Серия 25

Серия 25
1. Сто пиратов переносили сундуки с сокровищами. Каждый сундук переносили ровно 7 пиратов. Могло ли оказаться так, что каждый пират участвовал в переноске ровно 45 сундуков?
2. Докажите, что 7k-4k кратно 33 для любого четного числа k.
3. x, z, y - натуральные числа, x2+y2+z2 делится на 4. Докажите, что все они четные.
4. Из 9 монет по кругу 6 фальшивых, фальшивые легче. Как за 2 взвешивания точно определить хотя бы две из них?
5. В лавке можно обменять шило на мыло, или 3 мыла на 1 шило, или 1 мыло на 4 шила (но не наоборот). После нескольких обменов у Сережи оказалось столько же шила и мыла, сколько было вначале. Докажите, что количество сделанных обменов делится на 16.
6. В магазине 5 пустых пивных бутылок меняют на одну полную бутылку молока, а 10 пустых молочных бутылок на одну полную бутылку пива. Сергей Владимирович нашел в подвале 60 пустых бутылок (из-под пива и молока) и стал их обменивать. (Бутылки, получаемые при обменах, С.В. использовал в последующих обменах). В конце у С.В. осталась одна пивная бутылка.
a) Сколько обменов совершил С.В.?
б) Сколько пивных бутылок он нашел в подвале?
7. Злоумышленник переставил кнопки в лифте 13-этажного дома. Теперь номер этажа, на который лифт отправляется при нажатии на кнопку, не всегда соответствует указанному на кнопке числу. Пенсионер N, оказавшись в лифте, действовал так: находясь на некотором этаже, он нажимал на кнопку с номером этого же этажа (после чего, возможно, перемещался на другой этаж). Он установил, что с какого бы этажа не начать, после 1313 таких нажатий лифт возвращается на исходный этаж. Докажите, что действуя указанным способом можно с любого этажа попасть на любой другой.




Серия 25
1. Сто пиратов переносили сундуки с сокровищами. Каждый сундук переносили ровно 7 пиратов. Могло ли оказаться так, что каждый пират участвовал в переноске ровно 45 сундуков?
2. Докажите, что 7k-4k кратно 33 для любого четного числа k.
3. x, z, y - натуральные числа, x2+y2+z2 делится на 4. Докажите, что все они четные.
4. Из 9 монет по кругу 6 фальшивых, фальшивые легче. Как за 2 взвешивания точно определить хотя бы две из них?
5. В лавке можно обменять шило на мыло, или 3 мыла на 1 шило, или 1 мыло на 4 шила (но не наоборот). После нескольких обменов у Сережи оказалось столько же шила и мыла, сколько было вначале. Докажите, что количество сделанных обменов делится на 16.
6. В магазине 5 пустых пивных бутылок меняют на одну полную бутылку молока, а 10 пустых молочных бутылок на одну полную бутылку пива. Сергей Владимирович нашел в подвале 60 пустых бутылок (из-под пива и молока) и стал их обменивать. (Бутылки, получаемые при обменах, С.В. использовал в последующих обменах). В конце у С.В. осталась одна пивная бутылка.
a) Сколько обменов совершил С.В.?
б) Сколько пивных бутылок он нашел в подвале?
7. Злоумышленник переставил кнопки в лифте 13-этажного дома. Теперь номер этажа, на который лифт отправляется при нажатии на кнопку, не всегда соответствует указанному на кнопке числу. Пенсионер N, оказавшись в лифте, действовал так: находясь на некотором этаже, он нажимал на кнопку с номером этого же этажа (после чего, возможно, перемещался на другой этаж). Он установил, что с какого бы этажа не начать, после 1313 таких нажатий лифт возвращается на исходный этаж. Докажите, что действуя указанным способом можно с любого этажа попасть на любой другой.



Приложенные файлы

  • doc 22428599
    Размер файла: 31 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий