Lek8

Лекція 8

Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів. Системи диференціальних рівнянь. Нормальна система. Геометричний зміст розв’язків. Задача Коші для нормальної системи рівнянь. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Загальний та частинний розв’язки. Розв’язання нормальної системи рівнянь методом виключення.

Розв’язки лінійного диференціального рівняння вище першого порядку зі змінними коефіцієнтами не завжди виражаються через елементарні функції, інтегрування такого рівняння досить рідко зводиться до квадратур. На практиці широко використовується метод зображення шуканого розв’язку у вигляді степеневого ряду.
Розглянемо рівняння другого порядку
13 EMBED Equation.3 1415. (8.1)
Припустимо, що коефіцієнти 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 рівняння (8.1) є аналітичними функціями на інтервалі 13 EMBED Equation.3 1415, тобто
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (8.2)
13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема. Якщо функції 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 – аналітичні при 13 EMBED Equation.3 1415, то будь-який розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415 рівняння (8.1) є аналітичною функцією на інтервалі 13 EMBED Equation.3 1415, тобто
13 EMBED Equation.3 1415,
причому степеневий ряд збігається на інтервалі 13 EMBED Equation.3 1415.
Сформульована теорема дає змогу побудувати розв’язки рівняння (8.1) у вигляді степеневих рядів. Поклавши для спрощення викладок 13 EMBED Equation.3 1415, розв’язок рівняння (8.1) шукатимемо у вигляді степеневого ряду за степенями 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.3)
з невизначеними коефіцієнтами.
Підставивши (8.3) в рівняння (8.1), отримаємо
13 EMBED Equation.3 1415.
Прирівнюючи до нуля коефіцієнти при степенях 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , дістанемо рекурентну систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів 13 EMBED Equation.3 1415 . Коефіцієнти 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 можна задавати довільно, але хоча б один з них повинен бути відмінним від нуля, інакше отримаємо розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415. Зафіксувавши 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, шукаємо розв’язок рівняння (8.1), який задовольняю початковим умовам 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. З першого рівняння знаходимо 13 EMBED Equation.3 1415, з другого – 13 EMBED Equation.3 1415 і т.д.
Приклад 1. Розв’язати рівняння 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язування. Коефіцієнти 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 є аналітичними функціями при всіх 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язки шукаємо у вигляді ряду
13 EMBED Equation.3 1415.
Підставляємо цей ряд у дане рівняння:
13 EMBED Equation.3 1415.
Прирівнявши до нуля коефіцієнти при степенях 13 EMBED Equation.3 1415 у лівій частині, отримаємо рекурентну систему рівнянь для визначення 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, ., 13 EMBED Equation.3 1415,
звідки
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Поклавши 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді відмінними від нуля будуть лише коефіцієнти 13 EMBED Equation.3 1415.
Маємо
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Побудовано розв’язок рівняння
13 EMBED Equation.3 1415.
Другий розв’язок, лінійно незалежний з 13 EMBED Equation.3 1415, отримаємо, поклавши 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді відмінними від нуля будуть лише коефіцієнти 13 EMBED Equation.3 1415:
Маємо
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Тому
13 EMBED Equation.3 1415.
І загальний розв’язок даного рівняння має вигляд
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 – довільні сталі. Отже, будь-який розв’язок даного рівняння є аналітичною функцією при всіх 13 EMBED Equation.3 1415.


Сукупність співвідношень виду
13 EMBED Equation.3 1415 (8.4)
де 13 EMBED Equation.3 1415 – шукані функції від незалежної змінної 13 EMBED Equation.3 1415, називається системою звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Всяка сукупність 13 EMBED Equation.3 1415 функцій
13 EMBED Equation.3 1415 (8.5)
визначений і неперервно диференційований на інтервалі 13 EMBED Equation.3 1415, називається розв’язком системи (8.4) в цьому інтервалі, якщо вона перетворює всі рівняння системи (8.4) в рівності , справедливі при всіх значеннях 13 EMBED Equation.3 1415 з інтервалу 13 EMBED Equation.3 1415. Процес знаходження розв’язків системи (8.4) називається інтегруванням цієї системи. Графік розв’язків (8.5) називається інтегральною кривою системи (8.4).
Приклад 2. Розглянемо систему
13 EMBED Equation.3 1415 (8.6)
Розв’язування.
Ця система має розв’язок
13 EMBED Equation.3 1415 (8.7)
Дійсно, підставляючи (8.7) в (8.6), дістаємо рівності
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Система диференціальних рівнянь
13 EMBED Equation.3 1415 (8.8) розв’язана відносно похідних від шуканих функцій, називається системою диференціальних рівнянь в нормальній формі або нормальною системою.
Якщо за допомогою деяких перетворень з даної нормальної системи вдається отримати інтегровне рівняння, то така система називається інтегрованою комбінацією.
Приклад 3. Розв’язати систему
13 EMBED Equation.3 1415 (8.9)
Розв’язування. Це нормальна система. Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо інтегровну комбінацію
13 EMBED Equation.3 1415
звідки
13 EMBED Equation.3 1415 (8.10)
Віднявши почленно друге рівняння системи (8.9) з першого, дістанемо ще одну інтегровну комбінацію
13 EMBED Equation.3 1415
звідки
13 EMBED Equation.3 1415 (8.11)
Сукупність співвідношень виду (8.10) і (8.11) в загальній теорії диференціальних рівнянь називається загальним інтегралом системи.
Якщо праві частини нормальної системи лінійно залежать від шуканих функцій 13 EMBED Equation.3 1415 тобто ця система має вигляд
13 EMBED Equation.3 1415 (8.12)
то вона називається лінійною системою. Із лінійних систем найбільш важливими, як в теорії, так і в застосуваннях, є системи з постійними коефіцієнтами.
Початкова задача або задача Коші для нормальної системи (8.8), ставиться так: знайти розв’язок (2), що задовольняє початкові умови (умови Коші)
13 EMBED Equation.3 1415 (8.13)
де 13 EMBED Equation.3 1415 – задані числа. Геометрично це означає, що слід знайти інтегральну криву, що проходить через дану точку 13 EMBED Equation.3 1415
Розглянемо нормальну систему виду
13 EMBED Equation.3 1415 (8.14)
де 13 EMBED Equation.3 1415 – час, а 13 EMBED Equation.3 1415 – координати точки 13 EMBED Equation.3 1415-вимірного простору. Цей простір будемо називати фазовим простором. У випадку 13 EMBED Equation.3 1415 фазовий простір є вісь 13 EMBED Equation.3 1415; при 13 EMBED Equation.3 1415 – площина 13 EMBED Equation.3 1415 – фазова площина.
Будь-який розв’язок
13 EMBED Equation.3 1415 (8.15)
визначає інтегральну криву системи (8.14) та є законом руху точки в фазовому просторі. Тому розв’язок (8.15) називають просто рухом, який визначає система диференціальних рівнянь (8.14), а шлях, що описує точка в фазовому просторі,– траєкторією цього руху.
Ліві частини системи (8.14) суть складові (по осях координат) швидкості руху точки. Тому система (8.14) задає так зване поле швидкостей руху так, що точка може проходити в момент часу 13 EMBED Equation.3 1415 через положення 13 EMBED Equation.3 1415 тільки з заданою швидкістю. Потрібно знайти самі рухи і вивчити їх властивості. Якщо швидкість, з якою точка проходить через положення 13 EMBED Equation.3 1415, не залежить явно від моменту часу проходження, тобто система (8.14) має вигляд
13 EMBED Equation.3 1415 (8.16)
то вона називається стаціонарною або автономною системою.
Якщо система (8.14) така, що в деякій точці 13 EMBED Equation.3 1415 її праві частини рівні нулю при всіх розглянутих значеннях часу 13 EMBED Equation.3 1415, тобто
13 EMBED Equation.3 1415
то система має розв’язок
13 EMBED Equation.3 1415 (8.17)
Рух (8.17) називається станом спокою. Траєкторією цього руху є точка 13 EMBED Equation.3 1415 – точка спокою.
Задача Коші, або початкова задача для системи (8.14), полягає в знаходженні руху (8.15), що задовольняє початковим умовам
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 (8.18)
де 13 EMBED Equation.3 1415 – задані числа (початкові дані), тобто шукається такий рух, при якому точка, що рухається, знаходиться в заданій точці 13 EMBED Equation.3 1415 фазового простору в заданий момент часу 13 EMBED Equation.3 1415. При цьому точка 13 EMBED Equation.3 1415 називається початковою точкою руху (8.15).
Зазначимо, що якщо початкова точка руху (8.15) є точкою спокою 13 EMBED Equation.3 1415, то одним із розв’язків задачі Коші є стан спокою (8.17).
Приклад 4. Розглянемо систему
13 EMBED Equation.3 1415 (8.19)
Знайдемо рухи, що визначається цією системою, і вивчимо їх властивості. Зазначимо, що система (8.19) автономна. Початок координат 13 EMBED Equation.3 1415 є точкою спокою, так як праві частини системи (8.19) перетворюються в нуль при всіх значеннях часу 13 EMBED Equation.3 1415. Цій точці відповідає рух
13 EMBED Equation.3 1415стан спокою. (8.20)
Знайдемо всі інші рухи і вияснимо, як вони ведуть себе по відношенню до стану спокою (8.20). Проведемо спочатку попереднє дослідження характеру руху, що визначається системою (8.19). Для цього вивчимо поле швидкостей.
В точках осі 13 EMBED Equation.3 1415 маємо
13 EMBED Equation.3 1415
тобто складова швидкості по осі 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює нулю, а складова по осі 13 EMBED Equation.3 1415 залежить від 13 EMBED Equation.3 1415.
Проінтегруємо тепер систему (8.19). Бажаючи виключити одну невідому функцію, наприклад 13 EMBED Equation.3 1415, знайдемо похідні по 13 EMBED Equation.3 1415 від обох частин першого рівняння системи і замінимо 13 EMBED Equation.3 1415 її значенням з другого рівняння. Отримаємо
13 EMBED Equation.3 1415
або
13 EMBED Equation.3 1415 (8.21)
Рівняння (8.21) має загальний розв’язок
13 EMBED Equation.3 1415
Так як 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415
Таким чином всі розв’язки системи (8.19) даються формулою
13 EMBED Equation.3 1415 (8.22)
З цієї формули видно, що всякий розв’язок системи (8.19) 13 EMBED Equation.3 1415-періодичний і обмежений при 13 EMBED Equation.3 1415.
Виключивши з рівнянь рухів (8.22) час 13 EMBED Equation.3 1415, знайдемо траєкторію рухів:
13 EMBED Equation.3 1415
Це кола з центром в початку координат (в точці спокою системи (8.19)).
Знайдемо рух, що задовольняє початковим умовам
13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415 (8.23)
Замінюючи в (8.22) змінні 13 EMBED Equation.3 1415, 13
·EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 числами 13 EMBED Equation.3 1415, маємо
13 EMBED Equation.3 1415
Підставляючи ці значення будь-яких сталих в (8.22), отримаємо
13 EMBED Equation.3 1415 (8.24)
Інших розв’язків немає, так як (8.22) містить всі розв’язки системи (8.19).
Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то рух (8.24) перейде в стан спокою (8.20).
Якщо початкові дані 13 EMBED Equation.3 1415 не рівні одночасно нулю, але достатньо малі, то відповідні їм рухи (8.24) будуть як завгодно близькі до стану спокою при всіх 13 EMBED Equation.3 1415

Аналогічно, як і для нормального диференціального рівняння можна сформулювати теорему існування і єдиності розв’язку для нормальної системи (8.8).
Теорема Пікара. Якщо праві частини системи (8.8) неперервні в деякій області початкової точки 13 EMBED Equation.3 1415) і мають неперервні в цій області часткові похідні по 13 EMBED Equation.3 1415, то така система має єдиний розв’язок (8.5) в деякій області точки 13 EMBED Equation.3 1415, що задовольняє початковим умовам (8.13).
Умови теореми Пікара виконуються, якщо праві частини нормальної системи поліноми відносно 13 EMBED Equation.3 1415, коефіцієнти яких неперервні в області початкового значення 13 EMBED Equation.3 1415. При цьому початкові значення 13 EMBED Equation.3 1415 можна брати довільно.
Теорема Пікара для лінійної системи (8.12) має такі ж дві особливості, що і в випадку лінійного рівняння першого порядку:
1) початкові значення шуканих функцій можна задавати довільно, а початкове значення незалежної змінної можна брати будь-яким з інтервалу 13 EMBED Equation.3 1415, в якому коефіцієнти 13 EMBED Equation.3 1415 і функції 13 EMBED Equation.3 1415 неперервні;
2) розв’язок задачі Коші визначений і неперервно диференційовний на всьому інтервалі 13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо всі 13 EMBED Equation.3 1415і 13 EMBED Equation.3 1415 неперервні при всіх значеннях 13 EMBED Equation.3 1415, то всі початкові дані можна вибирати абсолютно вільно, і розв’язок існує при всіх 13 EMBED Equation.3 1415.
Задачу Коші для нормальної системи (8.8) не завжди вдається розв’язати в точному вигляді, тому виникає необхідність побудови наближених методів знаходження розв’язків задачі Коші.
Розглянемо нормальну систему (8.8)
13 EMBED Equation.3 1415
Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 є область в просторі 13 EMBED Equation.3 1415, через кожну точку якої проходить одна і тільки одна інтегральна крива системи (8.8). Для цього достатньо припустити, що в кожній точці області 13 EMBED Equation.3 1415 функції 13 EMBED Equation.3 1415 неперервні відносно всіх своїх аргументів і мають неперервні часткові похідні по 13 EMBED Equation.3 1415.
Сукупність 13 EMBED Equation.3 1415 функцій
13 EMBED Equation.3 1415 (8.25)
визначених в деякій області зміни змінних 13 EMBED Equation.3 1415 і неперервно диференційованих відносно 13 EMBED Equation.3 1415, називається загальним розв’язком системи (8.8) в області 13 EMBED Equation.3 1415, якщо:
1) система (8.25) розв’язується в області 13 EMBED Equation.3 1415 відносно довільних сталих 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.26)
2) сукупність функцій (8.25) є розв’язком системи (8.8) при всіх значеннях довільних сталих 13 EMBED Equation.3 1415, що визначаються формулами (8.26), коли точка 13 EMBED Equation.3 1415 пробігає область 13 EMBED Equation.3 1415.
Значення загального розв’язку (8.25) дає можливість розв’язати задачу Коші з будь - якими початковими даними 13 EMBED Equation.3 1415 з області 13 EMBED Equation.3 1415 за рахунок вибору відповідних значень довільних сталих 13 EMBED Equation.3 1415. Для цього достатньо замінити в (8.25) величини 13 EMBED Equation.3 1415 початковими даними 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.27)
розв’язати систему (8.27) відносно 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
і підставити знайдені значення довільних сталих в (8.25). Отримаємо
13 EMBED Equation.3 1415
Це і є оптимальний розв’язок. Він єдиний.
Якщо в загальному розв’язку (8.25) роль довільних сталих 13 EMBED Equation.3 1415 відіграють початкові значення 13 EMBED Equation.3 1415 шуканих функцій 13 EMBED Equation.3 1415 при деякому фіксованому значенні 13 EMBED Equation.3 1415незалежної змінної
13 EMBED Equation.3 1415
то такий запис загального розв’язку будемо називати загальним розв’язком в формі Коші.
Приклад 5. Розглянемо систему
13 EMBED Equation.3 1415 (8.28)
Це є лінійна система з постійними коефіцієнтами; вона може бути проінтегрована послідовно, так як перше рівняння не містить 13 EMBED Equation.3 1415. Інтегруючи це рівняння, підставляємо загальний розв’язок в друге рівняння і інтегруючи отримане рівняння, знайдемо 13 EMBED Equation.3 1415. Маємо
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
звідки
13 EMBED Equation.3 1415
Сукупність функцій
13 EMBED Equation.3 1415 (8.29)
є загальним розв’язком системи (8.28) у всьому просторі 13 EMBED Equation.3 1415.
Дійсно, в околі будь-якої точки 13 EMBED Equation.3 1415 виконуються умови теореми Пікара, тому через цю точку проходить одна і тільки одна інтегральна крива ситеми (8.28).
Сукупність функцій (8.28) задовольняє обидві умови, вказані у визначенні загального розв’язку:
система (8.29) розв’язується відносно 13 EMBED Equation.3 1415 і13 EMBED Equation.3 1415 у всьому просторі 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
функції (8.29) утворюють розв’язок системи (8.28) при всіх значеннях 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Тому (8.29) є загальним розв’язком системи (8.28) у всьому просторі 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайдемо розв’язок з початковими даними 13 EMBED Equation.3 1415. Розв’язуючи систему
13 EMBED Equation.3 1415
відносно 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, знайдемо
13 EMBED Equation.3 1415
Остаточним розв’язком буде
13 EMBED Equation.3 1415
Зокрема, при 13 EMBED Equation.3 1415 будемо мати
13 EMBED Equation.3 1415 (8.30)
Якщо в (8.30) рахувати 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 довільними, то отримаємо загальний розв’язок системи (8.28) в формі Коші.
Розв’язок нормальної системи диференціальних рівнянь називається частковим, якщо в кожній його точці мають місце існування і єдиність розв’язку задачі Коші. Будь-який розв’язок, що знаходиться в формулі загального розв’язку є частковим розв’язком. Наприклад (8.30) є частковим розв’язком системи (8.28).
Рівняння 13 EMBED Equation.3 1415-го порядку (8.22)
13 EMBED Equation.3 1415
завжди можна звести до нормальної системи 13 EMBED Equation.3 1415 рівнянь. З цією метою позначимо шукану функцію 13 EMBED Equation.3 1415 через 13 EMBED Equation.3 1415 і приймемо 13 EMBED Equation.3 1415 за нові невідомі функції, поклавши
13 EMBED Equation.3 1415 (8.31)
складемо систему диференціальних рівнянь для функцій 13 EMBED Equation.3 1415 Маємо
13 EMBED Equation.3 1415
Тому для функцій 13 EMBED Equation.3 1415 отримаємо наступну нормальну систему диференціальних рівнянь:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.32)
Знайшовши розв’язок системи (8.31), знайдемо і розв’язок рівняння (8.22), так як 13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо рівняння 13 EMBED Equation.3 1415-го порядку лінійне, то і відповідна йому нормальна система буде лінійною.
Приклад 6. Розглянемо рівняння 13 EMBED Equation.3 1415 Зведемо його до нормальної системи двох рівнянь; введемо невідому функцію 13 EMBED Equation.3 1415, поклавши 13 EMBED Equation.3 1415 Тоді для 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 отримаємо нормальну систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Нехай дана нормальна система 13 EMBED Equation.3 1415 рівнянь (8.8)
13 EMBED Equation.3 1415
Одним із способів інтегрування цієї системи поряд з методом інтегрованих комбінацій є так званий метод виключення. Він полягає в тому, що з системи (8.8) за допомогою диференціювання одного з рівнянь і заміни 13 EMBED Equation.3 1415 їх значеннями, із системи (8.8) намагаються виключити всі шукані функції, крім однієї, для якої отримаємо рівняння 13 EMBED Equation.3 1415-го порядку. Знайшовши загальний розв’язок цього рівняння, знаходимо решту невідомих функцій без подальших квадратур.
На практиці не завжди вдається звести даним способом систему (8.8) до одного рівняння 13 EMBED Equation.3 1415-го порядку, але можна довести, що тоді система (8.8) зводиться до групи рівнянь (з однією невідомою функцією кожне), сума порядків яких рівна 13 EMBED Equation.3 1415.
Приклад 7. Розв’язати систему
13 EMBED Equation.3 1415 (8.33)
Розв’язування. Диференціюючи перше рівняння і користуючись другим і третім, отримуємо
13 EMBED Equation.3 1415
але 13 EMBED Equation.3 1415 тому
13 EMBED Equation.3 1415
або
13 EMBED Equation.3 1415 (8.34)
Отримали одне рівняння другого порядку. Згідно сказаного вище, потрібно отримати ще одне рівняння першого порядку з однією невідомою функцією: 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415. Виключимо 13 EMBED Equation.3 1415 з перших двох рівнянь системи (8.33). Віднімаючи почленно перше рівняння з другого, маємо
13 EMBED Equation.3 1415
звідки
13 EMBED Equation.3 1415 (8.35)
Це і є шуканим рівнянням першого порядку з однією невідомою функцією 13 EMBED Equation.3 1415 (права частина рівняння (8.35) є відома функція від 13 EMBED Equation.3 1415, так як 13 EMBED Equation.3 1415 визначається з рівняння (8.34)). Проінтегрувавши послідовно рівняння (8.34), (8.35), знайдемо 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, після чого знайдемо 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.36)
З рівняння (8.34) знайдемо
13 EMBED Equation.3 1415 (8.37)
Підставляючи в (8.35), маємо
13 EMBED Equation.3 1415
звідки
13 EMBED Equation.3 1415 (8.38)
Нарешті, з (8.36) знайдемо 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.39)
Формули (8.37), (8.38) і (8.39) утворюють загальний розв’язок системи (8.33) в області 13 EMBED Equation.3 1415

Контрольні запитання
Що називається системою звичайних диференціальних рівнянь? її інтегруванням? інтегральною кривою?
Яка система дифрівнянь називається нормальною?
Що називається загальним інтегралом нормальної системи?
Сформулюйте задачу Коші для нормальної системи диференціальних рівнянь.
Поясніть механічну суть нормальної системи дифрівнянь.
Сформулюйте теорему Пікара, поясніть її суть.
Що є загальним, частковим, особливим розв’язком нормальної системи дифрівнянь?
Як звести нормальну систему дифрівнянь до одного рівняння і навпаки дифрівняння 13 EMBED Equation.3 1415-го порядку до нормальної системи?
Поясніть суть методу виключення.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 18814228
    Размер файла: 542 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий