Lek2

Однорідні рівняння першого порядку та рівняння, що зводяться до однорідних. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.

Функція 13 EMBED Equation.3 1415 називається однорідною степеня k, якщо для всіх 13 EMBED Equation.3 1415 виконується рівність 13 EMBED Equation.3 1415. Прикладом однорідної функції може бути будь - яка форма (однорідний многочлен) степеня k. Функції
13 EMBED Equation.3 1415,
наприклад, є однорідними степеня 0, 1, 2 та k відповідно.
Диференціальне рівняння
13 EMBED Equation.3 1415 (2.1)
називається однорідним, якщо f(x,y) – однорідна функція степеня нуль.
Диференціальне рівняння першого порядку в симетричній формі
13 EMBED Equation.3 1415
є однорідним, якщо 13 EMBED Equation.3 1415 – однорідні функції одного степеня.
Однорідне рівняння можна розглядати в будь-якій однорідній (інваріантній відносно розтягу або стиску) області, наприклад, у куті з вершиною в початку координат.
Заміна 13 EMBED Equation.3 1415 приводить однорідне рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними. Однорідне рівняння можна також звести до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою переходу до полярних координат: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Рівняння вигляду
13 EMBED Equation.3 1415
можна звести до однорідного за допомогою лінійної заміни
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 – координати точки перетину прямих 13 EMBED Equation.3 1415 i 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо ці прямі не перетинаються, то 13 EMBED Equation.3 1415і рівняння можна звести до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою заміни
13 EMBED Equation.3 1415.
Приклад 1. Розв’язати рівняння
13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язання. Дане рівняння однорідне. Поклавши 13 EMBED Equation.3 1415, отримаємо
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 2. Крива проходить через точку 13 EMBED Equation.3 1415. Відстань будь - якої дотичної до цієї кривої від початку координат дорівнює абсцисі точки дотику. Скласти рівняння кривої.
Розв’язання. Нехай точка 13 EMBED Equation.3 1415 належить шуканій кривій 13 EMBED Equation.3 1415. Дотична до цієї кривої в точці 13 EMBED Equation.3 1415 лежить від початку координат на відстані
13 EMBED Equation.3 1415,
яка за умовою дорівнює х. Тому дана крива є інтегральною кривою і її рівняння
13 EMBED Equation.3 1415.
Піднісши обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо
13 EMBED Equation.3 1415
Тобто
13 EMBED Equation.3 1415.
Це рівняння – однорідне. Розв’яжемо його. Покладемо 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415 За умовою крива проходить через точку 13 EMBED Equation.3 1415. Тому С=2. Отже, рівняння шуканої кривої має вигляд:
13 EMBED Equation.3 1415

Приклад 3. Проінтегрувати рівняння
13 EMBED Equation.3 1415
Розв’язанння. Знайдемо точку перетину прямих 13 EMBED Equation.3 1415, розв’язавши систему рівнянь
13 EMBED Equation.3 1415
Знаходимо, що 13 EMBED Equation.3 1415. Введемо заміну 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Дістанемо однорідне рівняння
13 EMBED Equation.3 1415
Нехай 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415
або
13 EMBED Equation.3 1415
Очевидно, функції 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 є розв’язками цього рівняння. Інші розв’язки знайдемо, відокремивши змінні:
13 EMBED Equation.3 1415.
Оскільки
13 EMBED Equation.3 1415

то останнє рівняння можна записати у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415
Після інтегрування отримаємо:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Враховуючи, що 13 EMBED Equation.3 1415 загальний інтеграл запишемо у вигляді:
13 EMBED Equation.3 1415
Функціям 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 відповідають розв’язки 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 вихідного рівняння. Розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415 отримуємо із загального при С=0.

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називають диференціальне рівняння вигляду
13 EMBED Equation.3 1415, (2.2)
де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – довільні неперервні функції.
Загальними методами розв’язування лінійних рівнянь є метод Лагранжа (варіації довільної сталої), Бернуллі та Ейлера.
Метод Лагранжа. Лінійним однорідним диференціальним рівнянням першого порядку (відповідним (2.2)), називається рівняння вигляду
13 EMBED Equation.3 1415. (2.3)
Це рівняння з відокремлюваними змінними, розв’язком якого є функція
13 EMBED Equation.3 1415, (2.4)
де с – довільна дійсна стала.
За методом Лагранжа розв’язок рівняння (2.2) знаходимо у формі (2.4), але при 13 EMBED Equation.3 1415, тобто
13 EMBED Equation.3 1415. (2.5)
Підставляючи (2.5) в (2.2), дістанемо диференціальне рівняння для знаходження функції 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, (2
·.6)
звідки
13 EMBED Equation.3 1415. (2.7)
Розв’язки рівняння (2.2) задаються співвідношенням 13 EMBED Equation.3 1415. Маємо
13 EMBED Equation.3 1415. (2.8)
Розв’язок задачі Коші з початковою умовою 13 EMBED Equation.3 1415 має вигляд
13 EMBED Equation.3 1415. (2.9)
Метод Бернуллі. Розв’язки рівняння (2.2) шукаємо у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415. (2.10)
Маємо
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Функцію 13 EMBED Equation.3 1415 виберемо з умови 13 EMBED Equation.3 1415. Звідси
13 EMBED Equation.3 1415 (2.11)
і тоді для функції 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, (2.12)
де С – довільна стала.
Перемноживши (2.11)та (2.12) дістанемо (2.8).
Метод Ейлера (інтегрувального множника). Помноживши рівняння (2.2) на функцію 13 EMBED Equation.3 1415 – інтегруючий множник, отримане рівняння запишемо у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415.
Інтегрування останнього дає
13 EMBED Equation.3 1415,
що еквівалентне (2.8).
Рівність (2.8) називають формулою загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння (2.2).
Приклад 4 . Розв’язати рівняння
13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язання. Задане рівняння є лінійним відносно функції 13 EMBED Equation.3 1415. Продемонструємо на прикладі цього рівняння кожний із запропонованих методів.
Метод Лагранжа дає такий ланцюжок перетворень:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, загальний розв’язок заданого рівняння має вигляд
13 EMBED Equation.3 1415
Метод Бернуллі приводить до інших перетворень:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Для 13 EMBED Equation.3 1415 маємо 13 EMBED Equation.3 1415, звідки 13 EMBED Equation.3 1415. Для знаходження 13 EMBED Equation.3 1415 маємо: 13 EMBED Equation.3 1415, звідки 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415
Остаточно 13 EMBED Equation.3 1415
Метод інтегрувального множника вимагає виконання таких перетворень: знаходимо 13 EMBED Equation.3 1415; помноживши рівняння на знайдену функцію, дістанемо 13 EMBED Equation.3 1415 звідки
13 EMBED Equation.3 1415

До лінійних зводяться рівняння вигляду
13 EMBED Equation.3 1415 (2.14)
після заміни 13 EMBED Equation.3 1415 де z – нова функція аргументу х.
Зокрема, рівняння Бернуллі
13 EMBED Equation.3 1415, (2.15)
яке можна подати у вигляді:
13 EMBED Equation.3 1415
заміною 13 EMBED Equation.3 1415 зводимо до лінійного.
Проте розв’язки рівняння (2.15) зручніше шукати, застосовуючи метод Бернуллі безпосередньо до (2.15), без зведення його до лінійного.
Рівняння Ріккатті
13 EMBED Equation.3 1415 (2.16)
у загальному випадку не інтегрується в квадратурах. Якщо ж частинний розв’язок рівняння (2.16) відомий, наприклад 13 EMBED Equation.3 1415, то заміною 13 EMBED Equation.3 1415 (де z–нова функція аргументу х) рівняння Ріккатті зводиться до рівняння Бернуллі.
Заміна 13 EMBED Equation.3 1415 зводить рівняння Ріккатті відразу до лінійного відносно функції 13 EMBED Equation.3 1415 рівняння.
Приклад 5. Розв’язати рівняння Ріккатті
13 EMBED Equation.3 1415
Розв’язання. Очевидно, що 13 EMBED Equation.3 1415 є розв’язком цього рівняння. Поклавши 13 EMBED Equation.3 1415, матимемо рівняння Бернуллі 13 EMBED Equation.3 1415 Якщо ж провести заміну 13 EMBED Equation.3 1415, то отримаємо лінійне рівняння 13 EMBED Equation.3 1415 звідки 13 EMBED Equation.3 1415 а тому
13 EMBED Equation.3 1415

Приклад 6. Розв’язати рівняння.
13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язання. Відмінні від нуля розв’язки цього рівняння Бернуллі можна знайти за допомогою заміни 13 EMBED Equation.3 1415 Маємо
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Це лінійне рівняння. Помноживши обидві частини цього рівняння на 13 EMBED Equation.3 1415, дістанемо
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Врахувавши заміну, остаточно знайдемо
13 EMBED Equation.3 1415.
Крім цих розв’язків, очевидно, дане рівняння має розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415.

Контрольні запитання
Які функції називаються однорідними?
Які дифрівняння називаються однорідними? Як їх розв’язують?
Які рівняння зводяться до однорідних? Якими методами це можна зробити?
Які рівняння називають лінійними? Наведіть приклад.
Охарактеризуйте метод Лагранжа розв’язування лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.
Охарактеризуйте метод Бернуллі розв’язування лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.
Охарактеризуйте метод інтегрувального множника розв’язування лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.
Які рівняння називають рівняннями Бернуллі та Ріккатті? Наведіть приклади. Як їх розв’язують?
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 18814230
    Размер файла: 291 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий