Tema3

ТЕМА 3. ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

3.1 Примеры моделей инженерных и экономических задач.

На этом этапе необходимо на базе физической (концептуальной) схемы сформировать набор корректных математических соотношений: уравнений, неравенств, формул для величин типа “черный ящик”. Следует также предусмотреть какую-то совокупность начальных и граничных условий, если это необходимо. Этот набор соотношений должен быть взаимосвязанным и ориентированным на определение искомых характеристик объекта или системы. Обычно математические модели формируются специалистами предметной области (инженер, экономист, физик, биолог и т.д.) хотя математики тоже могут принимать участие. Следует использовать “прототипы”, т.е. уже кем-то сформированные математические модели. При математических преобразованиях необходимо быть внимательным в отношении единиц измерения. Ниже приводятся примеры формирования математических моделей для задач А, B, C, изложенных в Теме 2.

A. Нейтрализатор продуктов сгорания.
Здесь необходимо сформировать математическую модель на основе соотношений:
- уравнения химической кинетики:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.1)
где 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 - мольная концентрация NO в продуктах сгорания.
формула для определения перепада давления (см. Рис. 3.1):

13 EMBED Equation.3 1415 (3.2)
где 13 EMBED Equation.3 1415 = Па; [(] - коэффициент гидравлического сопротивления (безразмерная величина);
13 EMBED Equation.3 1415 [dp] = м – условный диаметр пор; [(] = м2/сек – кинематическая вязкость; [(] – пористость каталитического слоя.











Рисунок 3.1 Фрагмент слоя катализатора

- уравнение расхода:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.3)
где [G] = кг/сек; [F] = м2 - площадь каталитического слоя, через который проходят продукты сгорания; 13 EMBED Equation.3 1415; d, L – диаметр канала и длина каталитического слоя.
- уравнение состояния:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.4)
где [(] = кг/кмоль – молекулярная масса продуктов сгорания.
формула связи мольных долей NO с концентрациями:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.5)
Заданными параметрами являются: 13 EMBED Equation.3 1415. Необходимо определить мольную долю NO на выходе из нейтрализатора (13 EMBED Equation.3 1415) и 13 EMBED Equation.3 1415.
Этот начальный вариант математической модели, включающий уравнения (3.1 – 3.5) и вспомогательные соотношения, можно упростить. В частности преобразуем формулу (3.2), подставляя в нее вспомогательные соотношения:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.6)

Далее, подставив вместо CNO в (3.1) формулу (3.5), получим:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.7)
Так как величины 13 EMBED Equation.3 1415 являются постоянными, то их можно вынести за знак дифференциала и сократить. Тогда получим:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.8)
Считая kNO постоянной, можно проинтегрировать уравнение (3.8): 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.9)
Время движения продуктов сгорания внутри каталитического слоя ((f) определяем по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.10)
Тогда окончательно для определения 13 EMBED Equation.3 1415 получим простую формулу:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.11)
Таким образом, вся математическая модель стала простой, выраженной в явном виде с ясным алгоритмом типа “последовательность формул”, включающим соотношения (3.6, 3.10, 3.11). Отметим, что в этой модели используются 2 размерности универсальной газовой постоянной: 13 EMBED Equation.3 1415 в (3.11) и 13 EMBED Equation.3 1415 в (3.10).

B. Охлаждение помещения мастерской.
При формировании математической модели этой задачи примем, что оборудование имеет массу Mоб и среднюю удельную теплоемкость Cоб. Тогда для внутренней энергии помещения можно записать:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.12)

Отсюда, используя (2.5), получим:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.13)

Оставляя в левой части (3.13) только производную, получим 1-ое уравнение математической модели:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.14)

Используя соотношения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, можно исключить 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (см. 2.6) и тогда в математической модели появятся еще 2 уравнения:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.15)

Последним уравнением математической модели будет уравнение (2.7), которое запишем в виде:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.16)

Для этого уравнения необходимо задать начальные и граничные условия:
- для внутренней поверхности стенки 13 EMBED Equation.3 1415;
- начальное распределение температуры внутри стенки 13 EMBED Equation.3 1415 при x=0((, например, линейное распределение:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.17)

Параметрами модели будут следующие величины: 13 EMBED Equation.3 1415, а найти требуется 13 EMBED Equation.3 1415. Однако для этого необходимо решить систему 2-х обыкновенных дифференциальных уравнений и одного уравнения в частных производных (3.16) с начальными условиями (3.17). Аналитически такую систему решить невозможно, поэтому следует применять какой-либо из численных методов с созданием соответствующей программы расчета.

С. Изменение зарплаты и занятости
Уравнения в конечных разностях (2.8, 2.9) являются неудобными при формировании (преобразовании ) математической модели. Поэтому, устремляя в этих уравнениях (t ( 0, получим соотношения:

13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (3.18)

Перенеся dt в левую часть, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

13 EMBED Equation.3 1415 (3.19)
13 EMBED Equation.3 1415 (3.20)
с начальными условиями: p(t=0) = p0; N(t=0) = N0. Параметрами задачи являются: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Систему (3.19-3.20) можно интегрировать численными методами. Однако попробуем преобразовать ее с целью упрощения алгоритма. Продифференцируем по времени уравнение (3.19) с заменой dN/dt:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.21)
Сделав в (3.21) замену ( = p – pu, получим:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.22)
при начальных условиях: 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение (3.22) легко интегрируется в квадратурах (аналитически) и его общим решением будет:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.23)

где 13 EMBED Equation.3 1415
В данном случае преимуществами аналитического решения по сравнению с численным интегрированием являются:
- возможность сразу же оценить свойства искомой характеристики; p = p(t) – периодическая кривая с периодом 13 EMBED Equation.3 1415;
- алгоритм решения является очень простым, включающим набор последовательных формул.
К сожалению, в реальном математическом моделировании аналитические решения встречаются весьма редко.
Часто при интегрировании ОДУ и уравнений в частных производных в учебниках или методических пособиях решения даются в аналитической форме без вывода (как в примере С). Необходимо уметь проверять эти решения и естественный способ этой проверки – подстановка решения в соответствующие уравнения. Например, для проверки правильности общего решения (3.23) подставим его в уравнение (3.22). Дифференцируя
· по t, получим:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.24)
Отсюда для второй производной имеем:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.25)
Подставляя общее решение (3.23) в правую часть (3.22) получим то же самое выражение:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.26)

т.е. левая часть и правая часть уравнения (3.22) равны. Это означает, что общее решение (3.23) является верным.
Теперь проверим верность частного решения, т.е. удовлетворения значений 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 начальным условиям. Подставив в (3.23) t = 0 и 13 EMBED Equation.3 1415, получим: 13 EMBED Equation.3 1415, что соответ- ствует 1-му начальному условию, т.е. значение B определено правильно.
Для проверки правильности значения A подставим в (3.24) t = 0 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, что соответствует 2-му начальному условию, т.е. значение A определено правильно.

3.2. Формулировка задач оптимизации

Оптимизация характеристик какого-либо объекта, системы – это одна из основных проблем при решении экономических, инженерных, управленческих и производственных задач. Поэтому была создана особая научно-прикладная дисциплина “Методы оптимизации”. Постановка и решение задач оптимизации органично связано с математическим моделированием, являясь его частью. Ранее при изучении математики вы сталкивались с простыми задачами оптимизации.
Пример. Найти максимальный объем параллелепипеда (Фиг.3.2), если а + b +с = const = 18 м при условии b = 2с; a > 0, b > 0, c > 0.







Фигура 3.2 Параллелепипед со сторонами a, b, c

По этой задаче можно отметить следующие свойства:
- надо так сформулировать задачу, чтобы какая-то величина при изменении некоторых параметров стремилась к максимуму (или минимуму);
- в задаче могут быть какие-либо ограничения;
- число искомых величин больше, чем число уравнений.
В этом примере задача оптимизации формулируется следующим образом: Найти значения параметров a, b, c и значения максимального объема при удовлетворении соответствующих ограничений. Легко определить, что требуется найти:

V = a·b·c max

при ограничениях:

a +b + c – 18 = 0 (равенство)
b – 2c = 0 (равенство)
a > 0, b > 0, c > 0 (неравенство)

Проиллюстрируем известный вам способ решения:

V = a·b·c = a·2c·c= (18 – b – c)·2c2 = (18 – 3c)·2c2 = 36c2 – 6c3 (3.27)

В точке экстремума производная dV/dc = 0. Отсюда получим:

36·2c – 18c2 = 0 т.е. 4 – с = 0

что приводит к следующему решению: c = 4, b = 8, a = 6, Vmax = 6
·8
·4 = 192.
В задачах оптимизации существует особая терминология, в частности для нашего примера объем V называется функцией цели, a, b, c - варьируемые параметры. Отметим также, что решение задачи было получено аналитически, но в реальности задачи оптимизации являются довольно сложными и аналитически не решаются. Обычно требуется применение численных методов, что является содержанием дисциплины “Методы оптимизации”. В этой дисциплине существует общая формулировка задач оптимизации:

Z = f(x1,, xi,,xn) max (min) – функция цели. (3.28)

hj(x1,, xi,,xn) = 0 - ограничения типа равенства (3.29)

gj(x1,, xi,,xn) > 0 - ограничения типа неравенства (3.30)
i = 1,, n; j = 1,, me; (для равенств) ; j = me + 1,, m (для неравенств)
x1,, xi,,xn - варьируемые параметры; m – общее число ограничений.

Задачи типа (3.28 – 3.30) являются:
- задачами линейной оптимизации, если Z, hj и gj – линейные функции варьируемых параметров;
- задачами нелинейной оптимизации, если хотя бы одно из выражений Z, hj и gj является нелинейной функцией варьируемых параметров;
- задачами целочисленной оптимизации, если варьируемые параметры x1,, xi,,xn – целые числа.
Таким образом, для решения какой-либо задачи оптимизации необходимо уметь сформулировать эту задачу и решить ее. В нашем курсе лекций мы будем изучать только формулировку задач оптимизации, т.к. методы решения уже хорошо отработаны и встроены в различные программные системы, например, EXCEL и MATLAB. Ниже приводятся примеры формулировки задач оптимизации.

P1. Рационализация питания учащихся. (Тема 2, задача D). Обычно формулировка задач включает 3 шага:
a) выбор варьируемых параметров. В этой задаче (см. Таблицу 2.1) примем на одного ученика в неделю количество (кг): x1 –мяса, x2 –крупы, x3 –масла, x4 –овощей, x5 –хлеба.
b) определение целевой функции. Для нашей задачи имеем:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.31)
где pi (руб/кг) - цена 1 кг продукта.
c) формирование ограничений. Для данной задачи имеются следующие ограничения:
- по белкам:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.32)

- по жирам:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.33)

- по углеводам:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.34)

- по витаминам:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.35)

- физические ограничения: x1 >0, x2 >0, x3 >0, x4 >0, x5 >0.

Эта задача является задачей линейного программирования (линейной оптимизации), имеет 5 параметров, 9 ограничения типа неравенств и надо найти значения Z = Zmin, 13 EMBED Equation.3 1415, где индекс * отмечает значения варьируемых параметров, соответствующих оптимальному значению целевой функции.

P2. Производство радиоприемников. Малое предприятие “Волна” производит радиоприемники типов A, B, C и каждое изделие приносит прибыль: тип A –150 руб., тип B – 300 руб, тип C - 500 руб. Минимальное производство этих аппаратов в неделю составляет 20 шт. –типа A, 80 шт. –типа В и 60 шт. –типа С. Каждая модель требует определенного времени на создание компонентов, на монтаж, на отладку. В частности:
- для производства единицы модели A требуется: 3 часа на создание компонентов, 4 часа на монтаж и 1 час на отладку;
- для производства единицы модели B требуется, соответственно: 3,5 часа, 5 часов и 1,5 часа;
- для производства единицы модели C требуется, соответственно: 5 часов, 8 часов и 3 часа.
В течение следующей недели предприятие располагает числом специалистов, которые обеспечат всего: 1200 часов на создание компонентов, 1600 часов на монтаж и 480 часов на отладку. Каждый специалист может работать по любому типу радиоприемников. Необходимо определить, сколько аппаратов типов A, B, C следует изготовить, чтобы обеспечить максимальную прибыль. Формулировка задачи:
a) Выбор варьируемых параметров. Примем, что такими параметрами являются: x1 – число аппаратов типа A, x2 – число аппаратов типа B и x3 – число аппаратов типа C, производимых за неделю, соответственно.


b) Определение целевой функции. Для нашей задачи имеем:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.36)
где Z – общая прибыль за неделю.
c) Формирование ограничений. Для данной задачи имеются следующие ограничения:
- по созданию компонентов:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.37)

- по монтажу:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.38)

- по наладке:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.39)

- по минимальному производству:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.40)

Необходимо найти 13 EMBED Equation.3 1415, соответствующие максимальному значению Zmax.

P3. Охрана магазина. В гипермаркете “Шатлык” необходимо обеспечить охрану товаров и здания от недобросовестных покупателей, нарушителей порядка и ЧП. Дирекция определила количество охранников, требующихся в различные периоды суток (Таблица 3.1):

Таблица 3.1 Количество охранников в различные периоды суток

N периода
1
2
3
4
5
6

Период (с по часов)
04
48
812
1216
1620
2024

Число охран. (не менее)
8
10
21
28
36
18


Каждый охранник должен дежурить последовательно 2 периода и только один раз в сутки. Определить минимальное число охранников, которое необходимо нанять на работу. Формулировка задачи:
a) Выбор варьируемых параметров. Примем, что такими параметрами являются:
x1 – число охранников, заступивших на дежурство с 0 часов и далее, соответственно, x2 – с 4 часов, x3 – с 8 часов, x4 – с 12 часов, x5 – с 16 часов, x6 – с 20 часов.
b) Определение целевой функции. Каждый охранник, который заступает на дежурство, нанят на работу, поэтому для нашей задачи имеем:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.41)
где Z – общее количество, нанятых охранников.
c) Формирование ограничений. Отметим, что xi (i =1,,6) являются целыми и неотрицательными, а также, что во втором периоде будут дежурить x1 охранников, т.к. должны продолжать дежурить еще один период и x2 охранников, заступивших на дежурство во 2-м периоде. Поэтому для данной задачи имеются следующие ограничения:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.42)

Таким образом, задача включает целевую функцию (3.41), ограничения (3.42) и ограничения
xi
· 0 и целые, i =1,,6.

P4. Транспортная задача. Объединение “Алдермыш-F” имеет 3 фабрики (AF1, AF2, AF3) по производству молочной продукции, которую необходимо развозить каждый день по 4-м населенным пунктам: К1, К2, К3, К4. Фабрики производят в сутки: AF1 – 3 тонны, AF2 – 5 тонн, AF3 – 4 тонны. Населенным пунктам требуется в сутки молочной продукции в количестве: К1 – 2 тонны, К2 – 4 тонны, К3 – 1 тонна, К4 – 5 тонн. Транспортные расходы на 1 кг продукции приведены в Таблице 3.2:

Таблица 3.2 Транспортные расходы (Cij) на доставку продукции (руб/кг)


К1
К2
К3
К4

AF1
1,1
0,5
1,5
0,3

AF2
0,6
0,5
*
1,5

AF3
1,3
0,2
1,1
0,7

* - нет дороги

Эти расходы требуется минимизировать, т.е. найти оптимальное количество продукции, которое следует отправить с каждой фабрики в каждый населенный пункт. Формулировка задачи:
a) Выбор варьируемых параметров. Примем, что такими параметрами являются:
xij – количество продукции, перевозимой с i-ой фабрики в j-ый населенный пункт. Таким образом, общее число варьируемых параметров равно 12 (i = 1,,3; j = 1,,4). В связи с отсутствием дороги между фабрикой AF2 и пунктом К3 примем условно транспортные расходы на этом участке очень высокими, например, 20 руб/кг.
b) Определение целевой функции. Общие расходы составляют:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.43)

Величину Z необходимо минимизировать.
c) Формирование ограничений. Каждая фабрика имеет ограничения по производительности, поэтому можем написать следующие соотношения:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.44)

Каждый населенный пункт имеет ограничения по потреблению, поэтому можем написать следующие соотношения:

13 EMBED Equation.3 1415 (3.45)

Запишем также ограничения по неотрицательности варьируемых параметров: 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, данная транспортная задача является задачей линейной оптимизации, имеет 12 варьируемых параметров, 7 ограничений типа “равенство”, 12 ограничений типа “неравенство” и требуется найти Zmin и соответствующие ей значения 13 EMBED Equation.3 1415.


Контрольные вопросы

1. Что такое “ прототип ” математической модели?

2. Какая разница между специалистом предметной области и математиком? Специалистом какой предметной области вы станете после окончания университета?

3. Приведите какие-либо уравнения с граничными и начальными условиями. Какая разница между граничными и начальными условиями?

4. К задаче “Нейтрализатор продуктов сгорания”:
а) приведите пример пористого тела из (вашего опыта). Что такое пористость?
б) выведите формулу для площади каталитического слоя (F).
в) что такое Re,
·, W, 13 EMBED Equation.3 1415 в данной задаче?
г) Напишите формулу для определения давления на выходе из нейтрализатора.
д) Какие величины являются неизвестными в этой задаче?
е) Выведите формулу (3.10).

5. К задаче “Охлаждение помещения”:
а) Что такое Q+ и Q
· ? Зачем эти величины исключаются из математической модели?
б) Объясните физический смысл уравнения (3.15).
в) Запишите полностью итоговую математическую модель с начальными и граничными условиями (без промежуточных соотношений).
г) Какие величины в этой модели являются неизвестными?
д) Что такое 13 EMBED Equation.3 1415?

6. К задаче “Зарплата и занятость”:
а) Выполните преобразования от уравнений (3.19, 3.20) к уравнению (3.22).
б) Почему в уравнении (3.22) 2 начальных условия? Как получены эти начальные условия?
в) Чем отличаются общее и частное решения дифференциального уравнения?
г) Укажите принципиальный характер изменения решения p(t)?
д) Используя соотношение (3.24) выведите формулу для определения N(t)?

7. Что такое “простые” задачи оптимизации? Приведите примеры.

8. Перечислите свойства задач оптимизации. Что такое функция цели?
9. Какая разница между задачами: линейной оптимизации, нелинейной оптимизации, целочисленной оптимизации?

10. Что такое “Формулировка задач оптимизации”? Каким этапом математического моделирования она соответствует, а каким – нет?

11. В задаче P1 по ряду обстоятельств произошло следующее изменение условий:
а) Цена на мясо увеличилась до 210 руб/кг, хлеба на одного ученика в неделю требуется не менее 1 кг. Переформулируйте задачу по отношению к начальному варианту?
б) Крупу изъяли из рациона и вместо нее ввели макароны стоимостью 15 руб/кг со следующим содержанием полезных веществ: белки – 0,2 кг белков на 1 кг макарон; жиры – 0,1 кг; углеводы – 0,6 кг; витамины – 0,08 кг. Переформулируйте задачу по отношению к начальному варианту.

12. В задаче P2 произошли следующие изменения:
а) увеличилось число специалистов. Предприятие теперь располагает: 1800 часов на создание компонентов, 2400 часов на монтаж и 800 часов на отладку. Кроме того, в связи с покупкой нового оборудования сократилось время на монтаж одной единицы: модели А – до 3 часов, B – до 3,5 часов, С – до 6 часов. Переформулируйте задачу по отношению к начальному варианту.
б) в производство внедрили новую модель радиоприемника типа D, которая обеспечивает прибыль 250 руб. за единицу продукции при затратах времени: 0 часов на изготовление компонента (все компоненты покупные), 3 часа – на монтаж и 1 час на отладку. В течение недели должно быть изготовлено не менее 10 единиц этой модели. Переформулируйте задачу по отношению к начальному варианту.

13. В задаче “Охрана магазина” дирекция решила разделить дежурство на 8 периодов по 3 часа в каждом и каждый охранник должен дежурить по 3 периода последовательно в течение суток. Распределение охранников по периодам приведено в Таблице 3.3. Переформулируйте задачу по отношению к начальному варианту.

Таблица 3.3 Распределение охранников по периодам

Период
1
2
3
4
5
6
7
8

Число охранн.
9
12
24
32
38
32
24
12


14. В транспортной задаче в связи с открытием новой фабрики (AF4) мощностью 4 тонны молочной продукции в день объединение решило продавать свою продукцию в населенный пункт К5 в количестве 4 тонны в день (но не обязательно только с новой фабрики). Транспортные расходы (руб/кг) с фабрики AF4 до населенных пунктов приведены в Таблице 3.4, а транспортные расходы от других фабрик до населенного пункта К5 приведены в Таблице 3.5. Переформулируйте задачу по отношению к начальному варианту.

Таблица 3.4 Транспортные расходы (руб/кг) с фабрики AF4 до населенных пунктов

Насел.пункт
К1
К2
К3
К4
К5

AF4
2
1,2
3,1
0,7
1,5



Таблица 3.5 Транспортные расходы (руб/кг) до населенного пункта К5

Фабрика
AF1
AF2
AF3

К5
3,2
1,3
2,7



13PAGE 14115


13PAGE 143715



W0 13 EMBED Equation.3 1415

W0 13 EMBED Equation.3 1415

x


·

c

a

b1

W




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 19013146
    Размер файла: 235 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий