teor min


Аналитическая в точке функция.
Функция f(z) называется аналитической в точке z0, если существует такое число R>0, что в интервале z-z0<R функция представима степенным рядом: n=0∞an(z-z0)n=f(z).
Верхние и нижние суммы Дарбу для функции многих переменных.
Пусть f ограничена на изм. по Жордано множестве E, r={Ei}i=1i=i0 – некоторое разбиение множества E, mi= infx∈Eifx, Mi= supx∈Eifx, i=1,i0. Тогда суммы sτ=i=1i0miμEi , Sτ=i=1i0MiμEi называются соответственно нижн. и верхней суммами Дарбу, и для них справедливы неравенства: sτ≤στ≤Sτ, sτ1≤ Sτ2, ∀τ1, τ2.
Внутренняя точка множества
Пусть E⊂ Rn – некоторое множество точек. Точка x∈E называется внутренней предельной точкой множества (относительно пространства Rn), если существует – окрестность этой точки, содержащейся в множестве E, т.е. ∃ε>0:Ux, ε⊂E.Градиент функции n переменных
F(x, y) – функция, дифференцируемая в точке (x0, y0).
Рассмотрим кривую γ:x=xt, y=yt, t∈a,b, x и y таковы, что F(x, y)=0. (*)
t0∈a,b, x0=xt0, y0=yt0, x и y – диф. в окрестности т.t0. Продифференцируем (*):
xt'∂f∂x+yt'∂f∂y=0, t=t0; (xt', yt')(1)(∂f∂x,∂f∂y)(2)=0⇒1и(2) ортогональны.
(xt', yt') - вектор касательной т. t0⇒является ортогональным касательной. Этот вектор называется градиентом функции в точке t0 и обозначается gradFx0, y0.Граничная точка множества E.
Т. x∈Rn называется граничной точкой множества E⊂Rn, если в любой её окрестности существуют точки как принадлежащие E, так и не принадлежащие ему. Совокупность всх граничных точек множества E называется его границей.
График функции n переменных.
Пусть на множестве E евклидова пространства Rn опр. Функция y=f(x), x=(xi,…,xn) и пусть Rxyn+1- (n+1)-мерное пространство, x,y=x1,…,xn,y. Множество точек (n+1)- мерного пространства, где xϵE называется графиком функции f.
Дифференциал отображения
Пусть U – окрестность в пространстве Rn, точка x∈Rn. Отображение f:U→Rm называется дифференцируемым в точке x, если существует такое лин. отображение L: Rn→Rm, что fx+h=fx+Lh+ 0h, h∈Rn, h→0. Лин. опер-р L называется дифференциалом отображения f в точке x и обозначается Dx(Dfx).
Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных.
Пусть функция z=fx,y в некоторой окрестности точки (x0, y0) имеет частные производные ∂z∂x и∂z∂y , которые непрерывны в самой точке (x0, y0), тогда функция z=fx,y дифференцируема в этой точке.
Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд
Пусть функция f(x) и все её производные огранич. в совокупн. На интервале (x0-h, x0+h), т.е. ∃M>0, что ∀x∈ x0-h, x0+hи ∀ n выполняется неравенство fn(x)≤M. Тогда функция f раскладывается на этом интервале в ряд Тейлора.
Достаточное условие строгого экстремума функции многих переменных.
f определена и имеет непрерывную производную 2-го порядка в некоторой окружности точки x(0). Пусть точка x(0) является стационарной точкой функции f. Тогда если квадр. формула Adx1,…,dxn=i,j=1n∂2f(x(0))∂xi ∂xjdxi dxj положительно определена (отр. опр.), то точка x(0) является точкой строгого min(max). Если квадр. Форма не опр., то экстремума нет.
Замкнутое множество
Множество E называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, т.е. содержит все точки своего прикосновения.
Замыкание множества E⊂Rn.Совокупность ∀ т. прикосновения множества E наз. замыканием множества E и обозн. E, E⊂E.
Изолированная точка множества E⊂RnЕсли у точки x∈E ∃ окрестность, не содержащая никаких других точек множества E, кроме самой точки x, то эта тока называется изолированной точкой множества E.
Компакт
Множество A⊂Rn называется компактом, если из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит A.
Критерий Дарбу существования кратного интеграла.
Для того чтобы ограниченная на измеримом по Жордану множестве E⊂Rn функция f была интегрируемой по Риману на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы
limτ→0Sτ-sτ=0. При выполнении этих условий limτ→0Sτ=limτ→0sτ=f(x)dE.
Критерий измеримости множества Жордано.
Для того, чтобы множество E было измеримо по Жордано ⇔ чтобы оно было ограниченным и его граница ∂E имела меру Жордано, равную нулю.
Критерий Римана существования кратного интеграла
Огр. на изм. По Жордано множестве E функция f интегрируема по Риману ⟺ ∀ε>0 ∃ такое разбиение r множества E, что Sr-sr<ε, где sr и Sr – нижние и верхние суммы Дарбу функции f, соотв-ие разбиению r.
Линейное отображение.
Отображение f:Rn→Rm называется линейным, если для любых двух векторов x'∈Rn, x"∈Rn и для любых двух чисел λ', λ" ∈R выполняется равенство: f(λ'x'+λ"x")=λ'f(x')+λ"f(x") – линейный оператор, действ. из Rn в RmМатрица Якоби и Якобиан системы функций
Пусть задана система функций ui=uit1,…,tn, i=1,m, имеющихся в некоторой т. t(0) все частные производные первого порядка. Тогда матрица, сост. Из частных производных этих функций в точке t(0).
∂u1∂t1∂u1∂t2…∂u1∂tn∂u2∂t1∂u2∂t2…∂u2∂tn∂um∂t1∂um∂t2…∂um∂tn; ∂ui∂tj, i=1,m;i= 1,n, называется матрицей Якоби данной сист. функций. Якобиан: ∂(u1, …, um)∂(t1, …, tm), b(u1, …, um)b(t1, …, tm).
Метод неопределённых множителей Лагранжа.
Если в точке x0 условного экстремума функции f0 относительно ур-й связи (1) fix=0, i=1,m, градиенты ∇f1,…, ∇fm линейно независимы, т.е. ранг матрицы Якоби равен m, то существуют такие числа λ1,…, λm, что ∇f0≠j=1m λj∇fj=0 (5), т.е. градиент функции f0 является линейной комбинацией градиентов f1,…, fm.
Запишем (5) в координатной форме: ∂f0∂xi+j=1mλj∂fjxi=0; i=1,n (6)
Введем функцию Fx≝f0x+j=1mλjfj(x) (7)
Числа λj удовлетворяют равенству (6).
Функция (7) называется функцией Лагранжа, а λj – множителями Лагранжа.
Условие (6) означает, что ели т. x0 является т. усл. экстремума функции f0 относительно ур-й связи (1), то она явл. стац-й т. для ф-ии Лагранжа, т.е. ∂Fx0/∂xi=0, i=1,n.
Множества измеримые по Жордано(определение)
Множество E измеримо по Жордано, если нижняя и верхн. Мер Жордано множества E совпадают.
Необходимое условие экстремума функции многих переменных в терминах первого дифференциала.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x(0). Если она является точкой экстремума функции f(x) и в ней существует какая-либо из производных ∂f∂xj(j=1,…, n), то производная в этой точке = 0, т.е ∂f(x0)∂xj=0.
Следствие: если функция f(x) дифференцируема в точке экстремума x0, то её дифференциал=0, т.е. ∂fx0=0.Открытое множество.
Множество, любая точка которого является его внутренней точкой, называется открытым множеством.
Отображение, дифференцируемое в точке.
Пусть U- окружность в пространстве Rn т. x∈ Rn . Отобр. f:U→ Rm называется дифференцируемым в т. x, если ∃ такое множество отобр. l: Rn→Rm, что fx+n=fx+lh+o(h), h∈ Rn ,h→0.Повторные пределы.
Для функций многих переменных можно рассматривать пределы различных видов:
limxi1 →xi1(0), limxi2 →xi20, ..., limxin →xin0f(x1, …, x2), где i1, i2,…, in- нек-я перестановка чисел 1, …, n, а x(0)=(x10, …, xn0). Предел такого вида наз. повторными.
Последовательность точек пространства Rn, стремящаяся к бесконечности.
Последовательность точек x(m)∈Rn, m=1,2,…, наз. →∞, если расстояние её членов от начала коорд. 0=(0,…,0) →+∞, т.е. limm→∞Sxm, 0= +∞. В этом случае пишут . limm→∞xm= ∞.
Предел функции многих переменных.
По Гейне: Пусть f определена на некотором множестве Xf⊂Rn, E⊂Xf, x(0) - предельная точка множества E. Число a называется пределом функции f по множеству E в точке x(0), если для любой последовательности точек x(m)≠x(0), m=1, 2,…, такой, что limm→∞x(m)=x(0), числовая последовательность {f(x(m))} сходится к a, т.е. limm→∞x(m)=a. В этом случае пишут limx→x0x∈Efx=a.По Коши: Пусть точка x(0) является предельной точкой множества E⊂Xf. Число a называется пределом функции f по множеству E в точке x(0) (при x→x(0)), если
∀ε>0 ∃δ>0∀x∈E, x≠x(0): S(x, x0)<δ(fx-a<ε)Предел функции по кривой.
Если множество E является множеством точек некоторой кривой, проходящей через x(0), то в этом случае предел функции f по множеству E при x→ x(0) называется пределом функции по данной кривой в точке x(0).Предел функции в направлении прямой
Пусть через т. x(0) проведена прямая L и U(x(0)) – проколотая окрестность т. x(0). Предел f в точке x(0) по U(x(0))∩L называется пределом функции f в точке x(0) в направлении прямой L.
Предельная точка множества E⊂Rn.
т. x n-мерного евклидового пространства Rn называется предельной т. множества E, если любая окр-ть т. x содержит по крайней мере одну т. множества E , отличную от x.
Предел функции многих переменных в точке в направленной прямой
Пусть через точку x(0) проведена пряма L и U(x0) – проколотая окрестность т. x(0) предел f в точке x(0) в направлении прямой L.
Радиус сходимости степенного ряда
Пусть задан ряд (1) n=0∞anzn. Если R- неотр. Число или +∞, обладает свойством: ∀z<R ряд (1) сходится, а при ∀z>R - расходится, то R – радиус сходимости ряда (1).
Ряд Тейлора для функций многих переменных.
Пусть функция f(x) определена в некоторой точке x(0) и именно в этой точке производные ∀ порядков, тогда ряд n=0∞fnx0n!x-x0 называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0.
Свойства мер Жордано
1) для ∀ измеримого множества μE≥0: 0≤μ*E≤μ*E;
2)(монотонность): если E1⊂E2, то μ*E1≤μ*E2, μ*E2≤μ*E1;
3)если E1 и E2- измеримые мн-ва, и E1 ⊂ E2 , то μE1≤μE2.
Свойства расстояний в E , n-мерный шар, окрестности точек
Свойства расстояния:
Sx, y≠0, Sx, y=0⟺x=y Sx, y=Sy, xSx, r≤Sx, y+Sy, rСовокупность всех точек y∈Rn этого евклидового пространства таких, что Sx, y<ε, называется n-мерным шаром с ц. в точке x, y и радиусом R=ε (сферической или шаровой окрестностью т. x в пространстве R2:U(x, ε))
Пусть x=x1, …, xn, δi>0, i=1, nPx, δ1,…, δn={y=y1,…,yn:xi-δi<yi<xi+δi i=1, n}Px, δ1,…, δn называется n-мерным параллелепипедом с ц. в точке x. Если все δi равны, то множество P называется n-мерным кубом с ц. в точке x.
Сходящая последовательность точек в пространстве RnПоследовательность точек x(m) называется сходящейся к точке x∈Rn, если выполняется равенство: limm→∞x(m)=x.
Теорема Абеля для степенных рядов.
Если степенной ряд n=0∞anzn сходится при z=z0≠0, то он сходится , и при том абсолютно при любых z, для которых z<z0.
Теорема об обратном отображении в случае непрерывно дифференцируемого отображения c≠0 якобианом и следствие из неё.
Пусть отображение y=fx=y1=f1(x1, …,xn). . . . . .yn=fn(x1, …,xn) – непрерывно дифференцируемое отображение откр. множества G⊂Rn в пространство Rn. Если якобиан этого отображения не обращается в 0 в точке x(0)∈G, то существуют такие окрестности Ux иUy в точке x(0)=x01,…,x0n, y0=f(x0), что отображение fx, x∈Ux на окрестность Uy является взаимно однозначным отображением, а обратное ему отображение непрерывно дифференцируемо на окрестности Uy.
Следствие: Пусть fx - непрерывно дифференцируемое отображение откр. множества G⊂Rn в пространство Rn. Если якобиан этого отображения не равен нулю на G, то образ множества G при этом отображении также является открытым множеством.
Теорема о неявных функциях, определяемых одним уравнением.
Пусть функция F(x,y) непрерывна в некоторой окружности точки (x0,y0) и имеет в этой окружности частную производную: Fyx,y, которая непрерывна в точке (x0,y0). Тогда, если Fx0,y0=0, Fyx0,y0≠0, то ∃ такие ок-ти Ux0 и U(y0) , что ∀x∈Ux0∃! решение y=f(x)∈U(y0) уравнения Fx,y=0. Это решение непр. всюду в U(x0), и y0=f(x0). Если дополнительно предположить, что функция F имеет в нек-й окр-ти т. (x0,y0) частную производную по x, т.е. Fxx,y, непрерывна в т. (x0,y0), то функция f(x) так же имеет в т. x0 производную, и для нее справедлива формула: f'x0=-Fx(x0,y0)Fy(x0,y0)Теорема о равенстве смешанных производных.
Пусть функция f(x, y) определена вместе со своими частными производными fx,fy,fxy,fyx в некоторой окрестности точки (x0,y0). Смешанные производные в этой точке непр. и равны.
Точка прикосновения множества E⊂Rn.
Точка x∈Rn называется точкой прикосновения множества E⊂Rn, если любая окрестность этой точки содержит по крайней мере одну точку множества E. Любая точка множества E – точка прикосновения множества E.
Условный экстремум
Пусть на множестве G задана функция y=f0(x). Т. x(0)∈E={x:fix=0, i=1,m} называется точкой условного экстремума функции f0(x) отн-но (или при выполнении) уравнений связи (fix=0, i=1,m), если она является т.обычного экстремума этой функции, рассматриваемой только на множестве E.
Формула Коши-Адамара.
Пусть R - радиус сх-ти степенного ряда n=0∞anrn, тогда R=1limn→∞nan – формула Коши-Адамара.
Формула конечных приращений для функции многих переменных.
Если функция fx1,…,xn диф-ма в ∀ т. некой выпуклой области G , то для ∀ пары точек x1,…,xn и x1+∆x1,…,xn+∆xn ∃ такое число 0<θ<1, что имеет место формула:
fx1+∆x1,…,xn+∆xn-fx1,…,xn=i=1n∂fx1+θ∆x1,…,xn+θ∆xn∂xi∆xifx+∆x-fx=i=1n∂fx+θ∆x∂xi∆xix=x1,…,xn; ∆x+x=(x1+∆x1,…,x2+∆x2θ∆x=(x1+θ∆x1,…,xn+θ∆xn)Функция многих переменных непрерывная в точке.
Функция f определена на множестве E⊂Rn, называется непрерывной в точке x0∈E по множеству E, если ∀ε>0 ∃ δε>0 ∀x∈E, ρx,x0<δ:fx-f(x(0))< ε . Другая формулировка: limx→x0x∈Efx=f(x(0)), если x(0)-предельная точка.
Формула Тейлора для функций нескольких переменных с дополнительным членом в форме Лагранжа.
∆z=k=1n-11k!(∆x∂∂x+∆y∂∂y)(k) fx0, y0+rm-1(∆x,∆y)rm-1∆x,∆y=1m!(∆x∂∂x+∆y∂∂y)(m)fx0+∆x, y0+∆yФормула Тейлора для функций нескольких переменных с дополнительным членом в форме Пеано.
∆y=k=1m1k!∆x1∂∂x1+…+∆xn∂∂xnkfx0+rm∆x, где
rm∆x=m1+…+mn=mεm1…εmn∆x∆x1m1…∆xnmnlimρ→0ε1,…,εmn(∆x)=0, ρ=i=1n∆xi2rm∆x=ε∆xρm, limρ→0ε=0

Приложенные файлы

  • docx 19012510
    Размер файла: 48 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий