Lek3

Лекція 3

Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник. Застосування диференціальних рівнянь першого порядку до дослідження механічних, гідравлічних та електричних систем.

Рівняння
13 EMBED Equation.3 1415 (3.1)
називається рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції 13 EMBED Equation.3 1415, тобто
13 EMBED Equation.3 1415.
Щоб рівняння (3.1) було рівнянням в повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб
13 EMBED Equation.3 1415.
Усі розв’язки рівняння в повних диференціалах задовольняють умову 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – довільна стала.
Щоб знайти функцію 13 EMBED Equation.3 1415 скористаємося рівностями
13 EMBED Equation.3 1415. (3.2)
Інтегруючи першу з цих рівносте по 13 EMBED Equation.3 1415, визначимо функцію 13 EMBED Equation.3 1415 з точністю до довільної диференційовної функції 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415. (3.3)
Диференціюючи (3.3) по 13 EMBED Equation.3 1415 з урахуванням другої рівності з (3.2) дістанемо рівняння для визначення функції 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Приклад 1. Розв’язати рівняння
13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язання. Маємо
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, 13 EMBED Equation.3 1415, тобто ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
З першого рівняння маємо
13 EMBED Equation.3 1415.
Останню рівність диференціюємо по 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
Тобто 13 EMBED Equation.3 1415. Звідси 13 EMBED Equation.3 1415.
Тому
13 EMBED Equation.3 1415.
Остаточно
13 EMBED Equation.3 1415.

Інтегруючим множником для рівняння (3.1) називається така функція 13 EMBED Equation.3 1415, після множення на яку це рівняння перетворюється в рівняння у повних диференціалах.
Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 – інтегруючий множник рівняння (3.1), то рівняння
13 EMBED Equation.3 1415
є рівнянням в повних диференціалах і тому
13 EMBED Equation.3 1415,
тобто інтегруючий множник 13 EMBED Equation.3 1415 є розв’язком рівняння з частинними похідними першого порядку:
13 EMBED Equation.3 1415. (3.4)
У деяких випадках рівняння (3.4) спрощується і інтегруючий множник легко знайти. Розглянемо такі випадки.
1. Якщо рівняння (3.1) має інтегруючий множник, що залежить лише від 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415, то з (3.4) маємо
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Якщо рівняння (3.1) має інтегруючий множник, що залежить лише від 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415, то з (3.4) маємо
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Якщо рівняння (3.1) має інтегруючий множник, що залежить від деякої відомої функції 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415, то з (3.4) маємо
13 EMBED Equation.3 1415.
Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 – інтегруючий множник рівняння (3.1) і 13 EMBED Equation.3 1415 – інтеграл цього рівняння, який йому відповідає. Тоді всі інтегруючі множники рівняння (3.1) виражаються формулою 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415–довільна неперервно диференційована функція. Використовуючи це твердження, інтегруючий множник можна знайти так. Запишемо рівняння (3.1) у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415
і припустимо, що знайдено інтегруючі множники 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 та інтеграли 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 відповідно для рівнянь
13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Тоді всі інтегруючі множники першого з цих рівнянь мають вигляд 13 EMBED Equation.3 1415, а другого – 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 – довільні диференційовні функції. Якщо функції 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 можна підібрати так, щоб
13 EMBED Equation.3 1415,
то 13 EMBED Equation.3 1415 – інтегруючий множник рівняння (3.1).
Приклад 2. Розв’язати рівняння 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язання. Маємо
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Рівняння 13 EMBED Equation.3 1415 є рівнянням в повних диференціалах. Запишемо його у вигляді 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Остаточно 13 EMBED Equation.3 1415.

Складання та розв’язування диференціального рівняння, яке описує певний еволюційний процес або залежність між характеристиками досліджуваного явища, часто є непростою задачею. Універсального методу складання диференціального рівняння не існує, тому можна дати лише деякі загальні вказівки.
Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 – шукана залежність між характеристиками х і у даного процесу. Щоб скласти диференціальне рівняння, розв’язком якого є функція 13 EMBED Equation.3 1415, треба виразити приріст цієї функції 13 EMBED Equation.3 1415 через приріст 13 EMBED Equation.3 1415 незалежної змінної х та інші величини, про які йдеться в задачі. Поділивши 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 та перейшовши до границі при 13 EMBED Equation.3 1415, дістанемо диференціальне рівняння, тобто залежність швидкості зміни величини у в точці х (похідної 13 EMBED Equation.3 1415) від х і 13 EMBED Equation.3 1415. У багатьох випадках ця залежність грунтується на законі або експериментальному факті, який має місце в тій чи іншій галузі природознавства. При цьому, звичайно, використовують геометричний зміст похідної (тангенс кута нахилу дотичної) та її фізичний зміст (швидкість перебігу процесу).
При розв’язуванні деяких задач дістають рівняння, шукана функція в яких міститься не тільки під знаком похідної, а й під знаком інтеграла. Рівняння такого типу називають інтегральними, або інтегро-диференціальними. Вони виникають, наприклад, при використанні геометричного змісту визначеного інтеграла як площі криволінійної трапеції та інших інтегральних формул (довжина дуги кривої, площа поверхні і об’єм тіла обертання, робота сили тощо). У найпростіших випадках такі рівняння шляхом диференціювання зводять до диференціальних рівнянь.

Розглянемо деякі приклади.
Приклад 3. Матеріальна точка рухається по прямій зі швидкістю обернено пропорційною до пройденого шляху. В початковий момент руху точка була на відстані 5 м від початку відліку шляху і мала швидкість 13 EMBED Equation.3 1415м/с. Знайти шлях, який пройшла точка, та її швидкість через 10с після початку руху.
Розв’язання. Позначимо через 13 EMBED Equation.3 1415 – відстань точки від початку відліку в момент t. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415. За умовою, зміна величина s від часу описується диференціальним рівнянням 13 EMBED Equation.3 1415 де k – коефіцієнт пропорційності. Відокремивши змінні в цьому рівнянні і проінтегрувавши його, отримаємо:
13 EMBED Equation.3 1415
З умови 13 EMBED Equation.3 1415 знайдемо сталу інтегрування С:
13 EMBED Equation.3 1415
Отже, 13 EMBED Equation.3 1415 Продиференціювавши це рівняння по t, знайдемо швидкість руху точки в момент t:
13 EMBED Equation.3 1415
З умови 13 EMBED Equation.3 1415м/с знаходимо коефіцієнт пропорційності k:
13 EMBED Equation.3 1415м/с, k=100.
Отже, відстань s(t) і швидкість 13 EMBED Equation.3 1415 змінюються за законом
13 EMBED Equation.3 1415
Через 10 с після початку руху
13 EMBED Equation.3 1415м,
13 EMBED Equation.3 1415 м/с.
Таким чином, через 10 с після початку руху швидкість точки становила 13 EMBED Equation.3 1415м/с. За цей час точка пройшла відстань 13 EMBED Equation.3 1415 м.
Приклад 4. Метеорит під впливом земного тяжіння із стану спокою починає прямолінійно падати на Землю з висоти 13 EMBED Equation.3 1415. Якою була б швидкість метеорита на поверхні Землі, коли б не було земної атмосфери? Радіус Землі R=6377 км.
Розв'язання. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 відстань, яку метеорит пройшов з початку падіння, 13 EMBED Equation.3 1415 відстань від метеорита в момент t до центра Землі. У момент 13 EMBED Equation.3 1415 на метеорит діє сила 13 EMBED Equation.3 1415, де т маса метеорита, a a його прискорення. На поверхні Землі на тіло діє сила тяжіння 13 EMBED Equation.3 1415, де g прискорення вільного падіння на поверхні Землі.
За законом Ньютона ці сили обернено пропорційні до квадратів відстаней падаючого тіла від центра Землі:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Звідси 13 EMBED Equation.3 1415 але 13 EMBED Equation.3 1415. Тому 13 EMBED Equation.3 1415
Враховуючи рівність 13 EMBED Equation.3 1415 дістаємо диференціальне рівняння руху:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Інтегруючи це рівняння, знаходимо
13 EMBED Equation.3 1415
Рух починався із стану спокою, тобто 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Тому швидкість метеорита залежно від шляху х виражається формулою
13 EMBED Equation.3 1415
На поверхні Землі 13 EMBED Equation.3 1415 швидкість метеорита 13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки за умовою висота h може бути необмежено великою, то, перейшовши до границі при 13 EMBED Equation.3 1415, дістанемо 13 EMBED Equation.3 1415 Отже, на поверхні Землі метеорит мав би швидкість 13 EMBED Equation.3 1415 км/с.

Перед розв’язуванням задач, що описують гідравлічні системи, зауважимо наступне:
швидкість витікання рідини через малий отвір у посудині, який лежить на відстані 13 EMBED Equation.3 1415 нижче від рівня рідини в посудині, без урахування тертя, дорівнювала б швидкості вільного падіння тіла з висоти 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415. З урахуванням тертя залежність швидкості 13 EMBED Equation.3 1415 від 13 EMBED Equation.3 1415 визначається законом Торічеллі: 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 – прискорення вільного падіння; 13 EMBED Equation.3 1415 – коефіцієнт витрат, який визначається емпірично і залежить від рідини. для води 13 EMBED Equation.3 1415, для гасу 13 EMBED Equation.3 1415.
Приклад 5. Круглий циліндричний бак з вертикальною віссю діаметром 13 EMBED Equation.3 1415 і висотою 13 EMBED Equation.3 1415 наповнено водою. З баку вода витікає через круглий отвір діаметром 13 EMBED Equation.3 1415 в дні бака. Знайти час 13 EMBED Equation.3 1415, за який вода повністю витече з бака.
Розв'язання. Площа поперечного перерізу бака 13 EMBED Equation.3 1415 стала і дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415, а площа отвору 13 EMBED Equation.3 1415 За формулою
13 EMBED Equation.3 1415
Зокрема, при R=1 м, Н=2,25 м, а=0,05 м і 13 EMBED Equation.3 1415=0,62, дістанемо
13 EMBED Equation.3 1415
Приклад 6. У прямолінійній трубі радіуса R тече рідина. Швидкість течії v кожного шару рідини збільшується з наближенням цього шару до центра труби (осі циліндра). Знайти 13 EMBED Equation.3 1415 як функцію відстані 13 EMBED Equation.3 1415 відповідного шару рідини від осі циліндра.
Розв’язання. Як відомо, залежність між v і 13 EMBED Equation.3 1415 виражається рівнянням
13 EMBED Equation.3 1415
де 13 EMBED Equation.3 1415 – коефіцієнт в’язкості; і – гідравлічний спад; 13 EMBED Equation.3 1415 – густина рідини (знак мінус означає, що із збільшенням відстані 13 EMBED Equation.3 1415 швидкість течії зменшується). Після інтегрування цього рівняння маємо
13 EMBED Equation.3 1415
Сталу С знайдемо з умови, що швидкість течії шару рідини, який безпосередньо прилягає до труби, дорівнює нулю, тобто 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Отже, 13 EMBED Equation.3 1415

Більшість електричних процесів, а також супутні їм ефекти також описуються диференціальними рівняннями.
Приклад 7. Циліндричну котушку виготовлено з мідного дроту. При проходженні електричного струму через котушку виділяється теплота. Вивести формулу для температури 13 EMBED Equation.3 1415 усталеного режиму як функції від часу t.
Розв’язання. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 – температура середовища, в якому розміщена котушка; 13 EMBED Equation.3 1415, с – питома теплоємність міді; 13 EMBED Equation.3 1415 – її густина, V – об'єм; S – площа поверхні котушки; q – кількість теплоти, яка виділяється за одиницю часу; k – коефіцієнт теплопровідності.
Кількість теплоти, яка виділяється за час 13 EMBED Equation.3 1415, дорівнює q13 EMBED Equation.3 1415. Ця величина складається з двох частин: теплоти, яка витрачається на підвищення температури 13 EMBED Equation.3 1415, і теплоти, яка втрачається в навколишньому середовищі. Перша частина дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415, а друга – 13 EMBED Equation.3 1415 (кількість цієї теплоти пропорційна до різниці температур T і T0 котушки і середовища, а також величинам S i 13 EMBED Equation.3 1415). Звідси
13 EMBED Equation.3 1415
Розділивши обидві частини останньої рівності на 13 EMBED Equation.3 1415 і перейшовши до границі при 13 EMBED Equation.3 1415 дістанемо диференціальне рівняння
13 EMBED Equation.3 1415,
або
13 EMBED Equation.3 1415
де 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Відокремивши змінні та проінтегрувавши, дістанемо
13 EMBED Equation.3 1415
Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Звідси 13 EMBED Equation.3 1415
Остаточно 13 EMBED Equation.3 1415
Контрольні запитання
Яке рівняння називається диференціальним рівнянням в повних диференціалах?
У якому вигляді шукають розв’язок дифрівняння в повних диференціалах?
Що таке інтегруючий множник? Як його знайти. Наведіть окремі випадки знаходження інтегруючого множника.
Які основні принципи складання диференціального рівняння, що описує реальний процес?
Наведіть приклади застосування дифрівнянь в механіці, гідравліці, електриці. Які фізичні закони при цьому використовують?

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 18814229
    Размер файла: 371 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий