть числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] квантили распределения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415такие, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

3. Разрешив неравенство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (если это возможно), получим ДИ.
Замечание.
Часто в качестве [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] берут квантили порядка13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 распределения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Но, вообще говоря, квантили следует выбирать так, чтобы получить ДИ наименьшей длины.
Можно построить доверительный интервал для параметра [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] нормального распределения при неизвестном [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Можно

- построить ДИ для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при известном [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],

- построить ДИ для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при неизвестном [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]..
Такой особый интерес к нормальному распределению связан с центральной предельной теоремой по этой теореме все в на свете нормально или стремится к нормальному. Поэтому рассмотрим распределения, связанными с нормальным распределением и их свойства .
$2.   Распределение «хи-квадрат»
Определение.
Распределение суммы квадратов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] независимых стандартных нормальных случайных величин называют распределением «хи-квадрат» с [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]степенями свободы и обозначают [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
На графике ниже изображены плотности распределения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равном 1, 4 и 8.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вид плотности [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-распределения в зависимости от числа степеней свободы


Мы будем обозначать через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] случайную величину с распределением [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Свойства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-распределения:
1.
Устойчивость по суммированию. 
Пусть случайная величина [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], случайная величина [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]имеет распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], причем эти случайные величины независимы. Тогда их сумма [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Доказательство.  Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]независимы и имеют стандартное
нормальное распределение. Тогда
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
а их сумма как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], т.е. имеет распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

2.
Моменты распределения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Доказательство.  Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]независимы и имеют стандартное
нормальное распределение. Тогда
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Поэтому
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Следствие.
Если 13 INCLU
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·15независимы и имеют нормальное распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
имеет [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]с [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] степенями свободы.

$3.   Распределение Стьюдента.
Определение.
Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Распределение случайной величины
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
называют распределением Стьюдента с [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] степенями свободы и обозначают [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Плотность распределения Стьюдента по сравнению с плотностью стандартного нормального распределения.


Свойства распределения Стьюдента:
1.
Симметричность. 
Если случайная величина [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет распределение Стьюдента [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] с [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] степенями свободы, то и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет такое же распределение. (Сразу следует из определения).

2. Mtk=0; D[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= k/(k-2), k>2.

Отметим, что и распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], и распределение Стьюдента табулированы, так что если в каких-то доверительных интервалах появятся квантили этих распределений, то мы найдем их по таблице.

Следующее распределение тоже тесно связано с нормальным распределением, но понадобится нам не при построения доверительных интервалов, а чуть позже в задачах проверки гипотез
$4.   Распределение Фишера
Определение.
Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], причем эти случайные величины независимы. Распределение случайной величины
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
называют распределением Фишера с [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] степенями свободы и обозначают [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Свойства распределения Фишера
1.
  Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет распределение Фишера [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет распределение Фишера [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Следует из определения.
2. M.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= m/(m-2), m>2. D[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=2m^2(k+m-2)/(k(m-2)^2(m-4)).
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
$5.   Преобразования нормальных выборок
Пусть13 EMBED Equation.DSMT4 1415 выборка из [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ортогональная матрица [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], т.е.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Лемма Фишера.
Пусть вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] состоит из независимых случайных величин со стандартным нормальным распределением, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ортогональная матрица, и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Тогда для любого [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
и имеет [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]с [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]степенями свободы.
Доказательство.   Ортогональное преобразование не меняет нормы векторов, поэтому нормы векторов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] совпадают:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Поэтому
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Случайные величины [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] получены из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с помощью ортогонального преобразования, поэтому независимы и имеют стандартное нормальное распределение, и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]имеет распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и не зависит от [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].


Основное следствие леммы Фишера.
Вспомним, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] независимы и имеют нормальное распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]имеет стандартное нормальное распределение (очевидно);
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]имеет [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-распределение с [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] степенью свободы;
Случайные величины [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] независимы.

Доказательство
2.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]имеют стандартное нормальное распределение, и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В обозначениях [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Мы обозначили через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] величину
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Чтобы применить [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], нужно найти ортогональную матрицу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] такую, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] первая координата вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Возьмем матрицу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] с первой строкой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Так как норма этого вектора единица, его можно дополнить до ортогональной матрицы. Тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и будет первой координатой вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Осталось применить лемму Фишера.
3.
По [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] сразу следует, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]не зависит от [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то есть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]независимы.

Таким образом,
1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]имеет стандартное нормальное распределение (для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] известном);
2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]имеет распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] известном);
3 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] неизвестном);
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет распределение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] неизвестном).
Доказательство п.4. Осталось воспользоваться леммой Фишера и определением распределения Стьюдента:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]13 EMBED Equation.DSMT4 1415


$4. ДИ для параметров нормального распределения
1.
Для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при известном 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Этот интервал мы уже построили в $1:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2.
Для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при известном [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. По п. 2 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ],
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и13 EMBED Equation.DSMT4 1415  квантили распределения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 1-13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3.
Для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при неизвестном [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. По п. 3 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ],
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и13 EMBED Equation.DSMT4 1415 квантили распределения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 1-13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

4.
Для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при неизвестном [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. По п. 4 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ],
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и13 EMBED Equation.DSMT4 1415  квантили распределения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 . Распределение Стьюдента симметрично, поэтому [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
$\mathscr F_\theta$Root Entry.Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native${\mathsf N}_{a,\sigma^2}$$\mathscr F$$\mathscr F$Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 18814176
    Размер файла: 442 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий