Lek 3

Лекция 3. Z-преобразование
Преобразование Лапласа.
Z-преобразование.
Основные свойства Z-преобразования.
Обратное Z-преобразование. Основные способы вычисления.
Связь комплексных p- и z-плоскостей. Смысл нормированной частоты.
Таблица соответствий.

3.1. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа:
13 EMBED Equation.3 1415,
где:
13 EMBED Equation.3 1415 функция непрерывного времени (оригинал);
13 EMBED Equation.3 1415 ее изображение по Лапласу (L-изображение);
13 EMBED Equation.3 1415  оператор Лапласа:
13 EMBED Equation.3 1415. (3.1)
Преобразование Лапласа справедливо в области абсолютной сходимости интеграла.
В теории линейных аналоговых систем оно позволило:
1)

2)

При переходе 13 EMBED Equation.3 1415 переходим к дискретному преобразованию Лапласа:
13 EMBED Equation.3 1415.
3.2. Z-преобразование
Получено из дискретного преобразования Лапласа в результате замены переменных:
13 EMBED Equation.3 1415. (3.2)
Z-преобразование
13 EMBED Equation.3 1415 . (3.3)
где: 13 EMBED Equation.3 1415 функция дискретного времени – оригинал, а 13 EMBED Equation.3 1415 ее z-изображение.
Z-преобразование справедливо в области абсолютной сходимости ряда (3.3):
13 EMBED Equation.3 1415,
называемой областью сходимости z-изображения.
3.3. Основные свойства Z-преобразования
Линейность


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство следует из
Теорема о задержке


13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство:





Теорема о свертке
13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство:


3.4. Обратное Z-преобразование. Основные способы вычисления
Точная формула:
13 EMBED Equation.3 1415,
где C замкнутый контур на комплексной z-плоскости, охватывающий начало координат и особые точки (полюсы) дробно-рациональной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Основные способы вычисления обратного Z-преобразования:
На основе теоремы Коши о вычетах:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 k-й полюс, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 вычет в k-м полюсе:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3.1
Задано z-изображение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти оригинал 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 отображается относительно положительных степеней z числитель и знаменатель умножается на


2) определяются полюсы в данном случае один:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) определяются вычеты: в данном случае один:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (3.4)
С помощью разложения на простые дроби.
Дробно-рациональная функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 может быть представлена в виде суммы простых дробей, если, если порядок числителя меньше порядка знаменателя.
13 EMBED Equation.3 1415, (3.5)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 константа разложения при k-м полюсе.
Используя свойство линейности Z-преобразования и (3.4) получим оригинал:
13 EMBED Equation.3 1415 . (3.6)
С помощью таблицы соответствий, которая будет получена в разд. 3.6.
3.5. Связь комплексных p- и z-плоскостей. Смысл нормированной частоты
Используя (3.2) и (3.1), получаем:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415. (3.7)
Комплексная переменная z может быть представлена в двух формах:
алгебраической:
13 EMBED Equation.3 1415 , (3.8)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 3.1. Комплексные p- и z-плоскости
показательной:
13 EMBED Equation.3 1415 . (3.9)
Сравнивая с (3.7), имеем:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415
Вывод: нормированная частота 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рад) это

Связь комплексных p- и z-плоскостей
Начало координат p-плоскости:
13 EMBED Equation.3 1415.   
Вывод: начало координат p-плоскости отображается
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 3.2. Отображение начало координат p-плоскости на z-плоскость
Точки p-плоскости 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Вывод: две точки 13 EMBED Equation.3 1415 отображаются
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 3.3. Отображение точек p-плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 на z-плоскость
Отрезок на оси частот p-плоскости 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415  
Вывод: отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 длиной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 отображается
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 3.4. Отображение отрезка p-плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 на z-плоскость
Ось частот p-плоскости 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415  
Вывод: Ось частот p-плоскости отображается

Неоднозначность отображения точек p-плоскости на z-плоскость
Множеству точек на p-плоскости (рис. 3.5):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
соответствует одна точка на z-плоскости 13 EMBED Equation.3 1415.
Однозначное отображение внутри коридора 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 (один оборот единичной окружности).
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 3.5. Отображение точек p-плоскости на z-плоскость
Коридор в левой p-полуплоскости: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.  
Вывод: Коридор в левой p-полуплоскости отображается в , а коридор в правой p-полуплоскости
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 3.6. Отображение левой p-полуплоскости на z-плоскость
3.6. Таблица соответствий
Пример 3.3
Найти z-изображение цифрового единичного импульса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3.4
Найти z-изображение последовательности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и область его сходимости.
Изобразить карту нулей и полюсов.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Область сходимости:

Для определения нулей и полюсов z-изображение выражается относительно положительных степеней z!
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Нули 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 это значения z, при которых z-изображение обращается в ноль.
Полюсы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 это значения z, при которых знаменатель z-изображения обращается в ноль.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Карта нулей и полюсов это изображение нулей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 кружками и полюсов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 звездочками на z-плоскости одновременно с единичной окружностью.





Пример 3.5
Найти z-изображение последовательности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и область его сходимости.
Изобразить карту нулей и полюсов.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Область сходимости:


Нули и полюсы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Карта нулей и полюсов:




Пример 3.6:
Найти z-изображение последовательности 13 EMBED Equation.3 1415 и область его сходимости. Изобразить карту нулей и полюсов.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415










Область сходимости:

Продолжение вычисления
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Нули и полюсы (умножаем на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Карта нулей и полюсов:




Продолжение вычисления

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Таблица соответствий

Последовательность
z-изображение

1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415


Пример 3.7
Найти оригинал по z-изображению 13 EMBED Equation.3 1415. Учесть ННУ.
Изобразить карту нулей и полюсов.
В таблице имеем соответствие:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
На основании свойства и теоремы о
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
С учетом ННУ:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Нули и полюсы (самостоятельно):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Карта нулей и полюсов (самостоятельно):



Пример 3.8
Найти оригинал по z-изображению 13 EMBED Equation.3 1415. Учесть ННУ.
Изобразить карту нулей и полюсов.
В таблице имеем соответствие:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Определим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
На основании свойства и теоремы о
13 EMBED Equation.DSMT4 1415



С учетом ННУ:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415





Нули и полюсы.
Полюсы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Нули (умножаем на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 числитель и знаменатель 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и находим корни числителя):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Карта нулей и полюсов:








13PAGE 15


13PAGE 141115




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·S PG
·
·
·
·
·
·
·
·
·{
·
·
·
·
·я
·
·
·
·
·Ё
·
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·
·р
·
·
·
·Equation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes 15w RomanTimes New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New Roman6 Times New RomanTimes New RomanTimes New Roman6  
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 18814348
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий