Lektsia 2


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
1 Лекция 2. Системы линейных уравнений 2.1. Основные понятия Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида { ଵଵ ଵ ଵଶ ଶ ଵ ଵ ଶଵ ଵ ଶଶ ଶ ଶ ଶ ଵ ଵ ଶ ଶ (2.1) где и ( i =1,…, m ; b =1,…, n ) – некоторые известные числа, а ଵ ଶ неизвестные. В обозначении коэффициентов первый индекс обозначает номер уравнения, а второй номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Коэффициенты при неизвестных записывают в виде матрицы ( ଵଵ ଵଶ ଶଵ ଶଶ ଵ ଶ ଵ ଶ ) и называют матрицей системы . Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называют сво бодными членами. Если к основной матрице добавить столбец свободных членов, то получится расширенная матрица системы ( ଵଵ ଵଶ ଶଵ ଶଶ ଵ ଶ ଵ ଶ | ଵ ଶ ) . Ведем матрицу - столбец переменных и матрицу - столбец свободных членов . Так как число столбцов матрицы системы равно числу строк матрицы переменных , то их можно перемножить есть матрица - столбец. Элементами полученной ма трицы являются левые части системы (2.1). На основании определения равенства матриц систему (2.1) можно записать в матричном виде: 2 . (2.2) Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в тождество после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n . Система называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение и несовмест ной в противном случае. Решить систему, означает найти ее решение, либо показать, что она несовместна. 2.2. Методы решения систем 2.2.1.Метод Крамера Рассмотрим систему линейных уравнений (2.1) при условии, что число уравнений равно числу неизвестных (2 . 3 ) Определитель называется определителем системы . Составим ещё определители следующим образом͗ заменим в определителе последовательно 1, 2 и так далее столбцы столбцом свободных членов : , , , . Теорема 1 (правило Крамера). Если͗ 1. определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём … , 3 2. определитель системы равен нулю и все , то система либо имеет бесконечное множество решений, 3. определитель системы равен нулю и хотя бы один , то система не имеет решений, т.е. несовместна Пример 1. Решить систему уравнений Итак, и система имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера х =1, у =2, z =3. 2,3. Метод Гаусса Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Рассмотрим расширенную матрицу системы͗ и затем приведем её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований. Приме р 2 . Решить системы уравнений методом Гаусса. 4 Вернувшись к системе уравнений, будем иметь 2.4. Матричный метод Пусть определитель квадратной матрицы отличен от нуля | A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение (2.2 ) решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A - 1 , обратную матрице A : . Поскольку A - 1 A = E и E ∙ X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A - 1 B . (2.4 ) Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых: 1. число уравнений совпадает с числом неизвестных, 2. определитель матрицы системы отличен от нуля. Пример 3 . Решить системы уравнений. 5 Итак, х 1 =4, х 2 =3, х 3 =5. 3.2. Системы линейных однородных уравнений Остановимся подробнее на решении однородных систем линейных алгебраических уравнений, которые записываются в виде Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое, решение ( 0;0;…;0), которое называют тривиальным решением. Если в однородной системе (1) m = n , а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю. Теорема 1. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогд а, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, то есть при r ( A ) n . Пример 4 . Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений Решение. Однородная система всегда совместна, так как имеет хотя бы одно, нулевое, решение. Выясним, система имеет единственное (нулевое) решение или множество. Определитель системы Поэтому по методу Крамера решение единственное и оно по необходимости нулевое. Таким образом: ଵ ଶ ଷ .

Приложенные файлы

  • pdf 18814298
    Размер файла: 880 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий