Анализ системы аксиом Гильберта


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Аксиоматический метод Система аксиом Гильберта Геометрия, -так же как и арифметика, - требует для своего построения только немногих простых положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений – это задача, которая со времен Евклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.Д. Гильберт Исследование аксиоматики евклидовой геометрии завершил к 1889 году Давид Гильберт в работе «Основания геометрии». Гильберт подвергнул предложенную им систему аксиом глубокому и всестороннему исследованию: доказал, что его система непротиворечива, если непротиворечива теория действительных чисел;доказал независимость некоторых аксиом, помимо аксиомы параллельных; исследовал вопрос о том, как далеко можно развить геометрию, если класть в её основание те или иные группы аксиом, на которые расчленяется система. Д. Гильберт (1862–1943) Работа Гильберта по обоснованию элементарной геометрии получила высокую оценку современников и в 1903 году была отмечена премией имени Н. И. Лобачавского. Предложенная Гильбертом система аксиом считается полной. Она состоит из пяти групп: аксиомы связи (соединения или принадлежности); аксиомы порядка; аксиомы конгруэнтности (т. е. равенства);аксиомы непрерывности;аксиома параллельности. объектам трёх родов (основные объекты) - точкам, прямым, плоскостям; трём соотношениям между ними (основные отношения), выражаемым словами «принадлежит», «между», «конгруэнтен». Что такое точка, прямая, плоскость, и каков конкретный смысл указанных соотношений, Гильберт не уточняет. И всё, что предполагается известным о них, это то, что выражено в аксиомах. Аксиомы этих пяти групп относятся к Группа I. Аксиомы соединения (инцидентности)Эта группа аксиом описывает отношения инцидентности (связи и принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям. I1 Для любых двух различных точек существует прямая, инцидентная этим точкам. I2 Для любых двух различных точек существует не более одной прямой инцидентной этим точкам.I3 Для каждой прямой существуют, по крайней мере, две точки, ей инцидентные. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии. Следующие пять аксиом вместе с указанными выше тремя завершают список аксиом принадлежности стереометрии. I4 Для любых трех точек, не инцидентных прямой, существует плоскость, инцидентная этим точкам. Для каждой плоскости существует, по крайней мере, одна точка, ей инцидентная.I5 Для трех различных точек, не инцидентных прямой, существует не более одной плоскости, инцидентной этим точкам.I6 Если две точки прямой инцидентны плоскости, то каждая точка этой прямой инцидентна плоскости (т.е. вся прямая инцидентна плоскости).I7 Если две плоскости имеют точку им инцидентную, то существует, по крайней мере, еще одна точка, им инцидентная.I8 Существуют четыре точки, не инцидентные одной плоскости. Следствия из аксиом первой группы Аксиомы первой группы обеспечивают: существование на прямой лишь двух точек; существование трех точек, не лежащих на одной прямой;существование лишь одной точки, лежащей на плоскости.Существование бесконечного множества точек на прямой должно быть строго доказано.Замечание. Аксиомы I1-2 соответствуют первому постулату Евклида. Аксиом, соответствующих остальным аксиомам первой группы, у Евклида нет. Следствия из аксиом первой группы Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки.Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.Теорема 3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь более одной общей точки.Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку, или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость. Теорема 5. На каждой плоскости существует по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой. Построим модель первой группы аксиомРассмотрим любые четыре объекта А,В,С,D (например, тетраэдр АВСD). Любую пару из этих точек назовем прямой, любую тройку точек – плоскостью. Доказательство непротиворечивости и неполноты системы аксиом соединения Имеем шесть прямых:AD, AC, AD, DC, BD, CB Имеем четыре плоскости:ABC, ABD, ACD, BCD Принадлежность точек, прямых и плоскостей определим так:1) точка принадлежит прямой или плоскости, если она входит в состав множества, определяющего прямую или плоскость;2) прямая принадлежит плоскости, если ее точки принадлежат плоскости. Выводы: 1. Существует модель системы аксиом соединения.2. Следовательно, система является непротиворечивой.3. Доказать существование четырех точек на плоскости нельзя, так как существует модель, где на плоскости имеется лишь три точки.4. Система аксиом соединения является неполной для обоснования геометрии. Есть необходимость добавить еще и другие аксиомы. Группа II. Аксиомы порядкаАксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости. Первая аксиома содержит два требования. II, 1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С – различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.II, 2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере она точка В такая, что С лежит между А и В.II, 3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. Напомним, что в «Начала» Евклида совершенно отсутствуют аксиомы порядка Гильберта Формулируемая ниже последняя аксиома порядка относится к расположению геометрических объектов на плоскости. Для того, чтобы сформулировать эту аксиому, введём понятие отрезка. Определение. Пару различных точек А и В назовём отрезком и будем обозначать символом АВ или ВА. Точки прямой, определяемой А и В, лежащие между ними, будем называть внутренними точками, или просто точками отрезка АВ. Остальные точки указанной прямой будем называть внешними точками отрезка АВ. Замечание.Аксиомы II, 1-3 не утверждают существования внутренних точек отрезка, но из II,2 вытекает, что для всякого отрезка существует хотя бы одна внешняя точка.Аксиома II,3 означает незамкнутость прямой. Она не выполняется, например, для окружности. II,4. Аксиома Паша Если А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой, и а – некая прямая в плоскости, определяемой этими точками, не содержащая ни одной из указанных точек и проходящая через некоторую точку отрезка АВ, то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка АС, либо через некоторую точку отрезка ВС (Рис. 1 ). Рис.1 Следствия из аксиом порядка Теорема 1. Существование множества точек отрезкаОтрезок АВ имеет бесконечное множество внутренних точек (т.е. точек, лежащих между А и В).Схема доказательства.(1) существует точка С, не принадлежащая прямой АВ (акс.3) (рис. 1);(2) существует точка D на прямой АС и точка C лежит между А и D;(3) существует прямая ВD, (акс.1–2) и существует точка Е и D лежит между В и Е;(4) прямая ЕС по аксиоме Паша имеет общую с АВ точку F1 (иначе ЕС совпадет с ЕD). (5) аналогично доказывается, что на АF1 существует еще одна точка F2, и т.д. E D B C A F1 Рис. 1 Следствия из аксиом порядка Теорема 2. Среди любых трёх точек одной прямой всегда существует одна точка, лежащая между двумя другими.Теорема 3. Если точки А, В и С не принадлежат одной прямой и если некоторая прямая a пересекает какие-либо два из отрезков АВ, ВС и АС, то эта прямая не пересекает третий из указанных отрезков.Теорема 4. Если В лежит на отрезке АС, и С – на отрезке ВD, то В и С лежат на отрезке АD.Теорема 5. Если С лежит на отрезке АD, а В – на отрезке АС, то В лежит также на отрезке АD, а С – на отрезке BD.Теорема 6. Между любыми двумя точками прямой существует бесконечно много других её точек.Теорема 7. Пусть каждая из точек С и D лежит между точками А и В. Тогда если М лежит между С и D, то М лежит и между А и В.Теорема 8. Если точки С и D лежат между точками А и В, то все точки отрезка СD принадлежат отрезку АВ (в этом случае мы будем говорить, что отрезок СD лежит внутри отрезка АВ).Теорема 9. Если точка С лежит между точками А и В, то 1) никакая точка отрезка АС не может быть точкой отрезка CВ, 2) каждая отличная от С точка отрезка АВ принадлежит либо отрезку АС, либо отрезку СВ. Следствия из аксиом порядка Замечания.1. Указанные выше утверждения позволяют упорядочить множество точек любой прямой и выбрать на этой прямой направление (см. ниже).2. Пока нами доказано существование на прямой лишь счетного множества точек.3. Для доказательства существования на прямой несчетного множества точек мощности континуум аксиом групп I и II недостаточно. То же относится и к доказательству бесконечности множества прямых в плоскости и плоскостей в пространстве. Для этого необходимо привлечь аксиомы непрерывности.Определение. Будем говорить, что две различные точки А и В прямой a лежат по разные стороны (по одну сторону) от третьей точки О той же прямой, если точка О лежит (не лежит) между А и В.Далее можно определить понятия луча, полуплоскости, угла, многоугольника и т.д. Можно сформулировать и доказать предложения о делении прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости, пространства на два полупространства. Таким образом, задание на любой прямой двух различных точек О и Е определяет на этой прямой луч или полупрямую ОЕ, обладающую тем свойством, что любая её точка и точка Е лежат по одну сторону от О.Выбрав на прямой а две различные точки О и Е, мы можем теперь определить порядок следования точек на прямой по следующему правилу: если А и В – любые точки луча ОЕ, то будем говорить, что А предшествует В, если А лежит между О и В,будем говорить, что точка О предшествует любой точке луча ОЕ, будем говорить, что любая точка, принадлежащая той же прямой и не принадлежащая лучу ОЕ, предшествует как точке О, так и любой точке луча ОЕ, если А и В – любые точки, не принадлежащие лучу ОЕ, то мы будем говорить, что А предшествует В, если В лежит между А и О.Легко проверить, что для выбранного нами порядка следования точек прямой а справедливо свойство транзитивности: если А предшествует В, а В предшествует С, то А предшествует С. Теорема 10. Произвольная точка О каждой прямой а разбивает все остальные точки этой прямой на два непустых класса так, что любые две точки прямой а, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по одну сторону от О, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О. Следствия из аксиом порядка Теорема 11. Каждая прямая а, принадлежащая плоскости α, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два непустых класса так, что любые две точки А и В из разных классов определяют отрезок АВ, содержащий точку прямой а, а любые две точки А и А’ из одного класса определяют отрезок АА’, внутри которого не лежит ни одна точка прямой а.В соответствие с утверждением этой теоремы мы можем говорить, что точки А и А’ (одного класса) лежат в плоскости α по одну сторону от прямой а, а точки А и В (разных классов) лежат в плоскости α по разные стороны от прямой а. Группа III. Аксиомы конгруэнтности Группы аксиом I - III позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и установить признаки конгруэнтности геометрических фигур. Сформулированные ниже три аксиомы относятся к конгруэнтности отрезков. III, 1. Если А и В – две точки на прямой а, А’ – точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.III, 2. Если отрезки А’B’ и А”B” конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.III, 3. Пусть АВ и ВС – два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ – два отрезка той же прямой, или другой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’.Замечание. Из этой аксиомы вытекает возможность перемещения отрезка АВ вдоль прямой, на которой он лежит (с сохранением его длины и направления). Будем говорить, что направленный отрезок CD получен в результате перемещения направленного отрезка AB , если отрезок CD конгруэнтен отрезку АВ и если либо отрезок AD лежит внутри отрезка ВС, либо отрезок ВС лежит внутри отрезка AD. Для формулировки следующих аксиом конгруэнтности нам понадобятся понятие угла и его внутренних точек. Определения.Пара полупрямых h и k, выходящих из одной и той же точки О и не лежащих на одной прямой, называется углом и обозначается символом В силу ранее рассмотренных теоремы любые два луча h и k, составляющие угол (h,k), определяют, и притом единственную, плоскость α.Внутренними точками (h,k) будем называть те точки плоскости α, которые, во-первых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч h, что и любая точка луча k, и, во-вторых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч k, что и любая точка луча h. Плоскостные аксиомы конгруэнтности III, 4. Пусть даны (h,k) на плоскости α, прямая а’ на этой же или на какой-либо другой плоскости α’ и задана определённая сторона плоскости α’ относительно прямой а’. Пусть h’ – луч прямой а’, исходящий из некоторой точки О’. Тогда на плоскости α’ существует один и только один луч k’ такой, что (h,k) конгруэнтен (h1,k1) , и при этом все внутренние точки (h1,k1) лежат по заданную сторону от прямой а’. Каждый угол конгруэнтен самому себе.Т.е. Каждый угол может быть однозначно отложен в данной плоскости по данную сторону при данном луче.III, 5. Пусть А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой, А’, B’ и С’ – другие три точки, также не лежащие на одной прямой. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’ и (ВАС) конгруэнтен (В’А’С’) , то (ABC) конгруэнтен (A’B’C’) и (ACB) конгруэнтен (A’C’B’). Замечания. Среди аксиом Евклида нет соответствующей аксиоме III,1;Аксиоме III,2 отвечает первая аксиома Евклида, Аксиоме III,3 – вторая.Третья аксиома Евклида – если отнять от конгруэнтных отрезков конгруэнтные, то получатся конгруэнтные отрезки – может быть доказана, как теорема.Аксиомы Евклида 1 -3 относятся ко всякого рода величинам, аксиомы Гильберта только к отрезкам. Следствия из аксиом конгруэнтности С помощью аксиом принадлежности, порядка и конгруэнтности можно доказать: три широко известные теоремы о конгруэнтности (равенстве) двух треугольников;теорема о конгруэнтности вертикальных углов;теорема о конгруэнтности углов при основании в равнобедренном треугольнике;теорема о конгруэнтности всех прямых углов;теоремы о делении отрезка и угла пополам; теорема о единственности перпендикуляра, опущенного из точки на прямую;теорема о единственности перпендикуляра, проведённого к данной точке прямой; теорема о внешнем угле треугольника; теоремы о соотношении углов и сторон в треугольнике;теорема о сравнении перпендикуляра и наклонной. Аксиомы конгруэнтности позволяют ввести операцию движения в геометрии. Определение движения Взаимно однозначное соответствие точек плоскости называется движением, если соответствующим парам точек, соответствуют конгруэнтные отрезки Замечание 1В этой группе вместо аксиом конгруэнтности можно аксиоматически задать движение и некоторые его свойства. Тогда аксиомы конгруэнтности будут являться теоремами, которые доказываются на основании аксиом движения.Вывод 1Аксиомы первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д. Вывод 2Используя лишь аксиомы I–III групп, мы не сможем установить существование предела у последовательности М1, М2, …, Мк, … , а в случае существования мы не сможем доказать его единственность. В этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не определено соответствие между действительными числами и точками прямой. Отсутствуют понятия длины отрезка, площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии еще нет понятия расстояния и понятий близости и непрерывности, связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке шаровых окрестностей.Действительно, шаром В (O, OА) с центром в точке О и радиусом ОА назовем все точки М такие, что ОМ<ОА. Далее, шар В(О,ОА1)  B(О,ОА2), если ОА1<ОА2, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В(О, ОРк ), k, где Рк– любая точка пространства. Определим последовательность точек МкВ(О,ОРк), k условиями а) и b):а) ОР1>ОР2>…>ОРк>…, что означает последовательность вложенных шаров В(О,ОР1)В(О,ОР2)… В(О,ОРк) …;b) МкВк+1 кN, что означает выбор каждой последующей точки в следующем вложенном шаре. Геометрия окружности Можно доказать.1.Конгруэнтным центральным углам в круге соответствуют конгруэнтные хорды, и обратно.2. Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.3. Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная к радиусу, соединяющему эту точку с центром, не имеет более общих точек с окружностью и называется касательной к окружности в указанной точке.4. В каждый треугольник можно вписать одну и только одну окружность.5. Две окружности могут иметь не более двух общих точек, в случае существования двух общих точек центры обеих окружностей лежат на перпендикуляре, проходящем через середину отрезка, соединяющего эти точки. Нельзя доказать.1. Что всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку круга, пересекает окружность.2. Что две окружности, из которых одна проходит через внутреннюю и внешнюю точку другой, пересекаются. Существование параллельных прямых Определение. Угол, конгруэнтный своему смежному, называется прямым.Теорема 1. Прямой угол существует.Теорема 2. Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, тот они не пересекаются между собой.Теорема 3. Если две прямые при пересечении с третьей образуют конгруэнтные соответствующие или внутренние накрест лежащие углы, то они не пересекаются.Теорема 4. Если в плоскости  даны прямая m и на лежащая на ней точка А, то в плоскости  через А проходит по меньшей мере одна прямая, не пересекающая прямую m.Замечание. Евклид доказывал существование параллельных прямых при помощи теоремы о внешнем угле треугольника. Однако это можно сделать и без нее. Группа IV. Аксиомы непрерывности С помощью аксиом принадлежности, порядка и конгруэнтности можно произвести сравнение отрезков, позволяющее заключить, каким из трёх знаков <, = или > связаны эти отрезки.Указанных аксиом, однако, недостаточно для обоснования возможности измерения отрезков, позволяющее поставить в соответствие каждому отрезку определённое вещественное число, для обоснования того, что указанное соответствие является взаимно однозначным.Для проведения такого обоснования следует присоединить к аксиомам I, II и III две аксиомы непрерывности. Первым поставил вопрос и дал точную формулировку сущности понятия непрерывности, был Дедекинд (1831 – 1916). Теория Дедекинда изложена в работе «Непрерывность и иррациональные числа» (1872 г.).После Дедекинда понятие непрерывности получило развитие в работах Вейерштрасса и Г. Кантора.Гильберт не пользуется аксиомой Дедекинда, а вместо нее вводит две аксиомы – аксиому Архимеда и аксиому полноты, которые в своей совокупности эквивалентны аксиоме Дедекинда относительно аксиом I – III групп.Аксиому линейной полноты, часто заменяют аксиомой Кантора. IV, 1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и СD – произвольные отрезки. Тогда на прямой, определяемой точками А и В существует конечное число точек А1, А2, ..., Аn, расположенных так, что точка А1 лежит между А и А2, точка А2 лежит между А1 и А3, ..., точка Аn-1 лежит между Аn-2 и Аn, причём отрезки АА1, А1А2, ..., Аn-1An конгруэнтны отрезку CD и точка В лежит между А и Аn.IV, 2 (аксиома линейной полноты). Совокупность всех точек произвольной прямой а нельзя пополнить новыми объектами (точками) так, чтобы 1) на пополненной прямой были определены соотношения «лежит между» и «конгруэнтен», определён порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнтности III, 1 – 3 и аксиома Архимеда IV, 1, 2) по отношению к прежним точкам прямой определённые на пополненной прямой соотношения «лежит между» и «конгруэнтен» сохраняли старый смысл. Аксиома Кантора. Пусть на прямой дана последовательность отрезков, удовлетворяющая двум требованиям: 1) каждый последующий отрезок содержится в предыдущем 2) не существует отрезка, принадлежащего всем отрезкам последовательности. Тогда существует точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности. Аксиома Дедекинда. Если все точки отрезка АВ, включая и его концы, распределены на два класса так, что:Каждая точка отрезка принадлежит одному и ттолько одному из этих классов, точка А принадлежит первому классу, а точка В – второму классу;Каждая точка первого класса, отличная от А, лежит между А и любой точкой второго класса, то на отрезке АВ существует одна и только одна такая точка С, что всякая точка, лежащая между А и С, принадлежит первому классу, а всякая точка, лежащая между С и В, принадлежит второму классу. Сама точка С принадлежит либо первому, либо второму классу. Замечания. Геометрия, построенная на 19 аксиомах групп I – IV, называется абсолютной геометрией. В этой геометрии ещё нет понятия параллельного переноса, поэтому ей принадлежат те и только те утверждения, которые не используют явно или неявно свойства параллельности.Конгруэнтные отрезки в абсолютной геометрии имеют равные длины, а конгруэнтные фигуры – равные числовые меры углов, площадей и объемов. Поэтому отношение двух фигур «быть конгруэнтными» в абсолютной геометрии превращается в числовые равенства длин, углов, площадей и объемов фигур или их частей.В абсолютной геометрии определено расстояние (А,В) между любыми точками А и В, если определено понятие длины на прямой.  (А,В) = длине отрезка АВ. Расстояние обладает свойствами:  (А,В) > 0АВ  (А,С)  (А,В)+(В,С),  А,В,С Причем равенство выполняется только для точек А, В, С, лежащих на одной прямой так, что A

Приложенные файлы

  • ppt 22415213
    Размер файла: 591 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий