lekcher


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Введение Предметом курса является изучение общих вопросов теории моделирования, методов построения математических моделей и формального описания процессов и объектов, применения матема тических моделей для проведения вычислительных экспериментов и решения оптимизационных задач. 1. Основные определения теории подобия и моделирования. Варианты постановки задач моделирования. В широком смысле, моделирование ‬ замещение одного объекта друг им с целью получения информации о важнейших свойствах объекта оригинала с помощью объекта модели. Процесс моделирования основан на понятиях теории подобия. Подобие ‬ взаимно однозначное соответствие между двумя объектами, при котором функции перехода от па раметров, характеризующих один из объектов, к параметрам другого объекта известны, а мат ематические описани я этих объектов могут быть преобразованы в тождественные. Модель ‬ объект находящийся в отношении подобия к моделируемому объекту. Моделирование ‬ ис следование моделируемого объекта, базирующе е ся на его подобии модели и включающие построение, изучение модели и перенос полученных сведений на моделируемый объект. Два основных направления применения моделирования: 1)обучение 2) исследования, расширение теории и нахождение ответов на практические вопросы. Задачи обучения: 1. Применение моделирования для уяснения физических законов; 2. Рассмотрение действия новых разработок и установок; 3. Тренировки персонала действующих производственных объектов. Исследовате льские задачи: 1. Прямые задачи анализа ‬ исследуемая система задается параметрами своих элементов, параметрами исходного режима, структурой или уравнениями. Требуется определить реакцию системы на действующие силы или сигнал. 2.Обратная задача анализа ‬ по известной реакции системы требуется найти силы или сигналы, заставившие систему перейти к данному состоянию. 3.Задача синтеза. Необходимо найти такие параметры системы при которых процессы в системе будут иметь желательный по каким - либо соображениям харак тер. 4.Индуктивные задачи. Проверка гипотез, уточнение уравнений описывающих процессы в системе, выяснения свойств элементов системы. 2. Классификация моделей 1 ) Степень полноты модели: а) Пол ное подобие ‬ подобие протекания во времени и пространстве ос новных процессов, т.е. тех, которые для данной цели исследования, достаточно полно определяют рассматриваемые явления. б) Неполное - подобие протекание всех основных процессов подобных только частично (или во времени, или в пространстве). в) Приближенное п одобие допускается нарушение взаимно однозначного соответствия м/у моделью и объектом, или такое искажение процессов в модели котор ое в данной постановке задачи приемлемо и оценивается аналитически или экспериментально. 2 ) Модели могут быть: детерминиро ванными(без учета случайных возмущений параметр ов ) и стохастическими. 3 ) Модели могут быть : динамические ‬ описывающие поведение объекта во времени; статическ ие - описание объекта в фиксированный момент времени. 4 ) Дискретные модели - параметры объектов могут принимать значение из фиксированного набора состояний; непрерывные ‬ параметры системы могут принимать любое значение из заданного диапазона; дискретно ‬ непрерывные. 5 )Мысленное моделирование: - Наглядное: а )Гипотетическое (в основе лежит гипотеза , к ним прибегают когда недостаточно знаний); б )Аналоговое моделирование. Основывается на применении аналогий различного уровня. в )Макетирование - Символическое - основано на использовании искусственных логических объектов, которые замещают реальный объек т и выражают его свойств а определенной системой знаков: а )Знаковое моделирование. Основывается на использование условных обозначений для отдельных понятий и операций между ними. б )Языковое моделирование. В основе лежит тезаурус ‬ словарь освобожденный о т всех неоднозначностей. - Математическое моделирование ‬ процесс установления соответствующих заданному реальному объекту математическ их объект ов и их исследовани е . Классификация математического моделирования: а) Аналитическое моделирование ‬ процесс фун кционирования системы описывается в виде функций, соотношений или логических условий. Аналитические модели могут быть исследованы следующими способами: - Аналитический способ, т.е. получение в общем виде явной зависимости для искомых параметров. - Числен ный способ - да ет численный результат дл я конкретных начальных условий. - Качественный способ - получение свойств решения ( наличие разрывов функции, дифференцируемость и т.д. ) б) Имитационное моделирование - модел ь имитируюе т элементарные явления, при сох ранении их логической структуры и последовательности протекания во времени. в) Комбинированное моделирование. 6 ) Реальное моделирование заключается в исследовании характеристик на реальном объекте. а )Натурное моделирование: - производственный эксперимен т (реально работающие устройства); - комплексные и с пы тания (моделируются специальные условия функционирования) - научный эксперимент б ) Физическое моделирование - исследования проводят на установках, которые сохраняют природу физических явлений. - модел ирование в реальном времени; - моделирование в нереальном масштабе времени; - замороженное моделирование. 3. Этапы моделирования. Уровни моделирования. Требования, предъявляемые к моделям. Этапы моделирования А) Накопление фактов, описание реальных явлени й, путем проведения наблюдений и экспериментов. Б) Постановка задачи моделирования. В) Уяснение и постановка задачи на физическом уровне. Процесс схематизации и идеализации, т.е. выделение существенных особенностей объекта. Г) Перевод необходимых данных на язык мат ематических понятий и величин. Это самая трудная стадия процесса моделирования. Здесь необходимо опираться на фундаментальные физические законы. Д) Проверка адекватности и логической непротиворечивости модели. Адекватность ‬ достаточная полнота оп исаний явлений. Способ проверки логической непротиворечивости ‬ проверка физических размерностей. Все существенные данные из перечня определяющих вел и чин и параметров должны входить в математическую формулировку задачи. Е) Разработка методов решения. Решен ие задачи моделирования. Ж) Сравнение выводов моделирования с реальными фактами. Цель ‬ проверка адекватности модели. З) Уточнение модели Уровни моделирования Деление модели по иерархическим уровням происходит по степени детализации описываемых свойств и процессов протекания в объекте. 1) Микроуровень (использует мат модели описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах). К типичным параметрам исследовани я относятся эл. потенциаллы, давление, плотность. 2) Макроуровень (в качестве объектов мод елирования выделяют отдельные функионально законченные элементы). 3) Метауровень (на этом уровне, путем дальнейшего абстрагирования физических процессов, получ ают модели , описывающие информационные процессы). Требования к математическим моделям 1) Адекватност ь модели, т.е. отражаются заданные свойства с заданной точностью. 2) Точность модели, определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Чаще всего точность выражается погрешностью. Область значения парам етров модели, где ‬ предельно допустимая погрешность, называется область ю адекватности модели. 3) универсальность определяется числом и составом учитываемых в моделях внешних и выходных параметров. 4) Экономичность, характеризуется затрата ми вычислительных ресурсов для реализации модели 4. Два подхода к моделированию. Математические схемы описания объектов моделирования. Два подхода к моделированию 1) Классический: рассматривает объект моделирования путем перехода от частного к общему и синтезирует модель путем слияния ее компонентов разрабатываемы х отдельно. Взаимосвязь м/у отдельными частями модели рассматрива е тся как отражения связи м/у подсистемами объекта . Этапы построения модели: А) реальный объект разрабатывается на отдельн ые подсистемы, т.е. выбираются исходные данные и ставятся цели для нахождения этих подсистем. Б) По отдельной совокупности исходных с учетом целей формиру ю тся компонент ы будущей модели. В) Совокупность компонентов объединяется в модель Достоинства: прост ота и очевидность подхода. Недостатки: нет гарантии достижения общей цели моделирования. 2) Системный: Предлагает последовательный переход от общего к частному. В основе моделирования лежит общая цель: А) Формулировка целей моделирования . Цель может быть сформулирована качественно (обладает большой содержательностью) и количественно. В последнем случае возникает целевая функция, которая точно определяет наиболее существенные факторы, влияющие на достижение цели. На основе исходных данных и цели формулир уются требования к модели. В) На базе требований формиру ю тся ориентировочно некоторые подсистемы П и элементы будущей модели. Г) Выбор составляющих системы - это наиболее сложный этап. Наиболее важный этап ‬ этап синтеза, опр еделение структуры системы . Система - совокупность элементов и связ ей м/у ними. Структура системы - совокупность связ ей м/у элементами системы отражающ ая их взаимодействи е . При исследований структуры системы используется 2 способа: - Структурный - выявление составов выделенных элементов и связи м/у ними. - Функциональный, оцениваются функции которые выполня е т систем а , при этом строится функциональное описания системы, т.е. алгоритм поведения. Математические схемы описания моделирования. Объект может быть предоставлен в виде множества величин описывающих процесс функционирования. А) Входные воздействия на систему Б) Воздействия внешней среды В) Внутренние параметры системы Г) Выходные характеристики Процесс функционирования объекта описывается оператором Совокупность зависимостей вых. характеристик объекта от времени называется выходной траекторией. Параметры X , V и H являются независимыми, а Y ‬ зависимым и. Схемы описания модели: 1) непрерывно детерминированные схемы ‬ D ‬ схемы, используется для описания модел ей систем функционир ующих непрерывно во времени без учета случайных воздействий . Основной математический аппарат ‬ системы дифференциальных или инте гральных уравнений . Пример ‬ объекты, описываемые аппаратом классической механики. 2) Дискретно детерминированные схемы - F - схемы, описывают систему с дискретными вх. и вых. параметрами, изм еняющую свое внутренние состояние в допустимые моменты времени. Осн овной математический аппарат ‬ теория конечных автоматов. Пример ‬ модели цифровых объектов (часы, калькулятор, ЭВМ). 3) Дискр етно - сто хастические схемы ‬ P - схемы, описывают дискретные объекты на состояния которых влияет их предыдущее состояния. Основной мат ематический аппарат ‬ теория конечных автоматов. Пример ‬ ( вероятностное описание ЭВМ, работающ ей под управлением программ ы ) . 4) Непрерывно - стоха с тические схемы ‬ Q - схемы . Примером математического аппарата может служить теория систем массового обслуживания. Пример ‬ модель сборочного конвейера большого предприятия. 5. Составление моделей экспериментально - статистическим путем. Постановка задачи планирования эксперимента. Сущность пассивного и активного эксперимента. Принципы планирования В основе эксперимен тально - статистических моделей лежат не глубокие теоретические знания об объекте моделирования, а большой объем числовых экспериментальных данных . К таким моделям прибегаю в тех случаях, когда нет четкого и полного представления о физических процессах, прот екающих в объекте моделирования, или в тех случаях, когда построение аналитических моделей нецелесообразно ввиду их очевидной сложности. Эксперимент ‬ это система операций, воздействий и(или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте . Опы т ‬ элементарная часть эксперимента ‬ воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов . Любому эксперименту предшествует стадия планирования. Теория планирования эксперимента д а е т ответы на следующие вопросы: 1) Как организовать эксперимент , чтобы наилучшим образом решить поставленную задачу (при минимальном количестве элементарных наблюдений получить наиболее качественные оценки параметров); 2) Как следует обрабатывать результ аты, чтобы получить максимальное количество информации; 3) Какие обоснованные выводы следует сделать об объекте по результатам эксперимента. Принципы планирования: а) отказ от полного перебора всех возможных состояний объекта; б) постепенное усложнение ст руктуры математической модели; в) сопоставление результатов эксперимента с величиной случайных помех; г) рандомизация опытов; д) оптимальное планирование экспермента Объект описывается при помощи следующих величин: , X ‬ контрол ируемые и управляемы параметры ; Z ‬ контролируемы но неуправляемые параметры; E ‬ неконтролируемые и неуправляемые параметры (помеха, ошибка эксперимента); Y ‬ выходные параметры (отклики). X , Z ‬ факторы, Y ‬ отклик. Изучение функционирова ния объекта осн овывается на анализе внешних воздействий X , Z , E и соотв. им отклика системы Y . Связь м/у X и Y представляют в виде функции отклика . Поиск модели осуществляется путем активного или пассивного эксперимента. x 0 x 1 … x n z 0 , z 1 ,…,z n Y E При пассивном наблюдении экспериментатор получает ин формацию в условиях нормального фун кционирующе го воздействия. Исследуются влияния параметров Z . При активном эксперименте осуществляется искусственное воздействие на объект по заранее спланированной программе. Исследуются влияния параметров X . 6. Регресси онный анализ. Предпосылки проведения регрессионного анализа. Корреляционный анализ. Регрессионный анализ проводится с целью получения по экспериментальным данным регрессионных экспериментальных факторных моделей. Три этапа: 1) статистический анализ резуль татов эксперимента; 2) получение коэффициентов регрессионной модели; 3) оценка адекватности и работоспособности полученной модели. Поскольку параметры модели определяются по результатам ограниченного количества опытов, то получаемые значения являются оценками истинных коэффициентов . Факторную модель можно представить в виде: . Чаще встречаются модели вида: . Результаты эксперимента представимы в форме: , где ε ‬ аддитивная помеха случайного характера с нормальным законом распределения. Функция представима в виде: , где β j ‬ j - й элемент вектора искомых коэффициентов уравнения регрессии, - j - я базисная функция. В качестве базисных функций переменные прос тейших полиномов, системы ортогональных полиномов, тригонометрические функции. Наиболее часто используют простейшие полиномы первой и второй степени. Если в уравнение регрессии входят только линейные базисные функции, его называют уравнением линейной регре ссии: y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 . если содержит полиномы второй и более высоких степеней ‬ нелинейной регрессией: y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 1 x 2 + b 4 x 1 2 + b 5 x 2 2 . Линейная регрессия может содержать эффекты взаимодействия и представлять собой нелинейную модель: y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 1 x 2 . Предпосылки регрессионного анализа: 1. Аддитивная помеха ε ‬ случайная нормально распределенная величина с нулевым матожиданием и постоянной дисперсией. 2. Интенсивность ошибки определения Y не изменяется при изменении уровня фа кторов в процессе эксперимента. 3. Значения факторов в активном эксперименте ‬ неслучайные величины. 4. Значения помехи ε в различных точках опыта некоррелированы. 5. Вектор - столбцы значений базисных функций должны быть линейно независимы. Это необходимо для получения раздельных оценок всех коэффициентов регрессии. 7. Оценка параметров регрессионной модели Исходными данными являются значения факторов и функции отклика Y : ; , где ‬ вектор - строка значени й факторов в i - ом опыте; X ij ‬ значение j - го фактора в i - м опыте; n - количество факторов; N ‬ количество опытов; y i ‬ значение функции Y отклика в i - ом опыте. Значения базисных функций во всех опытах: , где ‬ значение k - й базисной функции в i - м опыте. Используя эту информацию необходимо найти оценки коэффициентов регрессии: . Общий вид уравнения регрессии: . В связи с наличием помехи значение функции отклика в i - м опыте будет отличаться от : , (*) где ε i ‬ невязка. Невязка характеризует отклонение значений функции отклика в опытах от получаемых с помощью модели. Возникает по двум причинам: из - за ошибки (помехи) эксперимента и из - за п риближенности самой модели. Если модель пригодна, то невязка определяется только ошибкой эксперимента, Тогда для нахождения коэффициентов невязку нужно минимизировать. Для этого используется метод наименьших квадратов. Составляется функция ‬ сумма квадрато в невязок, и осуществляется ее минимизация: . После подстановки значения ε i из (*) и приравнивания к нулю частных производных этого выражения по всем коэффициентам, после преобразований, получаем систему уравнений: Коэффициенты при неизвестн ых являются элементами матрицы Ф  F T F , Ф ‬ информационная матрица Фишера. Систему уравнений можно записать в матричной форме: . Система уравнений имеет единственное решение, если определитель матрицы Ф не равен нулю. Выполнение пятой предпос ылки регрессионного анализа исключает вырожденность матрицы. Полученные оценки коэффициентов уравнения регрессии обладают следующими свойствами: 1) M [ b j ] = β j , т.е. оценки несмещенные; 2) Дисперсии оценок: σ 2 bj = σ 2 ε C jj , где C jj ‬ элементы матрицы Ф - 1 ; σ 2 ε ‬ дисперсия случайной помехи. ПРИМЕРЫ!!! 8 Построение модели на основе пассивного эксперимента. Расчет доверительных интервалов для коэффициентов уравнения регрессии. Проверка адекватности регрессионной модели При обработке результатов пассивного экспер имента проводится проверка некоторых постулатов регрессионного анализа путем проведения корреляционн ого анализ а результатов статистических испытаний. Рассчитываются коэффициенты парной корреляции: , где x iu , x ju - значения переменных x i и x j в u - м опыте; - выборочные средние переменных; S xi , S xj - среднеквадратичные отклонения. Коэффициенты корреляции рассчитываются для всех пар факторов и факторов и выходных параметров. Близость коэффициента корреляции к единице или минус единице обозначает сильную связь между двумя переменными и, наоборот, близость к нулю обозначает отсутствие статистически значимой связи. Поэтому если коэффициент корреляции между выходным параметром и фактором близок к нулю, то данный фактор мо жно исключить из рассмотрения в модели. С другой стороны, наличие сильной связи между двумя факторами приводит к невозможности разделить их влияние в регрессионной модели. Поэтому один из таких факторов так же исключается из модели. После определения коэфф ициентов регрессионной модели при помощи метода наименьших квадратов рассчитываются остаточные дисперсии: . Из всех моделей выбирается та, для которой остаточная дисперсия минимальна. Для каждого коэффициента рассчитывается его диспер сия, как , где С jj - диагональные элементы матрицы С  Ф - 1 . Проверяется значимость коэффициентов по критерию Стьюдента. Для этого рассчитывается значение критерия , Полученный критерий сравнивается с табличным зн ачением критерия Стьюдента t, выбираемого по уровню значимости α  1 - p и количеству степеней свободы ν  N. Если t j > t, то данный коэффициент значимо отличается от нуля. В противном случае коэффициент незначимый и может быть исключен из модели. Для значим ых коэффициентов определяются доверительные интервалы, величина которых определяется по формуле . На последнем этапе определяется адекватность полученной модели по критерию Фишера. Рассчитывается дисперсия среднего выходного параметра , где - выборочное среднее значений выходного параметра. Вычисляется наблюдаемое значение критерия Фишера: . Если при этом F набл F ;N - 1;N - nb , где 1 - - доверительная вероятность; F ;N - 1;N - nb - к вантиль F - распределения со степенями 1 = N - 1 и 2 = N - n b ; n b - количество значимых коэффициентов регрессии; то уравнение регрессии адекватно. 9 Планирование активного эксперимента. Построение плана полного факторного эксперимента План эксперимента ‬ совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Точка плана ‬ упорядоченная совокупность численных значений факторов, соответствующая условиям проведения опыта: . Совокупность отличающихся векторов, число которых N ‬ спектр плана. Фиксированное значение фактора ‬ уровень. Минимальный и максимальный уровни факторов образуют область планирования. Точку с координатами Называют центром эксперимента. Интервал варьирования: Факторы нормиру ют, а их уровни кодируют. Верхний уровень обозначают +1, а нижний - 1: Спектр плана полного факторного эксперимента ПФЭ содержит все возможные комбинации значений факторов на всех уровнях их изменений. Число точек спектра плана: , где U ‬ чи сло уровней варьирования; n ‬ количество факторов. Рассматривают линейные регрессии вида: Для построения линейной модели достаточно варьировать факторы на двух уровнях. Тогда число точек спектра плана: Такой план обозначают ПФЭ2 n . Для составления спект ра плана используют следующее правило: в первой строке все факторы - 1, в первом столбце знаки единиц меняются поочереди, во втором через две, в третьем через четыре, в четвертом через 8 и т.д. Например матрица спектра плана для n = 3: N = 2 3 = 8. В матр ицу планирования входят: столбец фиктивного фактора при b 0 (базисная функция f 0 = 1) , матрица спектра плана, столбцы, соответствующие всем остальным базисным функциям уравнения , и столбец результатов эксперимента. Для трехфакторной модели: i f 0 = 1 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 y 1 +1 - 1 - 1 - 1 +1 +1 +1 - 1 2 +1 +1 - 1 - 1 - 1 - 1 +1 +1 3 +1 - 1 +1 - 1 - 1 +1 - 1 +1 4 +1 +1 +1 - 1 +1 - 1 - 1 - 1 5 +1 - 1 - 1 +1 +1 - 1 - 1 +1 6 +1 +1 - 1 +1 - 1 +1 - 1 - 1 7 +1 - 1 +1 +1 - 1 - 1 +1 - 1 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 Свойства матрицы планирования: 1. Свойство симметричности ‬ алгебраическая сумма всех столбцов кроме f 0 равна 0. 2. Свойство ортогональности ‬ сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равна 0. 3. Свойство нормировки ‬ сумма квадратов эле ментов каждого столбца равна чслу точек спектра плана. 10 Планирование активного эксперимента. Построение плана дробного факторного эксперимента Если существует априорная информация об объекте моделирования, то часто на ее основе можно исключить влияние взаимодействия факторов, т.е. уменьшить кол - во коэфф ициентов . В этом случае план ПФЭ оказывается избыточным, появляются возможность сокращения числа опытов, при обязательном соблюдении соотношения , N b ‬ количество коэффициентов. Для построения таких моделей используют дробный факторный эксп еримент типа . План д робного факторного эксперимента называют реплик ой . ДФЭ - полуреплика. ДФЭ - четвертьреплика и т.д. Процедура пос троения плана дробного факторного эксп еримента делится на этапы: 1) Выбор структуры ур авнения регрессии и определение степени дробности. 2) Выбор ведущих факторов и построение для них матрицы спектра плана. Число k ведущих факторов определяется как k = n - p . 3) Построение полного спектра плана ДФЭ . Часть этой матрицы составляет спектр плана для ведущих факторов. Во 2 - ю часть должны войти столбцы матрицы для остальных факторов. Столбцы матрицы соответсвующие оставшимся факторам образуют ся путем перемножения столбцов ведущих факторов. Используются генерирующие соотношения. Генерирующее соотношение - алг ебраическое выражение , устанавл ивающее связь между одним из факторов и произведением какой либо комбинации ведущих факторов. x k + i = x j x l x m … Для каждого столбца задаѐтся своѐ генерир ующее соотнош ение. Его необходимо составлять таким образом чтобы в матрице не было одинаковых столбцов. 4) Проверка пригодности полученного спектра плана. Для этого необходимо проверить , соблюдается ли свойство ортогональности спектра плана. Если св - во не выполняется, то : - выбираются иные генерирующие соотношения; - изменяется набор ведущих факторов. - уменьшается степень дробности плана. Пример… 11 Анализ результатов активного эксперимента. Расчет коэффициентов линейной факторной модели. Определение значимости и доверительных интервалов коэффициентов. Определение адекватности линейной факторной модели С целью уменьшения влияния случайных помех, в каждой точке плана проводится от двух до пяти параллельных опытов. Далее определяется выборочное среднее результатов в каждой точке плана: , где m - количество параллельных опытов в каждой точке плана. Рассчитывается дисперсия воспроизводимости каждого опыта: Выполняется прове рка однородности дисперсий по критериям Кохрена или Фишера. Если дисперсии воспроизводимости опытов однородны рассчитывается дисперсия воспроизводимости эксперимента: . где N - количество точек плана. Далее определяются значения коэфф ициентов. Любой коэффициент уравнения регрессии b j определяется по формуле , Определяется значимость коэффициентов по критерию Стьюдента, для чего определяется дисперсия оценок коэффициентов регрессии: . Далее ра ссчитывается критерий Стьюдента для каждого коэффициента . Рассчитанный критерий сравнивается с табличным t α , ν , выбираемым по уровню значимости α p - 1 и числу степеней свободы νN(m - 1). Те коэффициенты, для которых t j t α , ν признаютс я незначимыми и исключаются из модели. Далее проверяется адекватность полученного уравнения по критерию Фишера. Рассчитывается дисперсия адекватности , где N b ‬ количество значимых коэффициентов регрессии. Рассчитывается значение крит ерия . Полученное значение сравнивается с табличным значением критерия Фишера F α , ν 1, ν 2 , определяемым в зависимости от уровня значимости α  1 - p и числа степеней свободы ν 1 и ν 2, с которыми определялись дисперсии S ад 2 и S y 2 : ν 1 = N - N b ; ν 2 = N(m - 1). Если F< F α , ν 1, ν 2 , то полученное уравнение регрессии адекватно. 12 Статистический метод исследования моделей (метод Монте - Карло). Способы получения случайных чисел. Метод статических испытаний (Монте - Карло) представляет собой метод получ ения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах происходящих в моделируемой системе. Сущность метода - в построении некоторого моделируемого алгоритма для процессов функционирования исследуемой системы, имитирующем поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных взаимодействий, а также реализация этого алгоритма на ЭВМ. Выделяют 2 области применения метода Монте - Карло: 1) Для моделирования 2) Для решения детерминированных задач. Численный эксперимент по методу Монте - Карло проводится в следующей последовательности: - генерируется N чисел с соответствующим законом распределения для каждого стохастического параметра модели; - вычисляется N значений выходного параметра модели в зависимости от значений случайных параметров в M точках на всем диапазоне варьирования входного параметра. Эта выборка мощностью N·M и будет результатом проведения численного эксперимента. В результате статического моделирования появляется серия новых значений, статистическая обработка которых позволяет получить сведе ния о реальном объекте. Способы получения случайных чисел. А ппаратный , случайное число вырабатываются с помощью датчика случ. чисел. Основан на использовании шумовых процессов электронных приборов. Генератор шума Г Ш вырабатывает шумовой процесс. Шумово й сигнал подается на пороговое устройство котор ое вырабатывает импульсы при превышении шумовым сигналом некоторого порога. Импульс поступает на счетчик СЧ, где подсчитывается за интервал времени заданным генератором. Подсчитанное количество импульсов и б удет случайным числом. Достоинства: 1) Запас чисел неограничен: 2) не использ. ресурсы ЭВМ 3) Малое время генерации. Недостатки: 1) требуется периодическая проверка качества последовательности случайных чисел; 2) нельзя воспроизвести одинаковые последоват ельности; 3) необходимо специальное устройство. Табличный реализуется путем заполнения памяти ЭВМ некоторой проверенной последовательностью с.ч. Д. 1) Требуется лишь однократная проверка качественности последовательности 2) Можно вос производить одинаков у ю последовательность. Н. 1) Запас чисел ограничен 2) таблица занимает большой объѐм памяти 3) большой объѐм выборки с.ч. Алгоритмический основан на формировании с.ч. в ЭВМ по некоторому алгоритму. Д. 1)Возможность воспроизведения одинаковой последовательнос тей; 2)Однократная проверка качества последовательности 3) малые затраты ресурсов ЭВМ; 4) Не требует внешних устройств Н. 1) Запас чисел ограничен периодом последовательности. Случайные числа с заданным з - ном распределения получают на основе некоторого исх одного распределения, которое должно обладать след. свойствами: - обеспечивать простоту в получении последовательности чисел; - обеспечить преобразование в последовательность чисел с заданным з - ном распределения. Таким требованиям удовлетворяет последователь ность чисел с равномерным з - ном распределения. На практике легче получить с параметрами Из дискретности (конечного числа разрядов) ЭВМ на практике можно получить т олько квазеравномерное распределение, но т.к. в современных ЭВМ количество разрядов велико, то получается что хар - ки квазеравномерного распределения близки к хар - кам равномерного. Для применения на ЭВМ используют алгоритм вида: 13. Получение последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения плотности вероятностей. При имитационном моделировании для учета случайных факторов, необходимо получать последовательность случайных чисел с заданным запасом распределения. Масштабирование Если необходимо получить последов ательность с.ч. с равномерным за к оно м распределения в диапазоне [ a ; b ] , то , где - с.ч. из последовательности с равномерным з - н ом распределения [0;1] . Если необх одимо получить последовательность с.ч. с нормальным законом распределения с матожиданием М и дисперсией σ , то , где - с.ч. из последовательности с нормальным з - ном распределения с нулевым матожиданием и единичн ой дисперсией . Преобразование закона распределения Если с.в. имеет плотность распределения , то распределение с.в. , Является равномерным в диапазоне Ч тобы получить принадлежащее последовательности с распределением , необходимо решить интегральное уравнение. , где - равномерно распределенная случайная величина с распределением [0;1] Для нормального за кона получены следующие формулы пересчета : где x i , x i +1 ‬ числа из последовательности с.ч. с равномерным распределением в диапазоне [0,1] y i ‬ с.ч. с нормальным законом распределения с М  0 и σ = 1. Приближе нный универсальный способ получения с.ч. на основе кусочной аппроксимации ф ункции ии плотности вероятности . Разбиваем область наибольшей вероятности x 0 - x n на n частей так, чтобы вероятность попадания в каждый подинтервал была одинакова. Величина подинтервала: На каждом подинтервале исходная функция заменяется функцией равномерного закона распределения. Алгоритм получения с.ч: 1) генерируется с.ч. равномерно распределенное в интервале [0;1] 2) по этому с.ч . выбирается номер интервала 3) генерируется с.ч. равномерно распределенное в интервале [0;1] 4) x i масштабируется в выбранный подинтервал ‬ с.ч. приближенно распределенное по требуемому з - ну. 14 Сущность оптимизации. Параметры оп тимизации. Критерий оптимизации Целевая функция. Оптимизация закл ючается в нахождении таких параметров объекта или условий его ф ункционирования , при которых поведение объекта оптимально в соответствии с выбранными критериями. Для оценки достижения оптим ума, прежде всего выбираются критерии оптимизации. Это некоторая численная хар актеристи ка исследуемого объекта. На основании этого критерия строится целевая ф ункция (ф ункция качества). Задача параметрической оптимизации заключается в поиске оптимальных па раметров , при которых целевая функция достигает экстремальных значений. Целевая функция может содержать множество параметров часть из которых являются управляемыми. Этими параметрами можно варьировать для поиска их оптимального значения. Остальные параметр ы не подлежат оптимизации. Управляющие параметры и соотв. ЦФ могут быть как непрерывные так и дискретные. Целевая функция может быть непрерывной, разрывной, возрастающей или убывающей, унимодальной (один экстремум), многоэкстремальной. Экстремумы могут быт ь локальными и глобальными. F(x) x x 0 x n x k x k+1 - окрестностью точки наз. некоторая область точки, которая находится на расстоянии от не превышающей заданное число Если экстремум целев ой функции отыскивается в неограниченной области, его наз ывют безусловным экстремумом, а методы его поиска - безусловной оптимизацией. Задачи моделирования тех. объектов всегда имеют ограничения делающие задачу оптимизации условной. Виды Ограничений: 1) пр ямые - накладываются непосредственно на управляющие параметры 2) Функциональные - опис ываются функция ми вида При решении задач условной оптимизации находиться экстремум целевой ф - и. Классификация методов оптим изации. 1) Аналитические методы (аналитический поиск экстремума, метод множителей Лагранжа, вариационные методы) 2) М етоды мат. программирования : а ) Линейное - оптимизация моделей с ЦФ и ограничениями в виде линейной ф - ии. б )Нелинейное программирование - и спользуется для оптимизации моделей с нелин. целевой ф - ией . 3) Методы поисковой оптимизации ‬ для безусловной оптимизации сложных целевых функций. 4 ) Методы динамического программирования - использ для оптимизации многостадийных процессов. Различают 2 стад ии оптимизации: а) Статическое - реализация оптимального, стационарного режима работы б) Динамическое - создание и реализация оптимального управления. 15. Методы оптимизации. Аналитический метод поиска экстремума. Метод множителей Лагранжа Рассмотрим од нопараметровую оптимизацию. В классическом подходе необходимыми условиями локального экстремума явл яется Это может быть как точка экстремума так и точка перегиба (седловая точка в случае многопараметровой оптимизации). Рассмотрим до статочные условия существования экстремума: Пусть в точке x * первые ( m - 1) производных обращаются в 0. Тогда: 1) если m ‬ нечетное, то x * - точка перегиба. 2) если m ‬ четное, то x * - точка локального экстремума. При чем, если эта производная положительна, то это точка локального минимума, а если отрицательна, то локального максимума. При рассмотрении задачи многопараметровой оптимизации, необходимым условием будет равенство 0 градиента функции в точке. Дальнейший анализ требует привлечения сложного математи ческого аппарата. Метод множителей ЛАГРАНЖА применяется для нахождения оптимальных значений параметра , если на наложен ы ограничени я в виде равенств. В этом случае задача оптимизации ставится так: необходимо найти оптимальные параметры модели если ЦФ зада на в виде и заданы ограничения в вида . Для решения этой задачи составляется ф - я Лагранжа , далее наход. частные производные по всем параметрам оптимизации и множител ям ЛАГРАНЖА. Эти час тные производные приравниваются к 0 и составляется система из уравнений. Решение этой сист емы дает нам стационарную точку , которая далее исследуется классическим методом. 1 6 . Поисковая оптимизация. Общий алгоритм поисковой оптимизац ии. Классификация методов поисковой оптимизации. В технических задачах целевые функции могут иметь достаточно сложное выражение, а часто представляют собой алгоритмы. Для решения таких задач, связанных с поиском экстремума многопараметровой ЦФ , используют поисковую оптимизацию . Сущность ее заключается в том, что поиск точки экстремума ЦФ осуществляется последовательными шагами, ведущими от исходной точки , через некоторые промежуточные отображения точки в заданную - окрестность точки экстремума Последовательность отображаемых точек соединенных отрезками прямых наз. траекторией поиска. Переход точки в представляет собой один шаг поиска обеспеч иваемый алгоритмом оптимизации. На каждом шаге производиться решени е модел и с вычислением значения вых. параметра, который формирует целевую ф - ю. Общий алгор итм поисковой оптимизаций. 1)задан ие параметров алгоритма 2) выбор исходной точки и расчѐт целевой функции в этой точке 3) определение направления движения в пространстве управляемых параметров 4) Переход из точки в - шаг поиска. 5) Вычисление ЦФ в новой точке 6) Оценка успеха поиска: сравнение значений и 7) Изменение параметров алгоритма 6) Проверка условий окончания поиска. Если экс тремум не найден, то переход к шагу 3. Методы поиск овой оптимизации Большинство методов предназначено для поиска локальных экстремумов без учета ограничений. Поэтому важное значение приобретает выбор начальной точки поиска Ограниче ния могут быть учтены путем ввода ©штрафных функцийª. Локальные методы безусловной оптимизации делятся на: 1) Методы нулевого порядка, в них не используется информация о производных ЦФ. (Методы одномерного поиска: деления отрезка пополам , золотого сечения ; Методы многомерного поиска - покоординатного спуска; случайного поиска) 2) Методы первого порядка , используется значение ЦФ и первых частных производных по параметрам ( методы градиента; наискорейшего спуска и т.д.) 3) Методы второго порядка, используют зн ачение ЦФ и первых и вторых частных производных (Метод Ньютона) 17 М етод покоординатного спуска. Методы случайного поиска . М етод покоординатного спуска Алгоритм минимизации : 1) Выбирается начальная точка 2) Для первого параметра x 1 выбирается направление для которого 3) Задаем след значение параметра и в зависимости от выбранного направления. 4) Повторяем шаг 3 до тех пор, пока происходит улучшение целевой функци и, т.е. 5) Повторяем шаги 2, 3, 4 для каждого управляемого параметра. 5) Если н и по одному из параметров не удается выполнить оптимизацию с шагом h , то уменьшаем шаг 6) Условие окончания поиска Метод прост в реализации, может применятся к недифференцируемым целевым функциям, но достаточной медленный. Чтобы выполнить одновременное улучшение по нескольким параметрам, используют метод случайного поиска. Сущность его в том, что направление д вижения выбирается с использованием случайного единичного вектора , компоненты которого являются значениями равномерно распределенной случайной величины в интервале [ - 1,1] . Размерность вектора равна количеству управляемых параметров. Определен ие вектора выполняется на каждом шаге оптимизации. Новая точка поиска определяется : . Выбирается тот случайный вектор, который соответствует улучшению целевой функции, т.е. . Количество неудачных попыток ог раничивается числом L . Иногда также предусматривается уменьшение шага поиска. 18 Метод градиента. Метод наискорейшего спуска Метод градиента В любой точке ЦФ мы можем найти градиент Он направлен в сторону наискорейшего увеличения целевой функции. Движение по траектории поиска осуществляется в соответствии с выражением При минимизации ЦФ единичный вектор должен иметь направление противоположное градиенту. В случае поиска максимального Ц Ф направления градиента и вектора совпадает . Алгоритм: 1) в каждой точке поиска определяется градиент ЦФ 2) По градиенту определяется единичный вектор 3) Ра c считывается след. точка траектории поиска 4) Если , то шаг поиска верен и выполняется поиск след. точки начиная с шага один. Если условие не выполняется, то . Рассчитывается новый шаг поиска, где , и по новой рассч итывается точка поиска (шаг 3) 5)Условие окончания поиска и Метод наискорейшего спуска Этот метод относ. к градиентным методам. Отличие от метода градиента состоит в том, что величина шага не является парамет ром алгоритма, а рассчитывается путем одномерной минимизацией ЦФ вдоль направления градиента. В результате вычисление градиента происходит реже особенно вдали от точки оптимума. 19 Методы математического программирования. Задача линейного программирования . Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Для решения задач условной оптимизации часто используют методы математического программирования. Эти методы позволяют строить оптимальные алгоритмы поиска оптимального решения. В случае, ес ли ЦФ - линейная и в задаче оптимизации введены ограничения в виде линейных равенств, то такая задача представляет собой задачу линейного программирования. К типичным задачам линейного программирование относят 1) задачи изготовления различных видов прод укции в условиях ограничения на сырьѐ 2) Задачи оптимального использования оборудования (получение максимального выпуска различных изделий, при использовании однотипного оборудования в производстве) 3) Транспортная задача (необходимо обеспечить перевозку г рузов между пунктами назначения при минимальных затратах на перевозку) Классически формулируется следующим образом: Дана система m линейно независимых уравнений (система ограничений): m n Требуется найти неотрицательные значения переменных , которые удовлетворяют системе ограничений и обращают в минимум целевую функцию Задача с ограничениями в виде неравенств приводится к классическому виду путем введения дополнительных переменных. Базисом называется набор из любых m переменных, таких, что определитель, составленный из коэффициентов при этих переменных не равен нулю. Эти переменные называются базисные ‬ остальные ‬ свободными. Если приравнять свободные переменные к нулю и решить полученную систему, то получится базисное решение. Если это реш ение удовлетворяет всем ограничениям, то оно называется допустимым базисным решением. Доказано, что решение задачи линейного программирования лежит среди допустимых базисных решений. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования (пример) Пусть имеется система ограничений Требуется найти неотрицательные x i , удовлетворяющие ограничениям и обращающие в минимум целевую функцию Перейдем к каноническому виду, введя дополнительные переменные: Выберем переменные x 3 , x 4 , x 5 в качестве базисн ых. Выразим их через свободные: Изобразим на координатной плоскости ( x 1 , x 2 ) полуплоскости, соответствующие неотрицательным значениям базисных переменных. Многоугольник 0 abcd ‬ область допустимых значений, всегда выпуклая. Каждая вершина ‬ допустимое б азисное решение. Очевидно, что решение будет лежать на какой - либо из вершин, т.е. среди допустимых базисных решений. Список литературы 1 Тарасик, В.П . Математическое моделирование технич е ских систем: Учебник для вузов. ‬ Мн.:ДизайнПРО, 1997. ‬ 640 с. 2 Сове тов, Б.Я. Моделирование систем / Б.Я.Советов; С.А.Яковлев. ‬ М.: Высшая школа, 1985. ‬ 271 с. 3 Веников, В.А. Теория подобия и моделирования. ‬ М.: Высшая шк о ла, 1976. ‬ 479 с. 4 Краснощеков, П.С. Принципы построения моделей / П.С.Краснощеков, А.А.Петров. ‬ М.: Изд - во МГУ, 1983. ‬ 264 с. 5 Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики: Учеб. Пособие для вузов. ‬ М.: Энергия, 1980. ‬ 424 с., ил.

Приложенные файлы

  • pdf 18814232
    Размер файла: 652 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий