Lek1

Задачі, які приводять до диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші. Теорема існування і єдиності розв’язку задачі Коші. Загальний та частинний розв’язки диференціального рівняння першого порядку. Поняття про особливі розв’язки диференціального рівняння першого порядку. Геометричний зміст диференціального рівняння першого порядку. Метод ізоклін. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремленими та відокремлюваними змінними.

Вивчаючи явища природи, розв’язуючи різноманітні задачі з фізики, техніки, біології, економіки, не завжди можна безпосередньо встановити прямий зв’язок між величинами, що описують той чи інший еволюційний процес. Здебільшого можна встановити зв’язок між цими величинами (функціями) та швидкостями їхньої зміни відносно інших (незалежних) величин. При цьому виникають рівняння, в яких невідомі функції містяться під знаком похідної. Ці рівняння називаються диференціальними.
Розглянемо задачу, що приводить до диференціального рівняння.
Задача. У сприятливих для розмноження умовах перебуває певна кількість бактерій. Через який час кількість бактерій подвоїться?
Розв’язання. Нехай у початковий момент було 13 EMBED Equation.3 1415 бактерій. Позначимо через 13 EMBED Equation.3 1415 кількість бактерій у момент часу t (13 EMBED Equation.3 1415). Із експерименту відомо, що швидкість розмноження бактерій за сприятливих умов пропорційна їх кількості. Цей біологічний експериментальний закон дає змогу написати диференціальне рівняння розмноження бактерій:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.1)
Коефіцієнт пропорційності k залежить від виду бактерій та умов, в яких вони перебувають. Його можна визначити експериментально.
Вихідна задача звелась до чисто математичної задачі: знайти розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415 рівняння (1.1), для якого 13 EMBED Equation.3 1415, і з рівняння 13 EMBED Equation.3 1415 визначити час подвоєння початкової кількості бактерій.
Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, то поділивши обидві частини рівняння (1.1) на 13 EMBED Equation.3 1415, дістанемо 13 EMBED Equation.3 1415. Звідси
13 EMBED Equation.3 1415, (1.2)
де С1 – будь-яка стала, яку для зручності позначимо 13 EMBED Equation.3 1415.
З рівняння (1.2) маємо
13 EMBED Equation.3 1415.
Щоб з цієї множини функцій виділити ту, яка описує процес розмноження бактерій, скористаємося рівністю 13 EMBED Equation.3 1415. Остаточно матимемо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Час t, за який кількість бактерій подвоїться, визначається з рівняння
13 EMBED Equation.3 1415.
Звідси 13 EMBED Equation.3 1415. Зауважимо, що цей час не залежить від початкової кількості бактерій.
Диференціальне рівняння
13 EMBED Equation.3 1415, (1.3)
що утворилося в процесі розв’язання попередньої задачі, описує багато різноманітних процесів і залежностей між величинами, в яких шукані функції 13 EMBED Equation.3 1415 можуть бути не тільки додатні.

У різних сферах діяльності людини виникає багато задач, розв’язування яких аналогічне вже розглянутому. Про такі задачі кажуть, що вони зводяться до диференціальних рівнянь.
Характер цих задач і методику розв’язання їх можна схематично описати так. Відбувається деякий процес – фізичний, хімічний, біологічний, економічний та ін. При цьому інтерес становить певна функціональна характеристика процесу, наприклад зміна з часом температури чи тиску, маси, положення в просторі. Якщо маємо достатньо повну інформацію про хід цього процесу, то можна спробувати побудувати його математичну модель. У багатьох випадках такою моделлю є диференціальне рівняння, одним з розв’язків якого і є шукана функціональна характеристика процесу. Диференціальне рівняння моделює процес у тому розумінні, що воно описує еволюцію процесу, характер змін матеріальної системи, можливі варіанти цих змін залежить від початкового стану системи.
Досвід показує, що різні за змістом задачі зводяться до однакових або аналогічних диференціальних рівнянь. Тому необхідно розробити прийоми розв’язування таких класів рівнянь для тих задач, які зведені або можуть зводитися до них. Ці всі питання вивчає наука, яка називається теорією диференціальних рівнянь.
Диференціальним рівнянням називається таке рівняння, яке містить похідну від шуканої функції і може містити первісну функцію і незалежну змінну. Будемо вважати, що незалежна змінна завжди є дійсним числом.
У теорії диференціальних рівнянь вивчаються і такі рівняння, які містять декілька незалежних змінних, шукану функцію і часткові похідні від шуканої функції по незалежних змінних, наприклад:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Такі рівняння називаються рівняннями в частинних похідних. На відміну від них рівняння, в яких шукана функція є функцією тільки від однієї незалежної змінної, називаються звичайними диференціальними рівняннями. У подальшому всюди будемо розглядати тільки звичайні диференціальні рівняння.
Найвищий порядок похідної, яка входить до складу диференціального рівняння, називається порядком цього рівняння. Рівняння
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
є відповідно рівняннями другого, третього і четвертого порядків. Рівняння n-го порядку завжди можна, переносячи всі члени у лівий бік, записати у вигляді:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4)
Тут F – деяка відома функція від своїх аргументів, яку будемо вважати завжди дійсною. Похідна n-го порядку обов’язково входить в рівняння. Якщо рівняння розв’язане відносно найвищої похідної, тобто має вигляд:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.5)
то кажемо, що воно задане в нормальній формі.

Диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення вигляду:
13 EMBED Equation.3 1415, (1.6)
де х – незалежна змінна (аргумент); 13 EMBED Equation.3 1415 – невідома функція аргументу х; 13 EMBED Equation.3 1415 – задана функція змінних 13 EMBED Equation.3 1415 Рівняння (1.6) не розв’язане відносно похідної.
Рівняння вигляду
13 EMBED Equation.3 1415, (1.7)
де f(x,y) – задана функція двох змінних, називається диференціальним рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно похідної.
Часто використовують симетричну форму запису диференціального рівняння першого порядку:
13 EMBED Equation.3 1415,
де P(x,y), Q(x,y) – задані функції змінних х і у.
Розв’язком диференціального рівняння (1.6) або (1.7) на інтервалі І називається неперервно диференційовна функція 13 EMBED Equation.3 1415, яка перетворює це рівняння в тотожність на І, тобто
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Наприклад, розв’язками диференціального рівняння
13 EMBED Equation.3 1415
є функції
13 EMBED Equation.3 1415
де С – довільна стала, причому інших розв’язків це рівняння не має.
Мати безліч розв’язків – характерна властивість диференціальних рівнянь. У цьому розумінні наведений приклад типовий. Тому, розв’язавши диференціальне рівняння, яке описує перебіг певного процесу, не можна одночасно знайти залежність між величинами, що характеризують цей процес. Щоб вибрати з нескінченної множини залежностей ту одну, яка притаманна саме цьому процесу, треба мати додаткову інформацію, наприклад знати його початковий стан. Без цієї додаткової умови задача недовизначена.
Процес знаходження розв’язку даного диференціального рівняння називається інтегруванням цього рівняння. Якщо при цьому вдається виразити весь розв’язок в елементарних функціях, то кажуть, що рівняння проінтегроване в елементарних функціях. Якщо рівняння не інтегрується в елементарних функціях, але всі його розв’язки виражаються через невизначені інтеграли від елементарних функцій, то кажуть, що рівняння проінтегроване в квадратурах.
Співвідношення 13 EMBED Equation.3 1415 називається інтегралом рівняння (1.4) або (1.5), якщо воно неявно задає розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415цього рівняння.

У багатьох задачах, які зводяться до диференціальних рівнянь першого порядку, потрібно знайти розв’язок, маючи задане значення функції при заданому значенні незалежної змінної. Така задача називається початковою задачею чи задачею Коші.
В загальному вигляді для рівняння першого порядку в нормальній формі (1.7) задача Коші ставиться так:
Потрібно знайти розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415 рівняння, яке задовольняє початкову умову (умову Коші)
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
·
Цю ж умову можна записати у вигляді одного співвідношення:
13 EMBED Equation.3 1415 чи 13 EMBED Equation.3 1415.
При цьому вважаємо, що права частина рівняння (7) визначена при х=х0, у=у0.
Якщо є потреба вказати в розв’язку задачі Коші (7) початкові дані х0, у0, то цей розв’язок записують у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415 (1.8)
Геометрично мова йде про знаходження інтегральної кривої, яка проходить через задану точку 13 EMBED Equation.3 1415.
Винятково велике значення для теорії диференціальних рівнянь має питання про існування розв’язку задачі Коші та про його єдиність. Будемо казати, що задача Коші
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
має єдиний розв’язок, якщо можна вказати такий окіл точки х0:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.9)
в якому визначено розв’язок (1.8) і не існує розв’язку 13 EMBED Equation.3 1415, визначеного в тому ж околі (1.9), значення якого не співпадають зі значеннями розв’язку (1.8) хоча б в одній точці околу (1.9), відмінній від точки х0. У протилежному випадку кажуть, що єдиність розв’язку задачі Коші порушена.
Наведемо достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. (1.10)
Теорема Пікара. Нехай функція 13 EMBED Equation.3 1415 неперервна в прямокутнику
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
і задовольняє умови Ліпшица по 13 EMBED Equation.3 1415 рівномірно відносно 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415 для всіх 13 EMBED Equation.3 1415 таких, що 13 EMBED Equation.3 1415 і всіх 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 таких, що 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Нехай 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді задача Коші (10) на проміжку 13 EMBED Equation.3 1415 має єдиний розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415.

Нехай D – деяка область на площині 13 EMBED Equation.3 1415, через кожну точку якої проходить одна і тільки одна інтегральна крива рівняння (1.7). Наприклад, можем вважати, що в околі кожної точки області D виконується умова теореми Пікара. Функція
13 EMBED Equation.3 1415 (1.11)
визначена в деякій області зміни змінних х і С і неперервно диференційовна відносно х, називається загальним розв’язком рівняння (7) в області D, якщо вона задовольняє дві умови:
рівняння (7) має розв’язки в області D відносно довільної сталої 13 EMBED Equation.3 1415
функція (11) є розв’язком рівняння (1.7) при всіх значеннях довільної сталої С, що задовольняють виразу 13 EMBED Equation.3 1415 якщо точка 13 EMBED Equation.3 1415 належить області D.
Знання загального розв’язку дає можливість розв’язати задачу Коші з будь-якими початковими даними х0, у0 із області D за рахунок вибору відповідного значення довільної сталої С. Для цього достатньо замінити у формулі загального розв’язку змінні х і у числами х0 і у0 ; розв’язавши одержане рівняння
13 EMBED Equation.3 1415
відносно С і підставити знайдене значення С=С0 в загальний розв’язок . Одержана функція
13 EMBED Equation.3 1415
і буде шуканим розв’язком, причому інших розв’язків немає.
Якщо у загальному розв’язку роль довільної сталої С відіграє початкове значення у0 шуканої функції у при деякому фіксованому значенні х0 незалежної змінної х, то такий запис загального розв’язку будемо називати загальним розв’язком у формі Коші.
Розв’язок, який утворюється підстановкою у формулу загального розв’язку конкретного (допустимого) числового значення довільної сталої називаємо частковим розв’язком.
Приклад 1. Розглянемо рівняння
13 EMBED Equation.3 1415.
Неважко переконатися, що функція
13 EMBED Equation.3 1415
є загальним розв’язком цього рівняння у всій площині 13 EMBED Equation.3 1415. Всякий розв’язок вигляду
13 EMBED Equation.3 1415
є частковим розв’язком. Зокрема, при 13 EMBED Equation.3 1415 одержуємо частковий розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415, в кожній точці якого порушується єдиність розв’язку задачі Коші, називається особливим розв’язком. Особливий розв’язок не може бути одержаний із формули загального розв’язку при конкретному числовому значенні довільної сталої С (проте зауважимо, що він може бути одержаний при С=С(х)).

Графік розв’язку 13 EMBED Equation.3 1415 називається інтегральною кривою диференціального рівняння. Проекція інтегральної кривої на вісь ординат називається фазовою кривою або траєкторією диференціального рівняння.
Через кожну точку 13 EMBED Equation.3 1415 області визначення рівняння (1.7), проведемо пряму, тангенс кута нахилу якої до осі абсцис дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415. Ця сім’я прямих називається полем напрямків рівняння (1.7) або полем напрямків функції 13 EMBED Equation.3 1415.
Інтегральна крива в кожній своїй точці дотикається до поля напрямків функції 13 EMBED Equation.3 1415 і навпаки – крива, яка в кожній своїй точці дотикається до напрямку, що є в цій точці, є інтегральною кривою.
Ізокліною називається крива, в кожній точці якої напрямок поля однаковий. Усі інтегральні криві, які перетинають дану ізокліну, утворюють з віссю абсцис один і той самий кут.
Приклад 2. За допомогою ізоклін побудувати наближено інтегральні криві рівняння 13 EMBED Equation.3 1415.
Зазначимо, що вісь абсцис є інтегральною кривою даного рівняння і що інтегральні криві розміщенні симетрично відносно осі абсцис та осі ординат. Останнє випливає з того, що дане рівняння не змінюється при заміні 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415. Тому досить дослідити поведінку інтегральних кривих в першому квадранті координатної площини.
Сім’я ізоклін визначається рівнянням
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тому для будь якого 13 EMBED Equation.3 1415 дотичні до інтегральних кривих даного рівняння, проведені в точках прямої 13 EMBED Equation.3 1415, утворюють з віссю абсцис кут, що дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415. Побудувавши кілька ізоклін і поле напрямків, будуємо наближено інтегральні криві рівняння.

Рівняння вигляду
13 EMBED Equation.3 1415 (1.12)
називається рівнянням з відокремлюваними змінними.
Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то функція 13 EMBED Equation.3 1415 є розв’язком рівняння (1.12). Розв’язки рівняння (1.12), вздовж яких 13 EMBED Equation.3 1415, задовольняють співвідношення
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема. Нехай функції 13 EMBED Equation.3 1415 i 13 EMBED Equation.3 1415 визначені і неперервно диференційовні в околах точок 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 відповідно, причому 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415рівняння (1.12) з початковою умовою 13 EMBED Equation.3 1415 існує в деякому околі точки 13 EMBED Equation.3 1415, єдиний і задовольняє співвідношення
13 EMBED Equation.3 1415
Рівняння виду 13 EMBED Equation.3 1415заміною 13 EMBED Equation.3 1415 зводиться до рівнянь з відокремлюваними змінними.
Приклад 3. Розв’язати рівняння
13 EMBED Equation.3 1415
Запишемо дане рівняння у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415.
Розділивши обидві частини цього рівняння на добуток 13 EMBED Equation.3 1415, отримаємо рівняння з відокремленими змінними
13 EMBED Equation.3 1415.
Інтегруючи це рівняння, послідовно знаходимо
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Звідси 13 EMBED Equation.3 1415.

Контрольні запитання
Сформулюйте задачу, що приводить до поняття диференціального рівняння.
Які рівняння називаються диференціальними (дифрівняннями)? Звичайними дифрівняннями? Дифрівняннями в частинних похідних?
Що називається порядком диференціального рівняння?
Що є нормальною формою дифрівняння?
Яке рівняння називається дифрівнянням першого порядку?
Що називається розв’язком диференціального рівняння?
Яка характерна особливість розв’язків дифрівнянь?
Що називається інтегралом диференціального рівняння? інтегральною кривою?
Сформулюйте задачу Коші для дифрівняння першого порядку. Яка її геометрична суть?
Сформулюйте теорему Пікара існування та єдиності розв’язку задачі Коші.
Який розв’язок називається загальним, частковим, особливим?
Які рівняння називаються дифрівняннями з відокремлюваними змінними? Як розв’язати такі рівняння?
















Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 18814231
    Размер файла: 274 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий