lek1

 Лекция1. Сетевые модели
.1. Основные положения

Чтобы завершить создание продукции или строительство объекта к определенному сроку, необходимо увязать выполнение работ всеми исполнителями во времени, стоимости, ресурсам и другим технико–экономическим показателям.
Пример: ленточный график, циклограммы и т.д.
Система СПУ – комплекс графических и расчетных методов, организационных мероприятий с целью моделирования, анализа и оптимизации плана работ по проектированию или изготовлению некоторого изделия.
Основным плановым документом в системе СПУ является сетевой график – (сетевая модель, сеть) – безмасштабное графическое изображение планируемого процесса и отражающее взаимосвязь и последовательность входящих в него работ.
Объект управления в СПУ – коллектив исполнителей, располагающий определенными материальными и денежными ресурсами и выполняющий комплекс работ, направленных на достижение конечного результата в установленные сроки.
Система СПУ охватывает следующие основные этапы планирования и управления комплексом работ.
1) выявление работ, которые необходимо произвести в процессе проектирования или изготовления некоторого изделия и связей между ними;
2) построение сетевого графика процесса на основе 1);
3) установление количественных оценок по каждой работе (время, стоимость, ресурсы);
4) расчет параметров сетевого графика вручную или с помощью ЭВМ;
5) анализ и оптимизация сетевого графика (вручную или с помощью ЭВМ) с целью получения определенных оптимальных показателей (минимальное время выполнения работ, минимальная стоимость, минимальная экономия ресурсов;
6) использование сетевого графика как основного элемента инструмента управления ходом работ.

.2. Теоретические основы СПУ

В основе сетевого моделирования лежит изображение планируемого комплекса работ в виде графа (блок–схемы, структурных соединений).
Граф – это схема, состоящая из заданных точек – вершин, соединенных определенной системой линий, которые называются ребрами или дугами графа.
Ребра могут быть ориентированными (снабжены стрелками – дуги) и неориентированными.
Имеется несколько типов графов:
а) обыкновенный граф (без дуг, петель и кратных ребер);
б) мультиграф (имеются кратные ребра);
в) ориентированный (обыкновенный с ориентированными ребрами);
г) смешанный (схема движения по улице).

а) б) в)







г)

Графы бывают также конечные и бесконечные, пространственные и плоские.
Основатель теории графов – Л. Эйлер, рассмотревший в 1736 г. задачу о «кененгбергских мостах».
В основе сетевого графика лежит ориентированный граф. Одной из основных конструкций графа является путь.
Путь – это последовательность дуг, позволяющих пройти из одной вершины в другую и каждая дуга которой встречается один раз.
Замкнутый путь называется контуром.

.3. Основные элементы сетевого графика

Сетевой график – это конечный плоский ориентированный граф без контуров, дуги которого имеют одну или несколько числовых характеристик.
В сетевом графике имеются два основных элемента – работа и событие.
Работами называются любые процессы, действия, приводящие к достижению определенных результатов (событий).
Продолжительность измеряется в ед. времени (часы, сутки, недели и т.п.).
Количественные показатели: трудоемкость, стоимость, материальные ресурсы для выполнения.
Различают действительную работу, ожидание, фиктивную работу.
Действительная работа – работа, требующая затрат времени и ресурсов.
Ожидание – работа, требующая затрат времени, но не ресурсов (твердение бетона, сушка, созревание).
Фиктивная работа – отражает логическую связь между работами и не требует времени и ресурсов (передача чертежей, программы и т.п.).
Событием называется результат произведенной работы (работ).
Изображается:
возведение
стен


А – фундамент залит, В – стены возведены


·
·
·
·
·
·
·
·
исходное событие, В – завершающее событие
.4. Порядок и правила построения сетевых графиков

1) Сеть строится слева направо, от исходного события к завершающему.
2) Длина и наклон стрелок значения не имеют. Однако все они направлены слева направо.
3) В сети не должно быть контуров (т.е. замкнутых путей).
4) Сетевой график – это плоский график, поэтому стрелки в нем не должны пересекаться.
5) Пара событий может быть соединена только одной работой (т.е. сетевой график не может быть мультиграфом). Для устранения этой ситуации вводится дополнительное событие и фиктивная работа.



: или

6) В сети не должно быть (кроме исходного) хвостовых событий, т.е. событий, в которые не входит ни одна работа.
7) В сети не должно быть (кроме завершающего) тупиковых событий, т.е. событий, из которых не выходит ни одна работа.
Нумерация (упорядочение сетевого графика) производится по методу ранжирования.
Пример:
2 – событие 1–го ранга;
3,4 – событие 2–го ранка;
5 – событие 3–го ранга.


Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике называется критическим.
Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути.


5. Временные параметры сетевых графиков и их нахождение

Параметры событий:
13 EMBED Equation.3 1415 – определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию.
13 EMBED Equation.3 1415 (5.5)
если j имеет несколько предыдущих событий, то
13 EMBED Equation.3 1415 (5.6)
13 EMBED Equation.3 1415 (5.7)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – любой путь, следующий за 13 EMBED Equation.3 1415–м событием, т.е. путь от 13 EMBED Equation.3 1415–го до завершающего события цепи.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 имеет несколько последующих путей или событий 13 EMBED Equation.3 1415, то удобно пользоваться формулой
13 EMBED Equation.3 1415 (5.8)
Резерв времени определяется как
13 EMBED Equation.3 1415 (5.9)
Он показывает на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличение срока выполнения комплекса работ.
Замечания. Критические события резервов времени не имеют.
Отсюда вывод: определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, и, выявляя событие с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.
Пример:
критические события
1, 2, 3, 5, 6
критический путь
12356
tкр = 5 + 1 + 8 + 6 = 20


Номера
Событий
Сроки совершения событий
Резервы времени событий

№ п/п
Работа (i,j)
Продолжение работы t (i,j)
Сроки начала и окончания работ
Резервы времени


tp(i)
tП(i)





tpн
tpо
tПн
tПо

Ri



1
2
3
4
5
6
0
5
6
10
14
20
0
5
6
16
14
20
0
0
0
6
0
0

1
2
3
4
5
6
7
8
(1,2)
(1,3)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(3,5)
(4,6)
(5,6)
5
4
1
5
3
8
4
6
0
0
5
5
5
6
10
14
5
4
6
10
8
14
14
20
0
2
5
11
11
6
16
14
5
6
6
16
14
14
20
20
0
2
0
6
6
0
6
0
0
2
0
6
6
0
0
0
0
2
0
0
6
0
6
0
0
2
0
0
6
0
0
0


















Параметры работ
Ранний срок начала работы 13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно
13 EMBED Equation.3 1415 (5.10)
Тогда ранний срок окончания работ 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (5.11)
Поздний срок окончания работ 13 EMBED Equation.3 1415
Очевидно
13 EMBED Equation.3 1415 (5.12)
Значит поздний срок начала работ 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (5.13)
Резерв времени пути определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути
13 EMBED Equation.3 1415 (5.14)
Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительность всех работ, принадлежащих этому пути.
Вывод: любая из работ пути 13 EMBED Equation.3 1415 на его участке, не совпадающем с критическим путем, обладает резервом времени.
Среди резервов времени выделяют 4 разновидности резервов.
а) полный резерв времени 13 EMBED Equation.3 1415 работы 13 EMBED Equation.3 1415 – показывает насколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменяется
13 EMBED Equation.3 1415 (5.15)
Полный резерв времени равен резерву максимальному из путей, проходящих через данную работу.
Важным свойством 13 EMBED Equation.3 1415 является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее.
б) частный резерв времени 1–го вида 13 EMBED Equation.3 1415 есть часть полного резерва времени, на который можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события
13 EMBED Equation.3 1415 (5.16)
или 13 EMBED Equation.3 1415 (5.17)
Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное событие совершаются в свои самые поздние сроки.
в) чает часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события.
13 EMBED Equation.3 1415 (5.18)
или 13 EMBED Equation.3 1415 (5.19)
Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события совершаются в свои самые ранние сроки.
г) Независимый резерв времени Rн(i,j).
Это часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки.
13 EMBED Equation.3 1415 (5.20)
или 13 EMBED Equation.3 1415 (5.21)
Таким образом, если частичный резерв времени 1–го вида может быть использован на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ, свободный резерв времени – на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.
Работы, лежащие на критическом пути, так же как и критические события, резервов времени не имеют.
Если на критическом пути лежит начальное событие i, то
13 EMBED Equation.3 1415 (5.22)
Если на критическом пути лежит конечное событие, то
13 EMBED Equation.3 1415 (5.23)
Если на критическом пути лежит начальное и конечное событие i и j, но сама работа не принадлежит этому пути, то
13 EMBED Equation.3 1415 (5.24)

.6. Анализ и оптимизация сетевого графика

Анализ сетевого графика начинается с анализа топологии сети, включающей контроль построения сетевого графика, установление целесообразности выбора работ, степени их расчленения.
Затем проводится классификация и группировка работ по величинам резервов.
стный резеа) Степень трудности выполнения в срок каждой группы работ некритического пути можно определить с помощью коэффициента напряженности работ.
Коэффициентом напряженности Кн (i,j) работы называется отношение продолжительности несовпадающих (заключенных между одними и теми же событиями) отрезков пути, одним из которых является путь максимальной продолжительности, проходящий через данную работу, а другим – критический путь:
13 EMBED Equation.3 1415 (5.25)
или 13 EMBED Equation.3 1415 (5.26)
Пример: для рассматриваемого примера
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
(2,5) – резервное.
Чем ближе к 1 коэффициент напряженности 13 EMBED Equation.3 1415, тем сложнее выполнить данную работу в установленные сроки. Чем ближе 13 EMBED Equation.3 1415 к нулю, тем большим относительным резервом обладает максимальный путь, проходящий через данную работу.
Между полным резервом и коэффициентом напряженности нет однозначной зависимости.
Вычисление коэффициента напряженности позволяет дополнительно классифицировать работы по зонам. В зависимости от величины 13 EMBED Equation.3 1415 выделяют три зоны: критическую 13 EMBED Equation.3 1415 подкритическую 13 EMBED Equation.3 1415 резервную 13 EMBED Equation.3 1415.
Оптимизация сетевого графика – это процесс улучшения организации выполнения комплекса работ с учетом срока его выполнения. Проводится с целью сокращения длины критического пути, выравнивания коэффициентов напряженности работ, рационального использования ресурсов.
В первую очередь принимаются меры по сокращению продолжительности работ, находящиеся на критическом пути. Это достигается:
перераспределением всех видов ресурсов, как временных (использоварв 2–го видние резервов времени некритических путей), так и трудовых, материальных, энергетических (например, перевод части исполнителей, оборудования с некритических путей на работы критического пути), при этом из зон менее напряженных в зоны, объединяющие более напряженные работы.
б) сокращение трудоемкости критических работ за счет передачи части работ на другие пути, имеющие резервы времени.
в) параллельным выполнением работ критического пути.
г) параметром топологии сети, изменением состава работ и структуры сети.
Наиболее распространенным методом оптимизации сетевого графика в настоящее время является метод время – стоимость.
В зависимости от полноты решаемой задачи оптимизация может быть условно разделена на частичную и комплексную. Мы рассмотрим частичную оптимизацию, которая может быть следующего вида:
а) минимизация времени выполнения работ при заданной им стоимости;
б) минимизация стоимости комплекса работ при заданном выполнении выполнения проекта;
Для простоты ограничимся рассмотрением случая а). Будем предполагать, что уменьшение продолжительности работы пропорционально возрастанию его стоимости.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – нормальная продолжительность работ;
13 EMBED Equation.3 1415 – минимально возможная (экстренная) продолжительность работы 13 EMBED Equation.3 1415, которую только можно осуществлять в условиях разработки.
При этом стоимость 13 EMBED Equation.3 1415 работы
13 EMBED Equation.3 1415
при нормальной при экстремальной
продолжительности продолжительности
работы работы














13 EMBED Equation.3 1415 (5.27)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 – показывает затраты на ускорение работы 13 EMBED Equation.3 1415(по сравнению с нормальной продолжительностью) на ед. времени.
13 EMBED Equation.3 1415 (5.28)
Самый очевидный вариант частной оптимизации сетевого графика с учетом стоимости предполагает использование резервов времени работ. При этом стоимость выполнения проекта, равная до оптимизации
13 EMBED Equation.3 1415
уменьшается на величину
13 EMBED Equation.3 1415 (5.29)

Лекция 2. Задачи управления запасами

С увеличением запасов увеличиваются расходы на их хранение, но уменьшаются потери из–за возможной их нехватки. Следовательно, одна из задач управления запасами заключается в определении такого уровня запасов, который минимизирует следующий критерий: сумму ожидаемых затрат по хранению запасов, а также потерь из–за дефицита.

Суммарные Затраты на Затраты на Затраты на Потери от
затраты = приобретение + оформление + хранение + дефицита
заказа заказа

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415


.1. Однопродуктовая модель простейшего типа

Характеризуется постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита.
Пример: осветительные лампы в здании, использование канцелярских товаров крупной фирмой, пром. изделия (болты, гайки), поступление продуктов питания (хлеб13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – интенсивность спроса (в ед. времени). Уровень запаса достигает нуля спустя 13 EMBED Equation.3 1415 единиц времени после получения заказа размером13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении и предположении, что затраты на хранение в ед. времени равны 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда суммарные затраты в ед. времени
13 EMBED Equation.3 1415[затраты на оформление заказа в ед. времени]+[затраты на хранение запасов в ед. времени].
13 EMBED Equation.3 1415 (5.1)
Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415 (5.2)
13 EMBED Equation.3 1415 – оптимальное значение размера заказа
(формула Вильсона)

Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ 13 EMBED Equation.3 1415 ед. продукции через каждые 13 EMBED Equation.3 1415 ед. времени.
Оптимальные затраты: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (5.3)










3. Модели с дефицитом
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415- уровень потребляемой продукции;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415- поступающая продукция
По графику можно составить следующее соотношение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- удельные потери от дефицита
Тогда суммарные затраты
13 EMBED Equation.DSMT4 1415





(2.5)
Решая совместно систему (2.5), получим





(2.6)




Нетрудно показать, что если модель с равномерным пополнением запаса допускает дефицит, то формулы (2.6) и (2.7) преобразуются в формулы (модель «смешанного типа»)

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2.8)

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2.9)
Некоторые принципы принятия решений
1. Общие положения

В процессе принятия решений возникают следующие трудности:
а) большое число критериев не всегда согласованы между собой;
б) высока степень неопределенности, которая обусловлена недостаточной информацией для принятия решений.
Любой процесс принятия решений включает следующие элементы:
1. Цель. Необходимость принятия решений определяется целью или несколькими целями, которые должны быть достигнуты.
2. Лицо, принимающее решение, должно нести ответственность за последствия этих решений.
3. Альтернативные решения (различные варианты достижения целей).
4. Внешняя среда (совокупность всех внешних факторов, влияющих на исход решений).
5. Исходы решений.
6. Правила выбора решений (решающие правила).
Эти правила позволяют определить наиболее предпочтительные в смысле выбранного критерия решения.
Теория принятия решений использует различные процедуры, позволяющие формализовать предпочтения, т.е. выразить их в единственной количественной мере. Основой для таких процедур являетсти, разработанная Дж.фон Нейманом и О. Моргерштерном. Ее математическая основа – система аксиом, в которых утверждается, что существует некоторая мера ценности, позволяющая упорядочить результаты решений. Эта мера называется функцией полезности решений или полезностью.
В зависимости от условий внешней среды и степени информированности лица существует следующая классификация задач принятия решений:
а) в условиях определенности;
б) в условиях риска;
в) в условиях конфликтных ситуаций или противодействия (активного противника).
Остановимся на каждом из них поподробнее.

.2. Принятие решений в условиях определенности
Основная трудность – наличие нескольких критериев, по которым следует сравнивать исходы.
а) пусть имеется совокупность критериев:

Найти решение, которое окажется наилучшим в смысле выбираемого критерия.
Если все критерии измеряются в одной шкале, то обобщенный критерий 13 EMBED Equation.3 1415можно записать в виде взвешенной суммы этих критериев
13 EMBED Equation.3 1415 (6.1)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – вес соответствующего критерия.
В этом случае нужно найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Если же критерии измеряются в различных шкалах, то необходимо привести их к одной шкале. Для этого формируют критерий
13 EMBED Equation.3 1415 (6.2)
где 13 EMBED Equation.3 1415.
б) пусть критерии упорядочены в последовательности 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда задача отыскания оптимального решения может быть описана как
13 EMBED Equation.3 1415 при ограничениях
13 EMBED Equation.3 1415.
.3. Принятие решений в условиях риска

Эта задача возникает в том случае, когда с каждой принимаемой стратегией 13 EMBED Equation.3 1415 связано целое множество возможных результатов 13 EMBED Equation.3 1415 с известными вероятностями 13 EMBED Equation.3 1415. Формально модель задачи такова.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – полезность результата 13 EMBED Equation.3 1415 при использовании решения 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть заданы условные вероятности 13 EMBED Equation.3 1415. Вводят ожидаемую полезность для каждой стратегии
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (6.3)
где 13 EMBED Equation.3 1415
Решающее правило для определения оптимальной стратегии 13 EMBED Equation.3 1415 записывается так
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4)
.4. Принятие решений в условиях неопределенности

Одним из определяющих факторов в таких задачах является внешняя среда или природа, которая может находиться в одном из состояний 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415, которое неизвестно лицу, принимающему решение (наблюдатель).
Пусть по–прежнему 13 EMBED Equation.3 1415, полезность результата при использовании стратегии 13 EMBED Equation.3 1415. В зависимости от состояния среды результат 13 EMBED Equation.3 1415 достигается с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415.
Кроме того, наблюдателю неизвестно распределение вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Относительно среды наблюдатель может высказывать определенные гипотезы. Его предположение о вероятном состоянии среды называется субъективными вероятностями 13 EMBED Equation.3 1415. Если бы величина 13 EMBED Equation.3 1415 была известна наблюдателю, то мы бы имели задачу принятия решений в условиях риска. В этом случае решающее правило 13 EMBED Equation.3 1415 определяется следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5)
Но на самом деле состоярие среды, а также распределение вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415 неизвестно.
Как выбрать оптимальную стратегию при этом? Существует несколько критериев для выбора оптимальной стратегии.
а) Критерий Вальда (критерий осторожного наблюдателя). Этот критерий оптимизирует полезность в предположении, что среда находится в самом невыгодном для наблюдателя состоянии. При этом критерии решающее правило имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (6.6)
где 13 EMBED Equation.3 1415 (6.7)
По критерию Вальда выбирают стратегию, которая дает гарантированный выигрыш при наихудшем состоянии среды.
б) Критерий Гурвица основан на следующих предположениях: среда может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415 и в самом выгодном – с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – коэффициент доверия. Тогда решающее правило записывается так:
13 EMBED Equation.3 1415 (6.8)
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то получаем критерий Вальда.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то приходим к решающему правилу вида
13 EMBED Equation.3 1415 (6.9)
так называя стратегию «здорового оптимизма», который верит в удачу.
в) Критерий Лапласа. Если неизвестны состояния среды, то все состояния среды считают равновероятными.
13 EMBED Equation.3 1415
В результате решающее правило определяется соотношением (6.8) при условии 13 EMBED Equation.3 1415.
г) Критерий Сэвиджа (критерий минимизации сожалений).
«Сожаление» – это величина, равная изменению полезности результата при данном состоянии среды относительно наилучшего возможного состояния.
В этом случае критерий для выбора оптимальной стратегии имеет следующий вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (6.10)
где 13 EMBED Equation.3 1415
Выбор критерия принятия решения является наиболее сложным и ответственным этапом в системном анализе. При этом не существует каких–либо общих рекомендаций или советов. Выбор критерия должен производить заказчик на самом высоком уровне и в максимальной степени согласовывать этот выбор с конкретной спецификой задачи, а также со своими целями.
В частности, если даже минимальный риск недопустим, то используют критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем и заказчик готов вложить в некоторое предприятие столько средств, чтобы он потом не сожалел, что вложено мало, то выбирают критерий Сэвиджа.
Условия оценки эффективности систем для неопределенных операций можно представить в виде таблицы.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Здесь13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – значение вектора управляемых параметров, определяющий свойства системы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415– значение вектора неуправляемых параметров, определяющий состояние обстановки;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415– значение эффективности значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для состояния обстановки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415– эффективность системы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В зависимости от характера неопределенности операции могут делиться на игровые и статистические неопределенные.
В игровых операциях неопределенность вносит своими сознательными действиями противник. Как в этом случае находится оптимальное решение, мы рассматривали в п.7.
Условия статистически неопределенных операций зависят от объективной действительности, называемой природой. В этом случае применяется теория статистических решений.
Единого критерия оценки эффективности для неопределенных операций не существует. Разработаны лишь общие требования к критериям оценки и выбора оптимальных систем. Основными требованиями являются:
1. оптимальное решение не должно меняться с перестановкой строк и столбцов матрицы эффективности;
2. оптимальное решение не должно меняться при добавлении тождественной строки или столбца к матрице эффективности;
3. оптимальное решение не должно меняться от добавления постоянного числа к значению каждого элемента матрицы эффективности;
4. оптимальное решение не должно становиться неоптимальным и, наоборот, в случае добавления новых систем, среди которых нет ни одной более эффективной системы;
5. если система 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 оптимальны, то вероятностная смесь этих систем тоже должна быть оптимальна.
В зависимости от характера предпочтений ЛПР наиболее часто в неопределенных операциях используются критерии:
а) среднего выигрыша;
б) Лапласа;
в) осторожного наблюдателя (Вальда);
г) максимакса;
д) пессимизма–оптимизма (Гурвица);
е) минимального риска.
Пример: Необходимо оценить один из трех разрабатываемых программных продуктов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415для борьбы с одним из четырех типов программных воздействий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пусть дана матрица эффективности (рис. 14.2)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1
0,5
0,1
0,2

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,2
0,3
0,2
0,4

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1
0,4
0,4
0,3

Рис. 14.2

Здесь – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415программный продукт 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– оценка эффективности применения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415программного продукта при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415программном воздействии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
а) критерий среднего выигрыша.
Данный критерий предполагает задание вероятностей состояний обстановки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Эффективность систем оценивается как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415т.е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Оптимальной системы будет соответствовать эффективность
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пусть в нашем случае 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Оптимальное решение – система 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
б) критерий Лапласа.
В основе критерия лежит предположение: поскольку о состоянии обстановки ничего не известно, то их можно считать равновероятностными. Исходя из этого:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В нашем случае
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Оптимальное решение – система a3. Критерий Лапласа представляет собой частный случай критерия среднего выигрыша.
в) критерий осторожного наблюдателя (Вальда) – это максиминный критерий, он гарантирует определенный выигрыш при наихудших условиях.
Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В нашем случае
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Оптимальное решение – система 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Максиминный критерий ориентирует на решение, не содержащее элементов риска; в этом его недостаток, другой – он не удовлетворяет условию 3.
г) критерий максимакса.
Критерий максимакса – самый оптимистический критерий. Те, кто предпочитают им пользоваться, всегда надеются на лучшее состояние обстановки, и естественно, в большей степени рискуют.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В нашем случае
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Оптимальное решение – система 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
д) критерий пессимизма – оптимизма (Гурвица).
Это критерий обобщенного максимина. Для этого вводится коэффициент оптимизма 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, характеризующий отношение к риску лица, принимающего решение. Эффективность систем находится как взвешенная с помощью коэффициента 13 EMBED Equation.DSMT4 1415сумма максимальной и минимальной оценок:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Условие оптимальности записывается в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и рассчитаем эффективность систем для рассматриваемого примера:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Оптимальное системой будет13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
При 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 критерий Гурвица сводится к критерию максимина, при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – к критерию максимакса. На практике пользуются значениями коэффициента 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в пределах 0,3–0,7. В критерии Гурвица не выполняются требования 4 и 5.
е) критерий минимального риска (Сэвиджа).
Этот критерий минимизирует потери при наихудших условиях.
Преобразуем матрицу эффективности в матрицу потерь (риска), в которой элементы определяются соотношением:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
И используем критерий минимакса:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Обратимся опять к рассматриваемому примеру. В нем матрице эффективности будет соответствовать матрица потерь:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1
0
0,3
0,2

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0
0,2
0,2
0

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1
0,1
0
0,1


Тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
О критерии Сэвиджа можно сказать, что в нем по сравнению с критерием Вальда придается несколько большее значение выигрышу, чем проигрышу. Основной недостаток критерия – не выполняется требование 4.
Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по целому ряду критериев. На выбор того или иного критерия оказывает влияние ряд факторов:
а) природа конкретной операции и ее цель (в одних операциях допустим риск, в других – важен гарантированный результат);
б) причины неопределенности (одно дело, когда неопределенность является случайным результатом действия объективных законов природы, и другое, когда она вызывается действиями разумного противника, стремящегося помешать в достижении цели);
в) характер лица, принимающего решения (одни люди склонны к риску, в надежде добиться большего успеха, другие предпочитают действовать всегда осторожно).

Лекция 3. Принятие решений в условиях конфликтных ситуаций или противодействия
1. Общие положения
В отличие от рассмотренных выше задач принятия решений, в которых внешняя среда (природа) предполагалась пассивной, конфликтные ситуации предполагают наличие, по крайней мере, двух противодействующих сторон, интересы которых противоположны. Эти задачи составляют проблематику теории игр.
Целью теории игр является выработка рекомендаций по рациональному образу действия участников многократного повторяющегося конфликта.
Нашла применение в экономике, в ходе военных действий, анализе надежности и т.п. Характерным примером является довольно распространенная ситуация, когда несколько фирм добиваются права у заказчика на получение выгодного заказа или конфликтуют из–за овладения новыми рынками сбыта.
Игра – это модель конфликтной ситуации. Ведется по определенным правилам, которые определяют возможные варианты действий участников игры, объем информации об этих действиях, а также результат игры.
Игроки – это стороны, участвующие в конфликте.
Выигрыш (проигрыш, платеж) – результат конфликта.
Игры бывают парные и множественные.
Ходом в теории игр называется выбор одного из предложенных правилами игры действий и его осуществление.
Сами действия называются стратегиями. Число стратегий каждого игрока конечно или бесконечно.
Игры бывают одноходовые и многоходовые. Ходы могут быть личные и случайные. Игры, которые содержат только случайные ходы, теорией игр не изучаются. Игры бывают также с полной информацией и неполной информацией.
2. Игра двух лиц с нулевой суммой

Методы теории игр наиболее развиты для конечной одноходовой игры двух лиц с нулевой суммой (т.е. сумма выигрышей игроков равна 0). Такие игры еще называют антагонистическими.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – участники игры. Саму игру опишем с помощью так называемой платежной матрицы (матрицы игры) порядка 13 EMBED Equation.3 1415. Строки этой матрицы – это чистые стратегии игрока 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, а столбцы – чистые стратегии игрока 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415/
Предполагается, что каждому игроку известны все элементы платежной матрицы.
Элемент 13 EMBED Equation.3 1415 определяет результат игры, а именно выигрыш игрока 13 EMBED Equation.3 1415 при выборе игроками 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 стратегий 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно.
В этом случае достаточно исследовать только платежную матрицу игрока 13 EMBED Equation.3 1415.
В данной игре игрок 13 EMBED Equation.3 1415 стремится выбрать такую строку матрицы, чтобы максимизировать свой выигрыш, а игрок 13 EMBED Equation.3 1415 – такой столбец матрицы, чтобы минимизировать свой проигрыш.

Bj
Ai
B1
B2
B3

Bn

A1

·11

·12

·13


·1n

A2

·21

·12

·13


·2n








Am

·m1

·m2

·m3


·mn

Рис. 7.1
Пример:

Игра полковника Блотто
Две армии ведут борьбу за два исходных пункта. Армия полковника Блотто (игрок А) состоит из 4–х формирований, армия противника (игрок В) – из 3–х. Правила игры: армия посылает больше формирований, занимает его и уничтожает посланные туда формирования противника. В случае равенства сил противник очков не получает. Общий выигрыш определяется как сумма выигрышей в 2–х пунктах. Платежная матрица представлена на рис. 7.2.

Bj
Ai
3,0
0,3
2,1
1,2


4,0
4
0
2
1
0

0,4
0
4
1
2
0

3,1
1
–1
3
0
–1

1,3
–1
1
0
3
–1

2,2
–2
–2
2
2
–2


4
4
3
3
3\0

Рис. 7.2

Задачей теории игр является нахождение решения игры, т.е. определение для каждого игрока его оптимальной стратегии и цены игры.
Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или максимально возможный средний проигрыш) независимо от поведения противника.
Ценой игры называется выигрыш (проигрыш), соответствующий оптимальным стратегиям игроков.
В теории игр наилучшим принято считать поведение игроков, при котором каждый игрок предполагает, что его противник не глупее (принцип разумности).
Если игрок А выбрал стратегию i, то его выигрыш составит
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда максимальный гарантированный выигрыш
13 EMBED Equation.3 1415.
Стратегия, соответствующая 13 EMBED Equation.3 1415 называется максиминной стратегией, а 13 EMBED Equation.3 1415 – нижней ценой игры или максимином.
Игрок В, рассуждая аналогично, может среди всех своих стратегий выбрать ту, которая обеспечит ему минимальный гарантированный проигрыш.
13 EMBED Equation.3 1415
Стратегия, соответствующая 13 EMBED Equation.3 1415 называется минимаксной стратегией, а величина 13 EMBED Equation.3 1415 – верхней ценой игры или минимаксом.
Если игрок А будет придерживаться максиминной стратегии, то он получает выигрыш не меньше максиминного значения, т.е.

Если игрок В придерживается минимаксной стратегии, то его проигрыш будет не больше минимального значения, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
В общем случае отношения между нижней и верхней ценой игры устанавливаются неравенством
13 EMBED Equation.3 1415
Существуют игры, для которых 13 EMBED Equation.3 1415. Элемент платежной матрицы, отвечающей этим стратегиям, называется Седловой точкой. Ей отвечает цена игры 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то игра выгодна игроку А.
При 13 EMBED Equation.3 1415 игра выгодна игроку В.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то игра выгодна обоим игрокам и называется безобидной или справедливой.

3. Игра 2–х лиц без седловой точки. Смешанные стратегии

Одна из возможностей расширения стратегий игроков – разнообразить способ выбора своей стратегии, например, «случайно».
Как мы уже отмечали, в отсутствии Седловой точки, игрок А, применяя свою максиминную стратегию, выиграет не менее 13 EMBED Equation.3 1415, а игрок В, применяя свою минимаксную стратегию, проигрывает не более 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. Применение чистых стратегий в каждой партии такой игры не дает возможность игрокам увеличить выигрыш 13 EMBED Equation.3 1415, чем уменьшить проигрыш 13 EMBED Equation.3 1415. Для того, чтобы это было возможным необходимо применять не одну, а несколько чистых стратегий, чередуя их случайным образом с какими–то частотами. Такая стратегия получила название смешанной (ее элементами являются чистые стратегии).
Смешанная стратегия имеет смысл при условии, что игра состоит более чем из одной партии.
Обозначим смешанные стратегии игроков А и В через
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, где
13 EMBED Equation.3 1415 – вероятность (частота) применения игроком А чистой стратегии 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – вероятность (частота) принятия игроком В чистой стратегии 13 EMBED Equation.3 1415.
Причем 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Чистые стратегии игроков А и В, для которых вероятности 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 отличны от 0, называются активными.
Теорема (основная теорема теории игр) (теорема минимакса).
Любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение (т.е. пару оптимальных стратегий, в общем случае смешанных) и соответствующую цену.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение игры, не имеющей Седловой точки, может осуществляться различными методами. Рассмотрим наиболее важные из них.

3.1. Графическое решение игр вида (2Чn) и (mЧ2)

Этот метод применим только к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.
Рассмотрим следующую игру (без Седловой точки)
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ожидаемые выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, представлены в таблице

В
А
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


Отсюда видно, что ожидаемый выигрыш игрока А линейно зависит от 13 EMBED Equation.3 1415. В соответствии с критерием минимакса игрок А должен выбирать 13 EMBED Equation.3 1415 так:

Чистые стратегии
игрока В
Ожидаемые выигрыши игрока А

1
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415




N
13 EMBED Equation.3 1415


Пример:
Вj
Аi
В1
В2
В3
В4

А1
2
4
8
6

А2
1
4
6
4

А3
2
4
8
6

А4
8
6
2
1


Замечания: Стратегии, для которых есть доминирующие и дублирующие стратегии можно отбрасывать.

Вj
Аi
В1
В2
В3
В4

А1
2
4
8
6

А4
8
6
2
1




Вj
Аi
В1
В2
В4


А1
2
4
6
2

А4
8
6
1
1


8
6
6
2
6







Чистая стратегия Игрок В
Ожидаемый выигрыш игрока А

13 EMBED Equation.3 1415
– цена игры
13 EMBED Equation.3 1415


1
–6х1 + 8




2
–2х1 + 6




3
5х1 + 1





















Чистая стратегия
Игрока А

Ожидаемый выигрыш Игрока В
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


1
–4у1+6



2
7у1+1





















3.2. Решение игр “mЧn” симплекс–методом

Допустим, что все элементы платежной матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 положительны. Этого можно добиться, добавив ко всем членам матрицы достаточно большое число М. Это приведет к увеличению цены игры 13 EMBED Equation.3 1415 на М, а оптимальное решение 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 не изменится.
B
A
q1
q2

qn

p1

·11

·12


·1n

p2

·21

·12


·2n







pm

·m1

·m2


·mn


Найдем сначала 13 EMBED Equation.3 1415. На основе принципа целесообразности.
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415
Очевидно: 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, решение игры свелось к следующей задаче

13 EMBED Equation.3 1415 (1) – это задача линейного программирования
Оптимальная стратегия игрока В находится аналогично. Она является решением задачи.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Нетрудно видеть, что задачи (1) и (2) – пара двойственных задач. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.



Лекция 4. Линейные экономические модели

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями.
Предположим, что вся производящая сфера народного хозяйства разбита на некоторое число n отраслей, каждая из которых производит свой продукт
Показатели работы отраслей
Производственное потребление
Конечное потребление
Валовой выпуск

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i = l, ..., n должно выполняться соотношение
xi = xi1 + xi2 +...+ xin + yi, (1)
означающее, что валовой выпуск xi расходуется на производственное потребление, равное xi1 + xi2 +...+ xin, и непроизводственное потребление, равное уi. Будем называть (14) соотношениями баланса.
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т.п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостной баланс.
В. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно, величины 13 EMBED Equation.3 1415 остаются постоянными в течение ряда лет. Это обуславливается примерным постоянством используемой технологии.
В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема хj продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в качестве aijxj , где аij – постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорят, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяется и на другие виды на оплату труда, а также на нормативную прибыль. Итак, согласно гипотезе линейности имеем
xij = aij xj(i, j =1, ..., n). (2)
Коэффициенты аij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициент материалоемкости).
В предположении линейности соотношения (2) принимают вид:
x1 = a11x1 + a12x2 + +a1n xn + y1
x2 = a21x1 + a22x2 + +a2n xn + y2
..
xn = an1x1 + an2x2 + +ann xn + yn,
или, в матричной записи,
13 EMBED Equation.3 1415, (3)
где
13 EMBED Equation.3 1415

Вектор 13 EMBED Equation.3 1415называется вектором валового выпуска, вектор 13 EMBED Equation.3 1415 – вектором конечного потребления, а матрица А – матрицей прямых затрат. Соотношение (3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 это соотношение называют также моделью Леонтьева.
Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода [T0,T1] задается вектор 13 EMBED Equation.3 1415 конечного потребления. Требуется определить вектор 13 EMBED Equation.3 1415 валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений (3) с неизвестным вектором 13 EMBED Equation.3 1415 при заданных матрице А и вектору 13 EMBED Equation.3 1415. При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы (3):
Все компоненты матрицы А и вектора 13 EMBED Equation.3 1415 неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и 13 EMBED Equation.3 1415). Для краткости будем говорить о неотрицательности самой матрицы А и вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и записывать это так: 13 EMBED Equation.3 1415.
Все компоненты вектора 13 EMBED Equation.3 1415 также должны быть неотрицательными: 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов аij прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае видно, что aij совпадает со значением хij при xj = 1 (1 руб.).
Таким образом, аij есть стоимость продукции отрасли i, вложенной в 1 руб. продукции отрасли j. Отсюда, между прочим, видно, что стоимостной подход по сравнению с натуральным обладает более широкими возможностями, при таком подходе уже необязательно рассматривать «чистые», т. е. однопродуктовые, отрасли. Ведь и в случае многопродуктовых отраслей тоже можно говорить о стоимостном вкладе одной отрасли в выпуск 1 руб. продукции другой отрасли; скажем, о вкладе промышленной сферы в выпуск 1 руб. сельскохозяйственной продукции или о вкладе промышленной группы А (производство предметов потребления). Вместе с тем надо понимать, что планирование исключительно в стоимостных величинах может легко привести к дисбалансу потоков материально-технического снабжения.
Пример 1. Таблица содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить, соответственно, до 60, 70и 30 условных денежных единиц.


Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формуле (3), имеем:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид
13 EMBED Equation.3 1415. (4)
Требуется найти новый вектор валового выпуска 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица А не изменяется. В таком случае компоненты 13 EMBED Equation.3 1415 неизвестного вектора 13 EMBED Equation.3 1415 находятся из системы уравнений, которая в матричной форме имеет следующий вид:
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415. (5)
Матрица этой системы
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение системы линейных уравнений (5) при заданном векторе правой части (5) (например, методом Гаусса) дает новый вектор 13 EMBED Equation.3 1415 как решение уравнений межотраслевого баланса:
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на 52,2 %, уровень энергетики – на 35,8 % и выпуск машиностроения – на 85 % – по сравнению с исходными величинами, указанными в табл. 10.

Продуктивные модели Леонтьева

Определение. Матрица А ( 0 называется продуктивной, если для любого вектора 13 EMBED Equation.3 1415( 0 существует решение 13 EMBED Equation.3 1415 ( 0 уравнения (9.1)
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.
Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор 13 EMBED Equation.3 1415( 0 конечного потребления можно получить при валовом выпуске 13 EMBED Equation.3 1415 ( 0.
Нижеследующая теорема 1 показывает, что нет необходимости требовать существования решения 13 EMBED Equation.3 1415 ( 0 уравнения (9.1) для любого вектора 13 EMBED Equation.3 1415( 0. Достаточно, чтобы такое решение существовало хотя бы для одного вектора 13 EMBED Equation.3 1415( 0.
Условимся в дальнейшем писать 13 EMBED Equation.3 1415( 0 и называть вектор 13 EMBED Equation.3 1415 положительным, если все компоненты этого вектора строго положительны.
Теорема 1 (первый критерий продуктивности.) Если А ( 0 и для некоторого положительного вектора 13 EMBED Equation.3 1415* уравнение (7.3) имеет решение 13 EMBED Equation.3 1415* ( 0, то матрица А продуктивна.
Заметим, что на самом деле 13 EMBED Equation.3 1415> 0, что следует из 13 EMBED Equation.3 1415* = А13 EMBED Equation.3 1415* + 13 EMBED Equation.3 1415* и А ( 0, 13 EMBED Equation.3 1415*( 0, 13 EMBED Equation.3 1415* ( 0.
Уравнение Леонтьева (9.1) можно записать следующим образом:
(Е - А) 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, (6)
где Е - единичная матрица.
Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е - А.
Понятно, что если обратная матрица (Е - А)-1 существует, то из (6) вытекает
13 EMBED Equation.3 1415 (Е - А)-113 EMBED Equation.3 1415 (7)
Следующая теорема дает более эффективное условие продуктивности, чем теорема 1
Теорема 2 (второй критерий продуктивности). Матрица А ( 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна.
Доказательство. Если (Е – А)-1 существует и ( 0, то из формулы (7) следует продуктивность матрицы А.
Обратно, пусть матрица А продуктивна, Рассмотрим следующие системы уравнений:
(Е – А) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, (Е – А) 13 EMBED Equation.3 1415,..., (Е – А) 13 EMBED Equation.3 1415, где е1, е2,, еn – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) 13 EMBED Equation.3 1415( 0, 13 EMBED Equation.3 1415 ( 0,..., 13 EMBED Equation.3 1415 ( 0, что
(Е – А) 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, (Е – А)13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415,..., (Е – А) 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415. (7)
Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с1,с2,...,сп. Тогда вместо п равенств (7) можно написать одно: (Е – А)С = Е.
Следовательно, матрица (Е – А) имеет обратную С, причем С ( 0. Теорема доказана.
Пример 1. Исследуем на продуктивность матрицу
13 EMBED Equation.3 1415
В данном случае
13 EMBED Equation.3 1415
Необходимые вычисления предоставим провести самостоятельно. Получаем матрицу (Е – А)-1, которая существует и равна
13 EMBED Equation.3 1415
Мы видим, что эта матрица неотрицательна. Следовательно, А продуктивна.
Теорема 3. (третий критерий продуктивности). Матрица А ( 0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходиться бесконечный ряд.
Е + А + А2 + ... (8)
Полученный нами критерий продуктивности матрицы А (сходимость ряда (8)) в ряде случаев может быть использован для проверки матрицы А на продуктивность. Покажем, например, что если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А меньше 1*, то А продуктивна. Действительно, пусть q - наибольшая из указанных сумм, q <1. Ясно, что тогда все элементы матрицы А не превосходят q. Из правила перемножения матриц легко вывести, что любой элемент матрицы А2 не превосходит q2:
(A2)ij = ai1ajl + ai2aj2 +...+ ainanj ( q (ai1 +...+ anj) < q2 <1.
Точно так же получим, что элементы матрицы А3 не превосходит q3 и т.д. Отсюда следует сходимость ряда (8), а значит, и продуктивность матрицы А.
Например для матрицы
13 EMBED Equation.3 1415
сумма элементов каждого столбца меньше единицы. Следовательно, А продуктивна.
Аналогично доказывается, что если в неотрицательной матрице А сумма элементов любой строки меньше 1, то матрица А продуктивна. Впрочем, то же самое можно вывести и из следующего предложения: если продуктивна матрица А, то продуктивна и матрица Ат ,что следует из теоремы 2.
Пусть А 13 EMBED Equation.3 1415 0 – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А назовем такое число 13 EMBED Equation.3 1415, что все матрицы 13 EMBED Equation.3 1415, где 1<13 EMBED Equation.3 1415<1 + 13 EMBED Equation.3 1415, продуктивны, а матрица (1+13 EMBED Equation.3 1415)А – не продуктивна.
Пример 2. Выяснить, какой запас продуктивности имеет матрица А из примера 1.
Решение. Будем руководствоваться критерием продуктивности из теоремы 2 (существование неотрицательной матрицы (Е – А)-1). В данном случае
13 EMBED Equation.3 1415
Определитель этой матрицы
13 EMBED Equation.3 1415.
Обратной матрицей будет
13 EMBED Equation.3 1415.
Для продуктивности 13 EMBED Equation.3 1415 нужно, чтобы все элементы обратной матрицы были неотрицательны, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Имеем 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда матрица 13 EMBED Equation.3 1415 продуктивной при 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Запас продуктивности матрицы А равен 0,015.
.

Как отмечено выше, балансовые модели строятся в виде числовых матриц. Такую структуру имеют межотраслевой и межрайонный баланс производства и распределения продукции в народном хозяйстве, модели развития отраслей, межотраслевые балансы производства и распределения продукции отдельных регионов, модели промфинпланов предприятий и фирм и т.д. Несмотря на специфику этих моделей, их объединяет не только общий формальный (матричный) принцип построения и единства системы расчетов, но и аналогичность ряда экономических характеристик. Это позволяет рассматривать структуру, содержание и основные зависимости матричных моделей на примере одной из них, а именно, на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве.
Принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ) производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в таблице.

Производящие отрасли
Потребляющие отрасли
Конечная продукция
Валовая продукция


1
2
3


n



1
2
3
.
.
.
n
x11
x21
x31



xn1
x12
x22
x32



xn2
x13
x23
x33



xn3














x1n
x2n
x3n



xnn
Y1
Y2
Y3



Yn
X1
X2
X3



Xn

Амортизация
Оплата труда
Чистый доход
С1
V1
С2
V2
С3
V3




Cn
Vn





Валовая продукция
X1
X2

X3



Xn





Первый квадрант МОБ – это шахматная таблица межотраслевых связей. Представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.
Во втором квадранте представленная конечная продукция всех отраслей материального производства, направленная на потребление и накопление (характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода).
Третий квадрант МОБ тоже характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации. Сумма амортизации (Сj) и чистой продукции (Vj+mj) некоторой отрасли будем называть чистой продукцией этой отрасли и обозначить Zj.
Четвертый квадрант баланса отражает конечное распределение и использование национального дохода. Общий итог этого квадранта, как второго и третьего должен быть равен созданному за год национальному доходу. Рассмотрим два важнейших соотношения, отражающих сущность МОБ и являющихся основой его экономико–математической модели.
Во–первых, рассматривая схему баланса по столбцам можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:
, (8)
Во–вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли.
, (9)
Просуммируем по всем отраслям уравнение (8), в результате чего получим

Аналогичное суммирование уравнений (9) дает:

Отсюда следует соблюдение соотношения
(10)
Величины называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:
, (11)
Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i–ой отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j–ой отрасли.
С учетом формулы (11) систему баланса (8) можно переписать в виде
, (12)
или в матричной форме
(13)
Система уравнений (12) или в матричной форме (13) называется экономико–математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева).
С помощью этой модели можно выполнить 3 варианта расчетов:
А) Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (), можно определить объемы конечной продукции каждой отдельной отрасли ():
(14)
В) Задав величины конечной продукции всех отраслей (), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли ():
(15)
С) Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (13), а системой линейных уравнений (12).
Пусть , тогда (16)
Или , (17)
Коэффициенты называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков.
Определение 2. Коэффициенты полных материальных затрат показывает, какое количество продукции i–ой отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j–ой отрасли.
Анализ модели МБ приводит к следующим выводам:
а) – по определению;
б) , т.к. процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продуктов, чем создавалось;
в) – из содержательных систем .
Определение 3. Матрица называется продуктивной, если существует такой , что . Отсюда следует, что для продуктивной матрицы из (10.6) существует положительный вектор конечной продукции .
Для того, чтобы матрица была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий.
1) матрица неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица .
2) матричный ряд сходится, причем его сумма равна .
3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы , т.е. решения характеристического уравнения

строго меньше единицы
4) все главные миноры матрицы , порядка от 1 до n положительны.
Замечание. Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы является следующий признак , т.е. если величина наибольшего из сумм ее элементов в каждом столбце < 1, то матрица продуктивна.

Лекция 5. Линейные экономические модели:
модель равновесных цен, модель международной торговли

Модель равновесных цен
Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А - матрица прямых затрат, 13 EMBED Equation.3 1415(xl, x2,...,xn) – вектор валового выпуска. Обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415(р1, р2, рn – вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный p1, х1.
Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме a11, второй отрасли в объеме а21, n-й отрасли в объеме an1 т. д. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная a11 p1 + a21 p2 +...+ anl pn. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х1 первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму равную x1(a11p1 + a21p2 +...+ an1pn). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим V1 (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).
Таким образом, имеет место следующее равенство:
x1 p1 = x1 (a11 p1 +a21 p2 + +an1 pn) + V1.
Разделив это равенство на х1 получаем
p1 = (a11 p1 +a21 p2 + +an1 pn) + v1,
где v1 13 EMBED Equation.3 1415 – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции).
Подобным же образом получаем для остальных отраслей
p2 = a12 p1 + a22 p2 + + an2 pn +v2

pn = a1n p1 + a2n p2 ++ ann pn +v2
Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415, (1)
где 13 EMBED Equation.3 1415 - вектор норм добавленной стоимости.
Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева с той лишь разницей, что 13 EMBED Equation.3 1415заменен на13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 – на13 EMBED Equation.3 1415, А – на Ат.
Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.
Пример 34. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отраслей. Назовем их условно: топливно-энергетическая отрасль, промышленность и сельское хозяйство. Пусть
13 EMBED Equation.3 1415
транспонированная матрица прямых затрат, 13 EMBED Equation.3 1415= (4;10;4)
вектор норм добавленной стоимости.
Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемся формулой (1):
13 EMBED Equation.3 1415,
где СТ = (Е - АТ)-1 транспонированная матрица полных затрат.
После необходимых вычислений имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда получаем, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Допустим теперь, что в топливно-энергетической отрасли произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11. Определим равновесные цены в этом случае. Принимая во внимание, что 13 EMBED Equation.3 1415 (5,11;10;4), находим, что
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5 %, второй - на 3,5% третьей отрасли - на 4,17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска, подсчитать вызванную этим повышением инфляцию.

Модель международной торговли.
Собственные векторы и собственные значения матриц

Модель международной торговли (кратко: модель обмена) служит для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т.е. не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран- участниц.
Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже торговые войны.
Для простоты изложения рассмотрим три страны-участницы торговли с государственными бюджетами Х1, Х2, Х3, которые условно назовем США, Германия, и Кувейт. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран. Пусть, скажем, США тратят половину своего бюджета на закупку товара из своей страны, 13 EMBED Equation.3 1415бюджета – на товары из Германии, оставшуюся 13 EMBED Equation.3 1415 бюджета – на товары из Кувейта. Кувейт, в свою очередь, тратит 13 EMBED Equation.3 1415бюджета на закупки в Германии и ничего не закупает внутри страны.
Введем структурную матрицу торговли:
США Германия Кувейт
13 EMBED Equation.3 1415
Вообще, пусть аij – часть госбюджета, которую j-я стана тратит на закупки товаров i-й страны. Заметим, что сумма элементов матрицы А в каждом столбце равна единице.
После подведения итогов торговля за год страна под номером i получит выручку pi = ai1X1 + ai2X2 + ai3X3. Например, США будут иметь выручку
13 EMBED Equation.3 1415
доля США доля Германии доля Кувейта
Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны:
13 EMBED Equation.3 1415 для всех i
Предложение 1. Условием бездефицитной торговли являются равенства p = Xi, i = 1,2,3.
В матричной форме утверждение, содержащееся в предложении 1, выглядит следующим образом:
АХ = Х, (2)
где
13 EMBED Equation.3 1415
Обобщая равенства (2) рассмотрим следующее.
Определение.1. Ненулевой вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется собственным вектором квадратной матрицы А порядка n, если
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – некоторое число.
При этом число 13 EMBED Equation.3 1415 называется собственным значением матрицы А. Говорят так: 13 EMBED Equation.3 1415 есть собственный вектор матрицы А, принадлежащий ее собственному значению 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1. Найдем собственные векторы и собственные значения следующей матрицы порядка 2:
13 EMBED Equation.3 1415
Положим 13 EMBED Equation.3 1415 – вектор - столбец. Тогда из соотношения (9.10) следует, что
13 EMBED Equation.3 1415
т.е.
13 EMBED Equation.3 1415,
или
13 EMBED Equation.3 1415, (9.11)
Если вектор 13 EMBED Equation.3 1415– собственный, то это означает, что однородная система уравнений (9.11) имеет ненулевое решение. Согласно последней теореме это условие эквивалентно тому, что определитель системы (9.11) равен нулю.
13 EMBED Equation.3 1415,
или 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, собственными значениями матрицы А будут числа 2 и 3.
Найдем соответствующие собственные векторы. Подставим 13 EMBED Equation.3 1415=2 и 13 EMBED Equation.3 1415=3 в систему (9.11)
13 EMBED Equation.3 1415=2 13 EMBED Equation.3 14
·

Приложенные файлы

  • doc 18814356
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий