Lek 2

Лекция 2. Линейные дискретные системы (ЛДС). Описание во временной области
Определение и свойства ЛДС.
Математическое описание ЛДС.
Нулевые начальные условия ЛДС.
Физическая реализуемость ЛДС.
Импульсная характеристика ЛДС.
Соотношение вход/выход: формула свертки.
Соотношение вход/выход: разностное уравнение. Рекурсивные и нерекурсивные ЛДС.
КИХ и БИХ ЛДС.
Устойчивость ЛДС. Первый критерий устойчивости.

2.1. Определение и свойства ЛДС
Системой называют



В соответствии с определением, системой можно назвать и физическое устройство, и математическое преобразование.
В ЦОС система представляет собой математическое преобразование.
Систему называют линейной, если она обладает свойствами:
1)


2)


Систему называют дискретной, если воздействие и реакция (рис. 2.1)

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 2.1. К описанию линейной дискретной системы (ЛДС)
Систему называют стационарной, если она обладает свойством

Параметры стационарной системы
2.2. Математическое описание ЛДС
Подобно линейной аналоговой системе, ЛДС описывается в трех областях:
временной;
области комплексной переменной (будет рассматриваться в Лекции 3);
частотной.
В каждой их этих областей математическое описание ЛДС включает в себя:
в статическом режиме
в динамическом режиме

2.3. Нулевые начальные условия (ННУ) ЛДС
ННУ ЛДС означают, что до начала воздействия (13 EMBED Equation.DSMT4 1415)


13 EMBED Equation.3 1415 (2.1)
где i и k
Признаком ННУ является то, что в отрицательной области времени все значения воздействия и реакции равны
2.4. Физическая реализуемость ЛДС
ЛДС называется физически реализуемой, если для нее выполняются условия физической реализуемости:
1) при ННУ реакция

2) при ННУ реакция в любой момент времени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 зависит от


2.5. Импульсная характеристика ЛДС
Импульсная характеристика (ИХ) ЛДС это ее основная характеристика ЛДС во временной области.
Импульсной характеристикой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется


Вывод: по определению в отрицательной области времени ИХ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равна
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 2.2. К определению ИХ
ИХ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называют основной характеристикой ЛДС, т. к.


2.6. Соотношение вход/выход: формула свертки
Определим реакцию на произвольное воздействие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при известной ИХ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
согласно определению ИХ (слева от стрелки воздействие, справа реакция):
13 EMBED Equation.3 1415;
согласно свойству инвариантности во времени:
13 EMBED Equation.3 1415
согласно свойству однородности:
13 EMBED Equation.3 1415
согласно свойству аддитивности при ННУ (13 EMBED Equation.3 1415):
13 EMBED Equation.3 1415
согласно фильтрующему свойству цифрового единичного импульса, слева имеем
, а справа реакцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в виде свертки воздействия и ИХ:
13 EMBED Equation.3 1415
Полученное соотношение вход/выход называют формулой свертки, которая имеет две тождественные записи:
13 EMBED Equation.3 1415
Или в области дискретного времени:
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим, как выполняются вычисления реакции по формуле свертки.
Пример 2.1
Вычислить реакцию по формуле свертки (2.2):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Выводы:
Вычисления по формуле свертки выполняются методом прямой подстановки при ННУ.
Методическая погрешность в вычислениях отсутствует.
Сравним с вычислением свертки для аналоговой линейной системы:
13 EMBED Equation.3 1415.
Для вычисления интеграла необходимо выбрать численный метод алгоритм.
Любой численный метод будет содержать методическую погрешность.
Вывод: При переходе 13 EMBED Equation.3 1415 получаем формулу свертки, которая непосредственно описывает алгоритм вычисления реакции.
Пример 2.2
Определить, является ли ЛДС, соотношение вход/выход которой описывается формулой свертки (2.2)(2.3), физически реализуемой.
при ННУ реакция зависит от текущего и предшествующих отсчетов воздействия и не зависит от ее будущих отсчетов
при ННУ реакция не может возникнуть раньше воздействия:

Пример 2.3
Задано воздействие 13 EMBED Equation.3 1415 длины 13 EMBED Equation.3 1415 и ИХ 13 EMBED Equation.3 1415 длины 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти реакцию по формуле свертки (2.2) и длину свертки 13 EMBED Equation.3 1415.







2.7. Соотношение вход/выход: разностное уравнение. Рекурсивные и нерекурсивные ЛДС
Формула свертки используется для вычисления реакции ЛДС, представляющей собой "черный ящик" с известной
Другой вариант соотношения вход/выход используется, когда известны параметры линейной системы.
Для линейной аналоговой системы с одним входом и одним выходом соотношения вход/выход имеет вид

а параметрами данной системы являются
При переходе 13 EMBED Equation.3 1415 оно преобразуется в разностное уравнение (РУ):
13 EMBED Equation.3 1415.
В области дискретного нормированного времени:
13 EMBED Equation.3 1415. (2.4)
где i и k задержки воздействия и реакции;
Параметрами ЛДС являются коэффициенты РУ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
ЛДС называется рекурсивной, если ее реакция зависит от




ЛДС называется нерекурсивной, если ее реакция зависит

13 EMBED Equation.3 1415. (2.5)
Порядок рекурсивной ЛДС в общем случае равен максимальной задержке, но на практике выполняется условие:
13 EMBED Equation.3 1415,
поэтому он равен максимальной задержке реакции 13 EMBED Equation.3 1415.
Порядок нерекурсивной ЛДС равен максимальной задержке воздействия 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2.4
Решить РУ (2.4):
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Вывод: РУ решается методом прямой подстановки при ННУ.
Сравним с вычислением дифференциального уравнения для аналоговой линейной системы:
Необходимо выбрать численный метод решения алгоритм.
Любой численный метод будет содержать методическую погрешность.
Таким образом, при переходе 13 EMBED Equation.3 1415 вместо дифференциального уравнения получаем РУ, которое непосредственно описывает алгоритм вычисления реакции.
Пример 2.5
Определить, является ли ЛДС, соотношение вход/выход которой описывается РУ (2.4), физически реализуемой.
при ННУ реакция зависит от текущего и предшествующих отсчетов воздействия и не зависит от ее будущих отсчетов
при ННУ реакция не может возникнуть раньше воздействия:

2.8. КИХ и БИХ ЛДС
Показано, что рекурсивные и нерекурсивные ЛДС отличаются видом РУ.
Рассмотрим качественное отличие их ИХ на примерах и обобщим результаты.
Пример 2.6
Определить ИХ ЛДС порядка с РУ:
13 EMBED Equation.3 1415.
Согласно определению ИХ, запишем РУ в виде:








Выводы:
ИХ нерекурсивных ЛДС Поэтому их также называют
Отсчеты ИХ КИХ ЛДС равны
13 EMBED Equation.3 1415. (2.6)
Длина ИХ КИХ ЛДС равна
Пример 2.7
Определить ИХ ЛДС порядка с РУ:
13 EMBED Equation.3 1415.






Выводы:
ИХ рекурсивных ЛДС Поэтому их также называют

ИХ БИХ ЛДС в аналитическом виде может быть получена только для простейших ЛДС 1-го и 2-го порядков.
На практике ИХ БИХ ЛДС рассчитывается по РУ.
2.9. Устойчивость ЛДС. Первый критерий устойчивости
ЛДС называют устойчивой, если
13 EMBED Equation.3 1415
и
13 EMBED Equation.3 1415.
Критерий устойчивости ЛДС
13 EMBED Equation.3 1415. (2.7)
Доказательство:
Определим реакцию по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
ее модуль:


и максимум модуля:


Необходимость:



Достаточность:


Выводы:
КИХ ЛДС
Для БИХ ЛДС








13PAGE 15


13PAGE 14315




Root EntryTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanTimes New Roman Times New RomanTimes New RomanTimes New Roman Times New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 18814349
    Размер файла: 236 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий