termekh zhauaptar


1Статиканың аксиомалары
1 – аксиома (екі күштің тепе-теңдігі туралы аксиома). Екі күш әсер ететін қатты дене тепе-теңдікте болу үшін олардың модульдері тең болып, бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталуы қажет және жеткілікті (1.2 сурет). Демек,
.
2 – аксиома. Қатты денеге әсер ететін кез келген күштер жүйесіне нөлге пара-пар күштер жүйесін қосқаннан немесе алып тастағаннан алғашқы күштер жүйесінің әсері өзгермейді.
1 және 2 аксиомалардың салдары. Күшті өзінің әсер ету сызығының бойымен кез келген нүктеге көшіруге болады, одан күштің денеге әсері өзгермейді.
3 – аксиома (күштер параллелограмы туралы аксиома). Қатты дененің бір нүктесіне түскен екі күшті осы күштердің геометриялық қосындысына тең және сол нүктеге түскен тең әсерлі күшпен алмастыруға болады. Тең әсерлі күш аталған күштерден тұрғызылған параллелограмм диагоналімен анықталады (1.3 сурет): .
Тең әсерлі күштің модулі: .
4 – аксиома. Екі дене бір-біріне әрқашан сан мәндері тең, бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді (1.4 сурет).
.
5 – аксиома (қатаю аксиомасы). Күштер жүйесі әсер ететін кез келген деформацияланатын денені тепе-теңдіктегі абсолют қатты дене ретінде қарастыруға болады.
6 - аксиома (байланыстардан арылу аксиомасы). Кез келген еркін емес денені еркін дене деп қарастыруға болады. Ол үшін дене қозғалысын шектейтін байланыстарды ойша алып тастап, олардың әсерін реакция күштерімен алмастыру керек.
Қозғалыстағы дененің барлық нүктелері қозғалмайтын бір (Ж) жазықтығына параллель жазықтықтарда орын ауыстыратын болса, дененің қозғалысы жазық немесе жазық-параллель қозғалыс деп аталады.
Техникада дененің жазық-параллель қозғалысының мәні өте зор. Себебі көпшілік механизмдер мен машиналардың буындары дәл осындай қозғалыс жасайды.
2. Жазық-параллель қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдығы
Жылдамдығы белгілі А нүктені полюс етіп алып, жазық қиманың өз жазықтығындағы қозғалысын қарастырайық (2.18 сурет).
А мен В нүктелерінің және радиус-векторларын жүргізіп, А-дан В-ға жүргізілген векторды арқылы белгілейік. Сонда суреттен:
. (2.4.2)
Енді (2.4.2) теңдеуінен уақыт бойынша бірінші туынды аламыз:
. (2.4.3)
Жазық қима қозғалған кезде векторының модулі тұрақты, ал бағыты өзгеретін болғандықтан осы вектордан уақыт бойынша алынған туынды В нүктесінің А полюсін айналғандағы жылдамдығының векторы болады. Бұл жылдамдықты деп белгілеп, оны анықтайтын өрнек аламыз:
. (2.4.4)
Бұл вектор АВ-ға перпендикуляр -ның бағытымен бағытталған, ал оның сан шамасының өрнегі:
. (2.4.5)
А мен В нүктелерінің радиус-векторларының туындылары осы нүкте жылдамдықтарының векторлары екенін ескерсек:
,
онда жазық қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдықтарын қосу туралы теореманы аламыз: жазық қиманың кез келген В нүктесінің жылдамдығы А полюстің жылдамдығы мен осы нүктенің полюсті айналғандағы жылдамдығының геометриялық қосындысына тең:
. (2.4.6)
векторының сан шамасы мен бағытын параллелограмм тұрғызу арқылы анықтауға болады .
2.4.3 Жазық қиманың екі нүктесі жылдамдықтарының проекциялары туралы теорема
Жазық қима нүктелерінің жылдамдығын (2.4.6) өрнегінің көмегімен тікелей анықтау әдетте күрделі есептеулерді немесе күрделі тұрғызуларды талап етеді. Алайда қима нүктелерінің жылдамдығын осы өрнектің көмегімен қарапайым әдіспен анықтауға болады. Осындай әдістің біріне келесі теорема жатады.
Теорема. Жазық қиманың екі нүктесінің жылдамдықтарының осы нүктелер арқылы өтетін түзуге проекциялары өзара тең.
Дәлелдеу. Берілген уақытта жазық қиманың А нүктесінің жылдамдығы , бұрыштық жылдамдығының айналу бағыты мен модулі белгілі болсын (2.20 сурет). В нүктенің жылдамдығы (2.4.6) өрнегімен анықталады. Енді А және В нүктелері арқылы х өсін жүргізіп, (2.4.6) өрнегін осы өске проекциялаймыз:
, (2.4.7)
векторы х өсіне перпендикуляр болғандықтан , болады.
Сонымен (2.4.7) өрнегінен мынаны аламыз:
немесе
. (2.4.8)
3 Байланыстар және олардың реакциялары
Қозғалыс еркіндігі басқа денелермен шектелмеген дене еркін дене деп, ал шектелген дене еркін емес дене деп аталады. Берілген дененің қозғалысын шектеп, онымен жанасатын дене байланыс деп аталады. Берілген дене байланысқа бір күшпен әсер етеді. Бұл күшті қысым күші деп атайды. Байланыс та берілген денеге бір күшпен әсер етіп, оның қозғалысын шектейді. Бұл күш байланыс күші (реакция күші) немесе байланыс реакциясы деп аталады. Төртінші аксиомаға сәйкес қысым күші мен реакция күшінің шамалары тең және бір түзудің бойымен қарама қарсы бағытталады. Реакция күштерінің мәндері денеге әсер ететін актив (белгілі) күштерге тәуелді және белгісіз болады. Реакция күштері дененің мүмкін қозғалысына қарсы бағытталады. Байланыс дене қозғалысын бірнеше бағытта шектейтін жағдайда реакция күшінің бағыты белгісіз болады. Кейбір байланыстардың реакция күштерінің бағыттарын актив күштерге тәуелсіз көрсетуге болады. Осындай байланыстарды қарастырайық.
Қозғалмайтын жылтыр бет (жазықтық). Үйкелісін елемеуге болатын бетті жылтыр бет дейміз. Егер дене жылтыр беттің үстінде жатса, мұндай байланыстың реакциясы жанасу нүктесіне түсіп, жанасушы беттерге ортақ нормаль бойымен бағытталады (– нормаль реакция, 1.5 сурет).
Созылмайтын иілгіш байланыс (жіп, арқан, сым арқан, шынжыр және т.б.). Реакциясы байланыстың бойымен оның іліну нүктесіне қарай бағытталады (– керілу күші, 1.6 сурет).
Салмақсыз жіңішке сырық. Оның реакциясы сырықтың денемен бекітілу нүктесіне түседі де, егер сырық түзу сызықты болса оның бойымен, ал егер ол қисық сызықты болса оның басы мен ұшын қосатын түзудің бойымен бағытталады.
Жылжымайтын цилиндрлік топса (тірек) – мұндай байланыс қатты денеге топса өсіне перпендикуляр жазықтықта айналуға мүмкіндік береді. Бірақ бекітулі нүкте топса өсіне перпендикуляр жазықтықта қозғала алмайды, сондықтан реакция күші осы жазықтықта жатады және әсер ететін актив күштердің әсерінен кез келген бағытта болуы мүмкін. Демек байланыс реакциясы x және y өстерімен бағытталған екі құраушыға жіктеледі.
Жылжымалы цилиндрлік топса (тірек) – реакциясы топса өсіне перпендикуляр жазықтықта жатады және тірек жазықтығына перпендикуляр бағытталады. ( – жылжымалы топсаның реакциясы, 1.9 сурет).
Сфералық топса. Мұндай топса дененің бір нүктесін қозғалтпайды, бірақ дене сол нүктені айнала алады. Сфералық топсаның (1.10 а) сурет) реакциясы кеңістікте кез келген бағытта болуы мүмкін, сондықтан ол x, y және z өстерімен бағытталған үш құраушыға жіктеледі (– сфералық топса реакцияларының құраушылары,
5Күшті параллель көшіру туралы теорема
Теорема. Дененің бір нүктесіне түскен күшті өзіне параллель етіп басқа нүктеге көшіруге болады. Күштің денеге әсері өзгермеу үшін көшірілген күшке моменті берілген күштің жаңа нүктеге қатысты моментіне тең қос күш қосу керек.
Дәлелдеу. Қатты денеге оның А нүктесіне түскен күші әсер етсін (1.15 а) сурет). Дененің кез келген В нүктесіне ал болатын және екі теңестірілген күшті түсірейік. Осылайша алынған үш күштің жүйесі В нүктесіне түскен күшіне тең күші мен моменті болатын қос күшті береді (1.15 ә) сурет). Сонымен, теореманың бірінші бөлігі дәлелденді. күшінің В нүктесіне қатысты моментінің векторы былай анықталады:

Анықтама бойынша қос күш моментінің векторын былай жазуға болады:

екенін ескерсек, теореманың екінші бөлігі дәлелденеді, ғни

6 Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы
Дене қозғалғанда оның бойындағы бір түзу кесінді өзіне өзі параллель болып қалса, дененің қозғалысы ілгерілемелі қозғалыс деп аталады (2.10 сурет).
Бұл жағдайда дене нүктелерінің қозғалысы келесі теоремамен анықталады: ілгерілемелі қозғалыстағы дененің барлық нүктелері бірдей траекториялар сызады, берілген уақытта барлық нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулері бірдей болады.
, . (2.3.1)
Сонымен, ілгерілемелі қозғалыстағы дененің тек бір нүктесінің ғана қозғалысын қарастыруға болады екен, ал басқа нүктелері дәл осы нүкте сияқты қозғалады да, дене кинематикасының мәселесі нүкте кинематикасының мәселесіне тіреледі.
7 Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күші
Жинақталатын күштер жүйесі
Әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысатын күштерді жинақталатын күштер дейміз (1.11 а) сурет).
Абсолют қатты денеге әсер ететін күш жылжымалы вектор болғандықтан, жинақталатын күштер жүйесі бір нүктеге түсірілген күштер жүйесіне пара-пар (1.11 ә) суреттегі О нүктесі). Теорема. Жинақталатын күштер жүйесін осы күштердің геометриялық қосындысына тең және олардың әсер ету сызықтарының қиылысу нүктесіне түсірілген тең әсерлі күшпен алмастыруға болады.
Дәлелдеу. Әсер ету сызықтары О нүктесінде қиылысатын жинақталатын күштер жүйесін (1.11 а) сурет) қарастырайық.
Статиканың 1 және 2 аксиомаларының салдарына сүйеніп барлық күштерді олардың әсер ету сызықтарының бойымен О нүктесіне көшіреміз (1.11 ә) сурет). Статиканың 3 аксиомасына сүйеніп және күштерін олардың тең әсерлі күшімен алмастырамыз: .
Алынған күші мен күшін тең әсерлі күшімен алмастырамыз:
.
Осылай барлық күштерді қоссақ, берілген күштер жүйесінің тең әсерлі күші болатын бір күш аламыз (1.11 б) сурет). Бұл күштің векторы былай жазылады:
. (1.2.1)
Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін күштер көпбұрышын тұрғызу арқылы да анықтауға болады. Түсінікті болу үшін сурет жазықтығында жатқан төрт күш үшін көпбұрыш тұрғызайық (1.12 а) сурет).
күшін масштабпен О нүктесіне күшіне параллель етіп көшіріп, деп белгілейміз. Осы күштің ұшынан күшіне параллель етіп деп белгіленген күшті көшіреміз. Дәл осылай етіп және күштерін көшіреміз.
Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлісі болатын күші осы күштердің геометриялық қосындысына тең күш ретінде қосылғыш күштердің біріншісінің басын соңғы күштің ұшымен қосатын вектор болады (1.12 ә) сурет).
Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін аналитикалық түрде анықтауға болады. Ол үшін геометрияның келесі теоремасына сүйенеміз: күштердің векторлық қосындысының қалаған өске проекциясы қосылғыш күштердің осы өске проекцияларының алгебралық қосындысына тең.
Осыған сәйкес, жинақталатын күштер жүйесін құратын күштердің декарттық координата өстеріне проекцияларын біле отырып тең әсерлі күштің осы өстерге проекцияларын анықтауға болады:
. (1.2.2)
Сонда тең әсерлі күштің модулі мынандай болады:
. (1.2.3)
Оның бағыты бағыттаушы косинустармен анықталады:
. (1.2.4)
Бір жазықтықта орналасқан күштер үшін:
(1.2.5)
(1.2.6)

8Нүкте динамикасының негізгі мәселелері
Материялық нүктенің негізгі мәселелері еркін және еркін емес нүктелер үшін айтылады.
Қозғалысы басқа денелермен шектелмеген нүктені еркін материялық нүкте дейміз. Осындай нүкте үшін динамиканың екі негізгі мәселесі қарастырылады:
Динамиканың бірінші негізгі мәселесі: Нүктенің массасы мен қозғалыс заңын біле отырып, оған әсер ететін күштерді анықтау.
Динамиканың екінші негізгі мәселесі: Нүктенің массасы мен оған әсер ететін күштерді біле отырып, оның қозғалыс заңын анықтау.
Екі мәселе де Ньютонның екінші (3.2.2) заңының көмегімен шешіледі.
Қозғалысы басқа денелермен шектелген нүкте еркін емес материялық нүкте деп аталады. Мұндай нүкте үшін оған әсер ететін барлық актив күштерге реакция күштерін қосу қажет. Оларды бір күшпен белгілейміз. Сонда Ньютонның екінші заңы былай жазылады:
. (3.2.3)
(3.2.3) өрнегімен еркін емес нүкте үшін де динамиканың екі негізгі мәселесі шешіледі:
Динамиканың бірінші негізгі мәселесі: Нүктенің массасын, қозғалыс заңын және оған әсер ететін актив күштерді біле отырып, реакция күштерін анықтау.
Динамиканың екінші негізгі мәселесі: Нүктенің массасын және оған әсер ететін актив күштерді біле отырып, оның қозғалыс заңын және реакция күштерін анықтау.
3.2.3 Нүкте динамикасының бірінші негізгі мәселесінің шешуі
Бұл мәселенің шешуін мысалдармен көрсетейік.
1-мысал. Массасы әуе шары үдеумен төмен қозғалады. Шар сол үдеумен жоғары көтерілу үшін қандай массаны алып тастау қажет?
Шешуі. Шардың қозғалысының екі жағдайын қарастырамыз. Шарға ауырлық күші мен көтеру күші әсер етеді (3.2 сурет).
Шар төмен қарай қозғалғанда өсіне проекцияланған Ньютонның екінші заңы былай жазылады:
.
Шар жоғары қарай қозғалғанда бұл проекция мынандай болады:
.
Көтеру күшінің өзгермейтінін ескерсек осы екі теңдеуден мынаны аламыз:
.
Осыдан
.
2-мысал. Массасы лифт үдеумен көтеріле бастайды. Лифт ілінген сым арқанның керілу күшін анықтау керек.
Шешуі. Сым арқанды керілу күшімен алмастырамыз да (3.3 сурет), Ньютонның екінші заңын тік жоғары бағытталған өске проекциялаймыз:

Осы теңдеуден керілу күшін табамыз:

Егер лифт осындай үдеумен төмен қарай қозғала бастаса, онда сым арқанның керілу күші мынандай болады:

3-мысал. Дөңес көпірдің қисықтық радиусы R болсын. Массасы m, жылдамдығы автомобильдің көпірге түсіретін қысым күші қандай болатынын анықтау керек (3.4 сурет).
Шешуі. Автомобильге ауырлық күші мен нормаль реакция күші әсер етеді. Бас нормаль өсін дөңес көпірдің ойыс жағына қарай бағыттап, табиғи өстер жүйесін қолданамыз. Ньютонның екінші заңын бас нормальға проекциялаймыз:
.
Осы теңдеуден: .
Енді нормаль үдеудің мәнін ескерсек:
.
Қысым күшінің модулі N-ге тең, бірақ төмен қарай бағытталған.
9Жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары
 Теорема. Қатты денеге түсірілген жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін оның тең әсерлі күшінің нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.
Күштердің тепе-теңдік шарттарын геометриялық немесе аналитикалық түрде келтіруге болады.
Тепе-теңдіктің геометриялық шарты. Күштер жүйесінің бас векторы осы күштерден тұрғызылған күштер көпбұрышының тұйықтаушы қабырғасы болғандықтан (1.12 ә) суретті қараңыз), нөлге тең болу үшін көпбұрыштағы соңғы күштің ұшы бірінші күштің басымен дәл келуі керек, яғни көпбұрыш тұйық болу керек.
Демек, жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін осы күштерден тұрғызылған күштер көпбұрышының тұйық болуы қажет және жеткілікті.
2. Тепе-теңдіктің аналитикалық шарттары. Жүйенің бас векторының аналитикалық модулі (1.2.3) өрнегімен анықталады:
.
нөлге тең болу үшін бір мезгілде болуы керек, яғни осы күштердің координата өстеріне проекцияларының қосындысы нөлге тең. Сондықтан, кеңістіктегі жинақталатын күштер жүйесінің қажет және жеткілікті тепе-теңдік шарттары былай жазылады:
(1.2.8)
(1.2.8) теңдеулері тепе-теңдік шарттарының аналитикалық түрін береді: кеңістіктегі жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін осы күштердің координата өстерінің үшеуінің әрқайсысына проекцияларының қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.
Қатты денеге әсер ететін жазықтықтағы жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін күштердің координата өстерінің екеуіне проекцияларының қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:
(1.2.9)
Үш күш туралы теорема
Теорема. Егер өзара параллель емес үш күш әсер ететін дене тепе-теңдікте болса, онда күштердің үшеуі де бір жазықтықта жатады және олардың әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысады.
10 Қатты дененің жазық-параллель қозғалысының теңдеулеріды.
Қозғалыстағы дененің барлық нүктелері қозғалмайтын бір (Ж) жазықтығына параллель жазықтықтарда орын ауыстыратын болса, дененің қозғалысы жазық немесе жазық-параллель қозғалыс деп аталады.
Техникада дененің жазық-параллель қозғалысының мәні өте зор. Себебі көпшілік механизмдер мен машиналардың буындары дәл осындай қозғалыс жасайды.
Дененің жазық-параллель қозғалысын қарастырайық (2.16 сурет). Дененің барлық нүктелері (Ж) жазықтығына паралель жазықтықтарда орын ауыстырсын. Сонда, қимасы қозғалмайтын (Ж) жазықтығына параллель қозғалады. Дене бойымен (Ж) жазақтығына перпендикуляр жүргізілген кез келген түзуі ілгерілемелі қозғалыс жасайды. Бұл кесіндінің бойындағы барлық нүктелердің траекториялары, жылдамдықтары мен үдеулері бірдей бола
Демек, дененің жазық-параллель қозғалысын зерттеу үшін қимасының қозғалысын зерттеген жеткілікті болады екен.
қимасының өз жазықтығындағы орны оның бойындағы кез келген АВ кесіндіcінің орнымен анықталады. АВ кесіндінің орны кез келген уақытта А нүктенің орнымен, яғни нүктеcінің координаталарымен және АВ кесіндінің x өсімен құратын бұрышымен анықталады (2.17 сурет). Аталған шамалар уақытқа байланысты өзгеріп отырады. Демек, қатты дененің жазық-паралель қозғалысы үш теңдеумен беріледі екен:
(2.4.1)
Бұл теңдеулер дененің жазық-паралель қозғалысының заңы деп аталады.
А нүктесін полюс деп атайтын боламыз.
Қатты дененің жазық-паралель қозғалысы оның полюспен бірге ілгерілемелі қозғалысы мен полюсті айнала қозғалысының қосындысынан тұратынын аңғару оңай. Демек, қатты дененің жазық-паралель қозғалысын екі қозғалыстың қосындысы деп қарастыруға болады: дененің полюспен (А нүктесі) бірге ілгерілемелі қозғалысы және полюсті айнала қозғалысы. Дене нүктелері жалпы жағдайда әртүрлі қозғалыс жасайтын болғандықтан, ілгерілемелі қозғалыс қай нүктенің полюс ретінде алынғанына тәуелді, ал айналмалы қозғалыс – тәуелсіз болады.
Қатты дененің жазық-паралель қозғалысының негізгі кинематикалық сипаттамаларына полюстің жылдамдығы мен үдеуі және дененің полюсті айналғандағы бұрыштық жылдамдығы мен бұрыштық үдеуі жатады. Олар дене қозғалысының (2.4.1) теңдеулерінен анықталады. Бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеудің векторлары қима жазықтығына перпендикуляр бағытталған.
11 Күштің нүктеге (центрге) қатысты моментінің векторы
Күштің әсерінен қатты дене ілгерілемелі немесе айналмалы қозғалыс жасайды. Күштің айналдырушы әсері моментпен сипатталады.
күшінің О нүктесіне (центріне) қатысты моменті деп осы нүктеге түсірілген векторын айтады. Бұл вектордың модулі (шамасы) күш модулі мен күштің нүктеге қатысты иінінің көбейтіндісіне тең, ал бағыты күш пен нүкте арқылы өтетін күш жазықтығына перпендикуляр, оның ұшынан қарағанда күш денені сағат тіліне қарсы бағытта бұратындай болып көрінеді (1.13 сурет).
Күштің О нүктесіне қатысты моментінің шамасы (модулі):
. (1.3.1)
Күштің нүктеге қатысты иіні (h) деп нүктеден күштің әсер ету сызығына дейінгі ең жақын ара қашықтықты (перпендикулярды) айтады.
12 Қос күш және оның моментінің векторы
Қос күш деп модульдері тең, бір біріне қарсы бағытталған екі параллель күштің жүйесін айтады. Қос күштің әсерінен дене айналмалы қозғалыс жасайды, демек, қос күштің моменті болады. Қос күш жатқан жазықтық қос күштің әсер ету жазықтығы деп аталады. Қос күшті құрайтын күштердің әсер ету сызықтарының арасындағы ең жақын ара қашықтық (перпендикуляр) қос күштің иіні (d) деп аталады
Енді жазықтығында жатқан қос күшті қарастырайық. Осы екі күштің кез келген О нүктеге қатысты моменттерінің геометриялық қосындысын алайық:

Егер екенін ескерсек мынаны аламыз
.
Алынған өрнек қос күш моментінің векторы деп аталады, ол О нүктесіне тәуелсіз:
. (1.3.4)
Қос күш моментінің модулі оны құрайтын күштердің біреуінің модулі мен қос күш иінінің көбейтіндісіне тең:
.
Қос күш моменті векторының бағыты қос күштің әсер ету жазықтығына перпендикуляр, ұшынан қарағанда қос күш денені сағат тіліне қарсы бағытта бұратындай болып көрінеді. Оны кез келген нүктеге түсіруге болады, себебі ол О нүктесіне тәуелсіз, яғни қос күш моментінің векторы – жылжымалы вектор.
13Жылдамдықтарды қосу туралы теорема
жүйесі негізгі қозғалмайтын жүйе ретінде таңдалған координата жүйесіне қатысты еркін қозғалатын болсын (2.28 сурет). Кез келген М нүктесінің қозғалысын жоғарыда айтылған әдістермен қозғалмайтын жүйеге де, қозғалатын жүйеге де қатысты қарастыруға болады. Осы координата жүйелеріне қатысты нүкте жылдамдықтары арасындағы байланысты табайық.
Нүктенің күрделі қозғалысында пайда болатын жылдамдықтардың анықтамаларын ендіреміз. М нүктесінің қозғалмайтын координата жүйесіне қатысты жылдамдығы абсолют жылдамдық деп аталады.
М нүктесінің қозғалатын Oxyz координата жүйесіне қатысты жылдамдығы салыстырмалы жылдамдық деп аталады.
тасымал жылдамдық деп берілген уақытта қозғалатын жүйенің қозғалыстағы нүктемен дәл келетін нүктесінің жылдамдығын айтады.
2.28 суретте радиус-векторы М нүктесінің қозғалмайтын жүйедегі орнын, радиус-векторы қозғала- тын жүйенің бас нүктесінің О1x1y1z1 қозғалмайтын жүйедегі орнын, ал радиус-векторы М нүктесінің қозғалатын жүйедегі орнын анықтайды. Осы суреттен
, (2.5.6)
мұндағы - қозғалатын координата жүйесінде берілген вектор.
Анықтама бойынша радиус-вектордың уақыт бойынша абсолют туындысы нүктенің абсолют жылдамдығы болады, яғни (2.5.6) теңдеуінен мынаны аламыз
. (2.5.7)
(2.5.5) теңдеуіне сәйкес
, (2.5.8)
мұндағы - қозғалатын жүйенің бұрыштық жылдамдығы, ал
(2.5.9)
М нүктесінің салыстырмалы жылдамдығы болады.
(2.5.8) және (2.5.9) теңдіктерді (2.5.7) теңдеуіне қойып, қозғалатын жүйенің бас нүктесінің жылдамдығы: екенін ескерсек, мынаны аламыз
. (2.5.10)
Нүктенің тасымал жылдамдығын анықтау үшін нүктені қозғалатын жүйеде қозғалмайды деп есептейміз, яғни (2.5.10) теңдеуінде деп аламыз. Бұл жағдайда нүктенің абсолют жылдамдығы тасымал жылдамдыққа тең болады да (2.5.10) теңдеуінен тасымал жылдамдықты анықтаймыз
. (2.5.11)
Сонымен (2.5.11)-ді ескере отырып (2.5.10)-нан мынаны аламыз
. (2.5.12)
Бұл теңдеу күрделі қозғалыстағы нүктенің жылдамдығын қосу туралы теореманы береді: нүктенің абсолют жылдамдығы оның салыстырмалы және тасымал жылдамдықтарының геометриялық қосындысына тең.
Нүктенің салыстырмалы және тасымал жылдамдықтарын анықтау ережелерін қарастырайық.
Нүктенің салыстырмалы жылдамдығы. Нүктенің салыстырмалы жылдамдығын табу үшін тасымал қозғалысты ойша тоқтату керек. Егер нүкте түзу сызықты қозғалыс жасаса, онда салыстырмалы жылдамдықтың алгебралық мәні мына өрнекпен анықталады:
, (2.5.13)
мұндағы нүктенің түзу сызықты салыстырмалы қозғалысының заңы. Егер (2.5.13) өрнегі нөлден үлкен болса, онда салыстырмалы жылдамдық векторы нүкте қозғалатын түзумен қозғалыстың оң бағытына қарай, ал егер нөлден кіші болса – теріс бағытына қарай бағытталады. Егер нүктенің салыстырмалы қозғалысы қисық сызықты болса, онда оның салыстырмалы жылдамдығы (2.5.13) теңдігімен анықталады, ал бұл жылдамдықтың векторы егер болса траекторияға жанама бойымен қозғалыстың оң бағытына қарай, егер болса – теріс бағытына қарай бағытталады.
Нүктенің тасымал жылдамдығы. Нүктенің тасымал жылдамдығын табу үшін нүктенің салыстырмалы қозғалысын ойша тоқтату қажет. Егер қозғалатын жүйе ілгерілемелі қозғалса, онда тасымал жылдамдық бұл жүйенің кез келген нүктесінің жылдамдығына тең болады. Егер қозғалатын жүйе айналмалы қозғалыс жасаса, онда тасымал жылдамдықты қозғалатын жүйенің берілген уақытта қозғалыстағы нүктемен дәл келетін нүктесінің жылдамдығы ретінде мына өрнекпен анықтайды
, (2.5.14)
мұндағы h – нүкте тасымал қозғалыста сызатын шеңбердің радиусы. Тасымал жылдамдықтың векторы осы шеңберге жанама бойымен -ның бұрылу бағытына қарай бағытталған.
14Күштің О нүктесіне қатысты моментінің векторын күштің түсу нүктесінің радиус-векторы мен күш векторының векторлық көбейтіндісі ретінде жазуға болады:
. (1.3.2)
Екі вектордың векторлық көбейтіндісін анықтауыш түрінде алып, векторының декарттық координата өстеріне проекцияларын анықтаймыз:
.
күшінің О нүктесіне қатысты моменті векторының проекциялары мына түрде жазылады:
(1.3.3)
Халықаралық жүйеде күш моменті ньютон көбейтілген метрмен өлшенеді. 
15Жылдамдықтардың лездік центрі (ЖЛЦ)
Жазық қима нүктелерінің жылдамдығын анықтаудың басқа көрнекті әдісі жылдамдықтардың лездік центрі ұғымына негізделген.
Жазық қиманың берілген уақытта жылдамдығы нөлге тең нүктесі жылдамдықтардың лездік центрі (ЖЛЦ) деп аталады.
Теорема. Егер жазық қиманың бұрыштық жылдамдығы нөлге тең болмаса , онда жылдамдықтардың лездік центрі бар.
Дәлелдеу. А нүктесінің жылдамдығы нөлге тең емес болсын . Нөлге тең болса бұл нүкте анықтама бойынша жылдамдықтардың лездік центрі болуы керек. А нүктесінен бұрыштық жылдамдықтың бағытына қарай оның жылдамдығына перпендикуляр етіп кесіндісін жүргіземіз (2.21 сурет). Дене нүктелерінің жылдамдықтарын қосу туралы (2.4.6) теоремаға сәйкес былай жазуға болады:
. (2.4.9)
жылдамдығы -ның бағытымен АР-ға перпендикуляр бағытталған (2.21 сурет), оның сан шамасы .
екенін ескерсек:
. (2.4.10)
Сонымен, мен жылдамдықтарының сан шамалары тең, ал бағыттары қарсы болып шықты, яғни олардың геометриялық қосындысы:
.
Демек Р нүктесі жылдамдықтардың лездік центрі болады екен.
Жылдамдықтардың лездік центрінің көмегімен жазық қиманың кез келген нүктесінің жылдамдығы мен қиманың бұрыштық жылдамдығын анықтайтын өрнектер алуға болады. Ол үшін жылдамдықтардың лездік центрін полюс етіп алып, В нүктесі үшін (2.4.6) теореманы жазамыз (2.21 сурет):
,
бірақ , сондықтан
ал
Сонымен, В нүктісінің жылдамдығының модулі:
, (2.4.11)
ал жылдамдық векторы ВР-ға перпендикуляр -ның бағытымен бағытталады (2.21 сурет).
Дәл осылай С нүктесі үшін де , яғни:
(2.4.12)
бұл жылдамдықтың векторы СР-ға перпендикуляр -ның бағытымен бағытталады (2.21 сурет).
(2.4.10) – (2.4.12) өрнектерінен мынаны аламыз:
. (2.4.13)
Сонымен, жазық қиманың кез келген нүктесінің жылдамдығы нүктеден ЖЛЦ-іне дейінгі ара қашықтыққа пропорционал, ал нүкте жылдамдығының векторы осы нүктені ЖЛЦ-імен қосатын кесіндіге (лездік радиусқа) перпендикуляр бағытталады.
Жылдамдықтардың лездік центрінің орнын анықтаудың дербес жағдайлары
Жылдамдықтардың лездік центрінің негізгі қасиеттерін қолданып, жазық қиманың нүктелерінің жылдамдықтарының әртүрлі бағыттары үшін жылдамдықтардың лездік центрінің орнын анықтауға болады.
Егер жазық қиманың бір нүктесі (А нүктесі) жылдамдығының шамасы мен бағыты, ал екінші нүктесінің (В нүктесі) жылдамдығының тек бағыты белгілі болса (2.22 сурет), онда ЖЛЦ (Р нүктесі) А және В нүктелерінен олардың жылдамдық векторларының бағыттарына жүргізілген перпендикуляр- лардың қиылысу нүктесінде жатады. векторының бағытымен және векторларының бағыты анықталады. (2.4.13) өрнегінен жазық қиманың кез келген нүктесінің жылдамдығы және қиманың бұрыштық жылдамдығы табылады.
Егер жазық қиманың екі нүктесінің (А мен В) жылдамдықтарының векторлары параллель, шамалары белгілі және осы нүктелерді қосатын түзуге перпендикуляр бағытталса (2.23 сурет), онда ЖЛЦ (Р нүктесі) жылдамдық векторларының басы мен ұшы арқылы жүргізілген түзулердің қиылысу нүктесінде жатады. Қиманың бұрыштық жылдамдығының бағыты нүкте жылдамдықтары бағытымен анықталады, ал оның шамасы мен қиманың басқа нүктелерінің жылдамдықтары (2.4.13) өрнегінен табылады.
Егер жазық қиманың екі нүктесінің (А және В) жылдамдықтарының векторлары параллель, бірақ осы нүктелерді қосатын түзуге перпендикуляр болмаса (2.24 сурет), онда және векторларына тұрғызылған перпендикуляр түзулер қиылыспайды, демек ЖЛЦ шексіздікте жатады, бұл ЖЛЦ жоқ дегенді білдіреді.
Жылдамдықтардың проекциялары туралы теорема бойынша . Осыдан және ; басқа нүктелер үшін де осылай болады. болғандықтан, (2.4.13) өрнегінен бұрыштық жылдамдықтың нөлге тең екенін көреміз: . Бұл жағдайда дене лездік ілгерілемелі қозғалыс жасайтын болады.
Егер дене қозғалмайтын бетпен сырғанамай домалайтын болса, онда ЖЛЦ (Р нүктесі) денелердің жанасу нүктесінде жатады (2.25 сурет).
Жазық-параллель қозғалыстың айналмалы қозғалыстан айырмашылығы жылдамдықтардың лездік центрі өзінің жазықтықтағы орнын өзгертіп отырады.
16 Статиканың негізгі теоремасы
Денеге күштер жүйесі әсер етсін. Осы күштердің геометриялық қосындысы күштер жүйесінің бас векторы деп аталады:
(1.4.1)
Барлық күштердің О нүктесіне қатысты моменттерінің геометриялық қосындысы күштер жүйесінің бас моменті деп аталады:
. (1.4.2)
Теорема. Абсолют қатты денеге әсер ететін кез келген күштер жүйесін берілген О центрге келтіргенде жүйенің бас векторына тең және келтіру центріне түскен бір күшпен және моменті бас моментке тең бір қос күшпен алмастыруға болады.
Дәлелдеу.  Қатты дененің нүктелеріне түскен кез келген күштер жүйесін қарастырайық (1.16 а сурет).
Күштердің бәрін өзіне өзін параллель етіп бір О нүктесіне көшірейік. Сонда күшті параллель көшіру туралы теоремаға сәйкес әрбір көшірілген күшке бір қос күштен қосу керек (1.16 ә) сурет). Олардың моменттері берілген күштердің О нүктесіне қатысты моменттеріне тең болады, яғни

Алынған жинақталатын күштер жүйесін олардың геометриялық қосындысына тең бір күшпен алмастырамыз:

қос күштер жүйесін олардың геометриялық қосындысына тең бір қос күшпен алмастыруға болады:
.
Сонымен, нәтижесінде бір күш пен моменті бір қос күш алдық.
Тепе-теңдік шарттары. Вариньон теоремасы
Теорема. Кез келген күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін оның бас векторының және кез келген центрге қатысты бас моментінің нөлге тең болуы қажет және жеткілікті (дәлелдеусіз):
, . (1.4.3)
Вариньон теоремасы. Егер берілген күштер жүйесінің тең әсерлі күші бар болса, онда тең әсерлі күштің кез келген О центріне қатысты моменті жүйедегі күштердің сол центрге қатысты моменттерінің қосындысына тең.
17Қатты дененің айналмалы қозғалысының дербес жағдайлары
Қатты дененің айналмалы қозғалысының дербес жағдайын қарастырайық.
Бірқалыпты айналу кезінде дененің бұрыштық жылдамдығы тұрақты болады (=const). Бұрыштық жылдамдықтың алгебралық шамасы тек таңбасымен ерекшеленетін болғандықтан, ол да тұрақты: =const. Сонда (2.3.7) өрнегінен мынаны аламыз:
немесе , (2.3.10)
демек бірқалыпты айналу кезінде дененің бұрыштық үдеуі нөлге тең.
Енді (2.3.4) өрнегін dt-ға көбейтіп, интегралдасақ қатты дененің бірқалыпты айналу заңын алуға болады:
. (2.3.11)
Бірқалыпты айнымалы айналу кезінде дененің бұрыштық үдеуі тұрақты болады (=const). Бұл жағдайда бұрыштық үдеудің алгебралық шамасы да тұрақты: =const.
(2.3.7) өрнегін dt-ға көбейтіп, интегралдаймыз:
,
сонда бірқалыпты айнымалы айналу кезіндегі бұрыштық жылдамдықтың өзгеру заңын аламыз:
. (2.3.12)
Енді (2.3.12) өрнегінен дененің бірқалыпты айнымалы айналу заңы алынады:
. (2.3.13)
Егер бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеудің таңбалары бірдей болса дененің айналуы бірқалыпты үдемелі, бірдей болмаса – бірқалыпты кемімелі деп аталады.
Қатты дененің тұрақты өсті айнала қозғалуы
Қозғалыстағы дененің кем дегенде екі нүктесі (А және В) қозғалмайтын болса, онда қозғалыс қатты дененің тұрақты өсті айнала қозғалуы деп аталады (2.11 сурет). Қозғалмайтын екі нүктені қосатын түзу айналу өсі деп аталады. Айналу өсінде жататын нүктелердің барлығы қозғалмайды.
20Қатты дененің айналмалы қозғалысының дербес жағдайлары
Қатты дененің айналмалы қозғалысының дербес жағдайын қарастырайық.
Бірқалыпты айналу кезінде дененің бұрыштық жылдамдығы тұрақты болады (=const). Бұрыштық жылдамдықтың алгебралық шамасы тек таңбасымен ерекшеленетін болғандықтан, ол да тұрақты: =const. Сонда (2.3.7) өрнегінен мынаны аламыз:
немесе , (2.3.10)
демек бірқалыпты айналу кезінде дененің бұрыштық үдеуі нөлге тең.
Енді (2.3.4) өрнегін dt-ға көбейтіп, интегралдасақ қатты дененің бірқалыпты айналу заңын алуға болады:
. (2.3.11)
Бірқалыпты айнымалы айналу кезінде дененің бұрыштық үдеуі тұрақты болады (=const). Бұл жағдайда бұрыштық үдеудің алгебралық шамасы да тұрақты: =const.
(2.3.7) өрнегін dt-ға көбейтіп, интегралдаймыз:
,
сонда бірқалыпты айнымалы айналу кезіндегі бұрыштық жылдамдықтың өзгеру заңын аламыз:
. (2.3.12)
Енді (2.3.12) өрнегінен дененің бірқалыпты айнымалы айналу заңы алынады:
. (2.3.13)
Егер бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеудің таңбалары бірдей болса дененің айналуы бірқалыпты үдемелі, бірдей болмаса – бірқалыпты кемімелі деп аталады.
Дене уақытта бұрышқа бұрылсын делік. Осы кезде айналу өсінен h қашықтықта жатқан нүкте жол жүріп өтеді. 2.14 ә) суретте Oz өсін айналатын дененің М нүктесі сызатын шеңбер бейнеленген. Осы нүкте жылдамдығының жанама өске проекциясын былай жазуға болады:
. (2.3.14)
Бұл жерде шеңбер доғасының ұзындығы оның радиусы мен осы доғаны керетін бұрыштың көбейтіндісіне тең екендігі ескерілген, яғни . Сонда нүкте жылдамдығының шамасы (сызықтық жылдамдық) дененің бұрыштық жылдамдығының модулі мен осы нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісі ретінде анықталады:
. (2.3.15)
Нүкте жылдамдығының векторы шеңберге жанама бойымен (2.14 сурет) бұрыштық жылдамдық бағытына қарай бағытталады.
М нүктесі жылдамдығының векторын бұрыштық жылдамдықтың векторы мен осы нүктенің радиус-векторының векторлық көбейтіндісі арқылы да жазуға болады (2.14 а) сурет):
.

22Айналмалы қозғалыстағы дененің бұрыштық жылдам мен бұрыштық үдеуі
Дененің мұндай қозғалысын бір параметрмен, яғни оның айналу бұрышымен сипаттауға болады. Егер денені айналу өсі арқылы өтетін қозғалмайтын (1) және денемен бірге қозғалатын (2) жазықтықтармен қисақ (2.12 сурет), осы жазықтықтар арасындағы екі жақты бұрыш дененің айналу бұрышы деп аталады. Енді айналу өсінің бойымен Oz өсін бағыттаймыз. Сонда Oz өсінің ұшынан қарағандағы айналу бұрышының сағат тіліне қарсы бұрылу бағытын оң бағыт деп аламыз.
Дененің тұрақты өсті айналу заңы былай жазылады:
, (2.3.2)
мұндағы дененің айналу бұрышы. Айналу бұрышы радианмен өлшенеді.
Қатты дененің айналмалы қозғалысының негізгі кинематикалық сипаттамаларына бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу жатады. Бұл ұғымдарды енгізу үшін дене уақытта бұрышқа бұрылды деп санаймыз (2.12 сурет). Сонда - дің t - ға қатынасы t уақыттағы дененің орташа бұрыштық жылдамдығы деп аталады:
. (2.3.3)
t нөлге ұмтылғандағы бұл қатынастың шегін дененің бұрыштық жылдамдығының алгебралық мәні деп атайды:
. (2.3.4)
Сонымен, дененің бұрыштық жылдамдығының алгебралық шамасы айналу бұрышынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең екен. Осы шаманың модулін дененің бұрыштық жылдамдығы деп атаймыз:
. (2.3.5)
Радиан өлшемсіз бірлік болғандықтан, бұрыштық жылдамдықтың өлшем бірлігі ретінде рад/с немесе 1/с қолданылады.
Дәл осылай дененің орташа бұрыштық үдеуін аламыз:
, (2.3.6)
ал бұрыштық үдеудің алгебралық мәні мынандай:
немесе . (2.3
Сонымен, дененің бұрыштық үдеуінің алгебралық шамасы бұрыштық жылдамдықтың алгебралық шамасынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға немесе айналу бұрышынан алынған екінші туындыға тең екен. Осы шаманың модулін дененің бұрыштық үдеуі дейтін боламыз: немесе (2.3.8)
Бұрыштық үдеудің өлшем бірлігі рад/с2 немесе 1/с2.
Техникалық есептеулерде көбіне бұрыштық жылдамдықтың орнына n – дененің минутына жасайтын айналу саны, ал айналу бұрышының орнына N – айналу саны жиі қолданылады. Дене бір айналғанда 2 бұрышқа бұрылады, ал бір минутта 60 секунд бар екенін ескерсек, бұл шамалардың арасындағы байланыстар:
және (2.3.9)
Енді бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу векторларының ұғымын ендіреміз. Бұл векторлардың модульдері (2.3.5) және (2.3.7) өрнектерімен анықталады, ал бағыттары олардың алгебралық мәндері ( мен ) нөлден үлкен болса айналу өсінің бойымен оң бағытта (2.13 а) сурет), нөлден кіші болса – теріс бағытта (2.13 ә) сурет) бағытталады. Бұл жерде . Егер бұл векторлар бір бағытта болса дененің айналуы үдемелі, ал қарсы бағытта болса – кемімелі деп аталады.
Суретте бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу векторларын доға тілімен де бейнелейді. Олардың алгебралық мәндерінің таңбасы оң болса Oz өсінің ұшынан қарағанда доға тілдері сағат тіліне қарсы, ал теріс болса – сағат тілімен бағыттас (2.13 сурет) бағытталады.
23Күш жұмысын есептеу мысалдары
Есеп шығарғанда қолданатын күш жұмысын есептеу өрнектерін алайық.
Ауырлық күшінің жұмысы. Ауырлық күші әсер ететін нүкте бастапқы М0 (x0, y0, z0) орнынан М1 (x1, y1, z1)-ге орын ауыстырсын. Координата жүйесін Oz өсі тік жоғары бағытталатын етіп аламыз (3.16 сурет). Сонда ауырлық күшінің координата өстеріне проекциялары:
.
Ауырлық күшінің жұмысын (3.4.20) өрнегі бойынша есептейміз, сонда
.
Егер нүкте М1 орнынан жоғары орналасса , ал нүкте М1 орнынан төмен орналасса болады, бұл жердегі h – нүктенің вертикаль орын ауыстыруы.
Нәтижесінде ауырлық күшінің жұмысын былай жазуға болады:
. (3.4.22)
Демек, ауырлық күшінің жұмысы плюс немесе минус таңбасымен алынған ауырлық күші модулі мен вертикаль орын ауыстырудың көбейтіндісіне тең. Плюс таңбасы нүкте төмен орын ауыстырғанда, ал минус таңбасы нүкте жоғары қарай орын ауыстырғанда алынады.
(3.4.22) өрнегінен байқатынымыз ауырлық күшінің жұмысы траектория түріне тәуелсіз екен. Мұндай күштер потенциалдық күштер деп аталады. Демек ауырлық күші потенциалдық күшке жатады.
Серпімділік күшінің жұмысы. Серіппенің бос ұшына бекітілген және горизонталь жазықтықта жатқан М жүгін қарастырайық (3.17 сурет). Координатаның О бас нүктесі етіп созылмаған серіппенің ұшын аламыз (–созылмаған серіппенің ұзындығы). Егер жүкті О тепе-теңдік орнынан серіппенің ұзындығы болатындай етіп созсақ, серіппе -ге созылады да, жүкке О нүктесіне бағытталған серпімділік күші әсер етеді. 3.17 суретінен екенін көреміз, сондықтан серпімділік күшін былай жазуға болады:
немесе
мұндағы с – серіппенің серпімділік коэффициенгі.
Жүк бастапқы М0(х0) орнынан М1(х1)-ге орын ауыстырғандағы серпімділік күшінің жұмысын деп алып, (3.4.20) теңдеуінен анықтаймыз, демек

Бұл өрнектегі х0 серіппенің бастапқы деформациясы 0, ал х1 – соңғы деформациясы 1. Сондықтан серпімділік күшінің жұмысы:
. (3.4.23)
Демек, серпімділік күшінің жұмысы серіппенің серпімділік коэффициенті мен оның бастапқы және соңғы деформациялары квадраттарының айырмасының көбейтіндісінің жартысына тең.
(3.4.23) өрнегі М нүктесінің орын ауыстыруы түзу сызықты болмаса да орын алады. Бұл серпімділік күшінің жұмысы нүкте траекториясының түріне тәуелді емес екендігін көрсетеді. Демек, серпімділік күші де потенциалдық күшке жатады.
Үйкеліс күшінің жұмысы. Кедір-бұдырлы жазықтықпен қозғалатын М нүктесін қарастырайық (3.18 сурет). Нүктеге әсер ететін үйкеліс күшінің модулі болады. Бұл жердегі f – үйкеліс коэффициенті, ал N – жазықтықтың нормаль реакциясы. Үйкеліс күші нүкте қозғалысына қарсы бағытталады. Сондықтан үйкеліс күшінің жанама өске проекциясы мынандай болады: . Енді (3.4.17) өрнегі бойынша үйкеліс күшінің жұмысын анықтаймыз:
. (3.4.24)
Егер үйкеліс күші тұрақты болса оның жұмысы мынандай болады:
, (3.4.25)
бұл жердегі – нүкте қозғалатын М0М1 қисығы доғасының ұзындығы.
Сонымен, сырғанау үйкелісі күшінің жұмысы әрқашан теріс таңбалы болады екен. Үйкеліс күшінің жұмысы нүктенің жүріп өткен жолына тәуелді, сондықтан үйкеліс күші потенциалдық емес күштерге жатады.
25Нүкте динамикасының негізгі заңдары
Ньютонның үш заңы материялық нүкте динамикасының негізгі заңдары болады.
Ньютонның бірінші заңы. Егер материялық нүктеге сырттан ешбір күш әсер етпесе немесе әсер ететін күштер жүйесі нөлге пара-пар болса, онда нүкте тыныштық күйде немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалыста болады. Ньютонның бірінші заңы орындалатын санақ жүйелері инерциалдық санақ жүйелері деп аталады.
Ньютонның екінші заңы (динамиканың негізгі заңы). Материялық нүктенің үдеуі оған әсер етуші күшке тура пропорционал, бағыты күшпен бағыттас. Нүкте массасы пропорционалдық коэффициенті болады.
Бұл заңның математикалық өрнегі:
. (3.2.1)
Егер денеге бірнеше күштер әсер етсе Ньютонның екінші заңы былай жазылады:
. (3.2.2)
Ньютонның үшінші заңы. Екі материялық нүкте бір-біріне модульдері тең, осы нүктелерді қосатын түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді (3.1 сурет).
Сондықтан, , ал .
26Статиканың негізгі ұғымдары мен анықтамалары.
Статика – денеге түсірілген күштер жүйесін қарапайым түрге келтіретін және олардың тепе-теңдік шарттарын тағайындайтын теориялық механиканың бөлімі.
1.1.1 Күш және күштер жүйесі
Күш ұғымы статиканың негізгі ұғымдарының бірі. Механикада қарастырылатын шамалар скалярлық және векторлық шамалар болып бөлінеді. Скалярлық шамалар деп тек сандық мәнімен ғана толық сипатталатын шамаларды айтамыз. Векторлық шамалар деп сандық мәнімен қатар бағытымен де сипатталатын шамаларды айтамыз.
1600201162050
A
K
L
1.1-сурет
00
A
K
L
1.1-сурет
Денелердің өзара әсерлесуінің өлшеуішін сипаттайтын шама күш деп аталады. Күш – векторлық шама. Күштің денеге әсері а) күштің сандық мәнімен (модулімен), ә) күштің бағытымен, б) күштің түсу нүктесімен анықталады. Күш алынған масштабта ұзындығы күштің шамасын анықтайтын векторымен бейнеленеді, вектордың басы күштің түсу нүктесімен дәл келеді (А нүктесі), вектордың бағыты күш бағытын анықтайды. Бойымен күш векторы бағытталған KL түзуі күштің әсер ету сызығы деп аталады (1.1 а) сурет).
Күшті аналитикалық түрде оның координата өстеріне проекциялары арқылы анықтауға болады (1.1 ә) сурет). Бұл жағдайда күш шамасы мына өрнекпен анықталады:
, (1.1.1)
ал күш бағыты бағыттаушы косинустармен анықталады:
. (1.1.2)
Бір денеге әсер ететін () күштер жиынтығы күштер жүйесі деп аталады. Егер дененің күйін өзгертпей оған әсер ететін () күштер жүйесін басқа бір () күштер жүйесімен алмастыруға болатын болса, мұндай екі жүйе пара-пар жүйелер деп аталады:
()∾().
Егер дененің күйін өзгертпей оған әсер ететін () күштер жүйесін бір күшпен алмастыруға болатын болса, онда бұл күш тең әсерлі күш деп аталады:
()∾.
Егер дене күштер жүйесінің әсерінен тепе-теңдікте болса, мұндай жүйе теңестірілген немесе нөлге пара-пар жүйе деп аталады:
() ∾ 0.
27Нүктенің кинетикалық энергиясы, оның өзгеруі туралы теорема
Нүкте қозғалысының келесі динамикалық сипаттамасына оның кинетикалық энергиясы жатады.
Нүктенің кинетикалық энергиясы деп оның массасы мен жылдамдығының квадраты көбейтіндісінің жартысына тең скаляр шаманы айтады:
.
күштер әсер ететін М материялық нүктені қарастырайық. Ол қисық бойымен жылдамдықпен бастапқы М0 орнынан жылдамдықпен М1-ге орын ауыстырсын (3.20 сурет). Ньютонның екінші заңын басқа түрде жазайық:
.
Осы теңдеудің екі жағын да радиус-вектордың дифференциалына скаляр көбейтеміз:
. (3.4.27)
Бұл теңдеудің оң жағы барлық күштердің элементар жұмыстарының қосындысы болады, сол жағын (, ал екенін ескере отырып) былай жазамыз:
.
Нәтижесінде (3.4.27) теңдеуі былай жазылады:
, (3.4.28)
бұл теңдеу нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың дифференциалдық түрі деп аталады: нүктенің кинетикалық энергиясының толық дифференциалы нүктеге әсер ететін барлық күштердің элементар жұмыстарының қосындысына тең.
Егер (3.4.28) теңдеуіндегі барлық мүшелерді уақытқа тәуелді функция деп қарастырсақ және (3.4.21) өрнегін ескеріп, (3.4.28) теңдеуін -ға бөлсек мынаны аламыз:
. (3.4.29)
яғни нүктенің кинетикалық энергиясының толық дифференциалы нүктеге әсер ететін барлық күштердің қуаттарының қосындысына тең.
Нүкте бастапқы М0 орыннан М1-ге орын ауыстырғанда оның бастапқы жылдамдығы -ден -ге дейін өзгеретінін ескеріп, (3.4.29) теңдеуін интегралдаймыз, сонда: .
Осыдан
. (3.4.30)
(3.4.30) теңдеуі нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың интералдық (шекті) түрін береді: нүкте шекті орын ауыстырғанда оның кинетикалық энергиясының өзгеруі осы орын ауыстыруда нүктеге әсер ететін барлық күштердің жұмыстарының алгебралық қосындысына тең.
32Үдеулерді қосу туралы Кориолис теоремасы
Кориолис теоремасы күрделі қозғалыстағы нүкте үдеулерінің арасындағы байланысты береді.
Нүктенің абсолют үдеуін табу үшін (2.5.10) теңдеуін уақыт бойынша дифференциалдаймыз:
. (2.5.15)
векторы қозғалатын жүйеде берілгендіктен (2.5.5) теңдеуіне сәйкес былай жазуға болады
, (2.5.16)
салыстырмалы жылдамдықтың уақыт бойынша салыстырмалы туындысы, салыстырмалы үдеу болады:
. (2.5.17)
(2.5.9), (2.5.16), (2.5.17) теңдеулерін қолданып және қозғалатын жүйенің бас нүктесі үдеуінің – , қозғалатын жүйенің бұрыштық үдеуінің – екенін ескеріп (2.5.15) теңдеуін мынандай түрге келтіреміз:
(2.5.18)
Нүктенің тасымал үдеуін табу үшін нүктенің салыстырмалы қозғалысын ойша тоқтатамыз, яғни деп аламыз. Бұд жағдайда абсолют үдеу тасымал үдеуге тең болады да, (2.5.16) өрнегіне сәйкес мына түрге келеді:
. (2.5.20)
(2.5.17)-ні ескерсек (2.5.16) өрнегі мынандай болады
. (2.5.21)
(2.5.21) теңдігіндегі соңғы қосылғыш кориолис үдеуі деп аталады, яғни кориолис үдеуінің векторы:
. (2.5.22)
Осы белгілеуді ескерсек (2.5.21)-ден Кориолис теоремасын аламыз:
. (2.5.23)
Теорема. Нүктенің абсолют үдеуі оның салыстырмалы, тасымал және кориолис үдеулерінің геометриялық қосындысына тең.
Енді нүктенің осы үдеулерін анықтау ережелерін қарастырайық.
Нүктенің кориолис үдеуі. Кориолис үдеуі екі вектордың векторлық көбейтіндісіне тең болғандықтан оның модулі мына өрнекпен анықталады:
. (2.5.24)
Оның бағыты векторлық көбейтіндінің бағытымен анықталады, яғни векторы мен векторлары арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр бағытталып, ұшынан қарағанда -дан -ге қарай қысқа жолмен бұрылу сағат тіліне қарсы болып көріну керек (2.29 сурет). Егер мен векторлары бір жазықтықта жатпаса, онда векторын өзіне өзін параллель етіп векторының басына ойша көшіріп, жоғарыда айтылған ережені қолданған ыңғайлы.
Кейде кориолис үдеуінің бағытын табуды Н.Е.Жуковский ережесі жеңілдетеді: салыстырмалы жылдамдықтың векторын қозғалатын жүйенің бұрыштық жылдамдығына перпендикуляр жазықтыққа проекциялап, оны осы жазықтықта -ның бағытына қарай 90о- қа бұру керек (2.30 сурет).
(2.5.24) өрнегіне қарап кориолис үдеуінің мына жағдайларда нөлге тең болатынын көреміз:
, яғни қозғалатын жүйе ілгерілемелі қозғалыс жасағанда;
қозғалатын жүйенің бұрыштық жылдамдығы нүктенің салыстырмалы жылдамдығына параллель болғанда;
нүктенің салыстырмалы жылдамдығы болған кезде.
34Жазық-параллель қозғалыстағы дене нүктелерінің үдеуі
Жазық қиманың кез келген нүктесінің үдеуін анықтау үшін (2.4.4) теңдеуін ескеріп, (2.4.6) өрнегін былай жазамыз:
Енді осы өрнекті дифференциалдаймыз:
. (2.4.14)
Бұл теңдеудегі
(2.4.15)
А және В нүктелерінің үдеулерін, ал:
(2.4.16)
В нүктесінің А полюсін айналғандағы жылдамдығын береді.
(2.4.17)
қиманың бұрыштық үдеуінің векторы.
(2.4.15) – (2.4.17) теңдіктерін (2.4.14)-ке қойып мынаны аламыз:
. (2.4.18)
Соңғы екі қосылғыш А нүктесі бекітулі болған кездегі В нүктесінің үдеуін анықтайды, сондықтан олардың қосындысы В нүктесінің А нүктесінен қима жазықтығына перпендикуляр өтетін қозғалмайтын өсті айналғандағы үдеуін береді:
. (2.4.19)
Біз нүкте үдеуінің бұл құраушыларымен қатты дененің айналмалы қозғалысында кездескенбіз. Оларды сондағы атауларымен қалдырып, В нүктесінің А полюсін айналғандағы центрге тартқыш және айналмалы үдеулерін аламыз:
. (2.4.20)
Бұл үдеулердің модулі В нүктесінің А полюсін айналғандағы центрге тартқыш үдеуі және айналмалы үдеуі деп аталады:
, (2.4.21)
. (2.4.22)
(2.4.21) және (2.4.22) өрнектерін алған кезде бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу векторларының қима жазықтығына перпендикуляр екені ескерілген, яғни:
және , ал .
Айналмалы қозғалыстың ережесіне сәйкес векторы В нүктесінен А полюсіне қарай, ал векторы -ға перпендикуляр бағытымен бағытталады (2.26 сурет).
(2.4.19) бен (2.4.20) теңдіктерін ескере отырып (2.4.18) теңдеуін былай жазуға болады:
, (2.4.23)
бұл теңдеу жазық-параллель қозғалыстағы дене нүктелерінің үдеулерін қосу туралы теореманы береді. Сонымен, жазық қозғалыстағы дененің кез келген нүктесінің үдеуі полюстің (А нүктесі) үдеуі мен осы нүктенің (В нүктесі) полюсті айналғандағы центрге тартқыш және айналмалы үдеулерінің геометриялық қосындысына тең екен.
В нүктесінің үдеуінің модулі мен бағыты 2.26 суретте келтірілген.
А нүкте қисық сызықты қозғалыс жасаған жағдайда оның үдеуі жанама және нормаль үдеулердің геометриялық қосындысы ретінде, немесе айналмалы қозғалыстағы дене нүктесі болған жағдайда айналмалы және центрге тартқыш үдеулердің геометриялық қосындысы ретінде анықталады, яғни
, немесе .
Сонда (2.4.23) теңдеуі мына түрде жазылады:
. (2.4.24)
В нүктесі қисық сызықты қозғалыс жасаған жағдайда немесе айналмалы қозғалыстағы дене нүктесі болған жағдайда бұл нүктенің үдеуін мынандай қосындымен ауыстыруға болады:
, немесе .
Сонда үдеулерді қосу туралы (2.4.24) теорема былай жазылады:
. (2.4.25)
В нүктенің А полюсті айналғандағы үдеуінің модулі былай анықталады:
, (2.4.26)
осы үдеудің векторының АВ түзуімен құратын бұрышы мына өрнекпен анықталады:
. (2.4.27)
Соңғы өрнектен бұрышының полюске тәуелсіз екенін көреміз.
35МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕ ҮШІН ДАЛАМБЕР ПРИНЦИПІ
Материялық нүкте үшін Даламбер принципі нүкте динамикасының есептерін статиканың қарапайым әдістерімен шығаруға мүмкіндік береді.
актив күштері мен реакция күші әсер ететін материялық нүктені қарастырайық. Бұл нүкте үшін динамиканың негізгі заңы:
.
Осы заңды былай жазайық:
. (3.5.1)
Мынадай белгілеу енгізейік:
. (3.5.2)
векторы материялық нүктенің инерция күші деп аталады. Бұл күштің модулі нүктенің массасы мен үдеуінің көбейтіндісіне тең, ал бағыты үдеу векторына қарсы бағытталады.
(3.5.2) өрнегін ескерсек (3.5.1) теңдеуі мынадай түрге келеді:
. өрнегі материялық нүкте үшін Даламбер принципі болады: қозғалыстағы материялық нүктеге әсер ететін актив күштер, реакция күші мен инерция күші теңестірілген күштер жүйесін құрайды. Бірақ материялық нүктеге тек актив күштер мен реакция күші ғана әсер ететінін ескеру керек, ал инерция күші нүктеге әсер етпейді, сондықтан да ол жасанды күш болады.
Қисық сызықты қозғалыс жасайтын нүктенің үдеуінің векторы екі құраушыдан тұратыны бізге кинематикадан белгілі. Осыған сәйкес инерция күшін де екі құраушыға жіктейміз – инерция күшінің жанама құраушысына:
(3.5.4)
және инерция күшінің нормаль құраушысына:
. (3.5.5)
Бұл жағдайда Даламбер принципін былай жазуға болады:
. (3.5.6)
Инерция күшінің құраушыларының сан мәні, яғни модулі мына өрнектер бойынша анықталады:
, (3.5.7)
, (3.5.8)
бұл жердегі - нүктенің траекториясының қисықтық радиусы.
және векторлары сәйкес үдеулердің векторларына қарсы бағаттылады (3.23 сурет).
37Таралған күштер
Дененің бір нүктесіне түскен күш қадалған күш деп аталады. Бұдан басқа түзу бойына, жазықтық бетіне немесе көлемге түскен күштер де бар. Мұндай күштер таралған күштер немесе жүктемелер деп аталады.
Инженерлік есептеулерде әртүрлі заңдылықпен таралған жүктемелерді жиі кездестіруге болады. Енді бір жазықтықта жатқан таралған күштердің кейбір қарапайым түрлерін қарастырайық.
Жазықтықтағы біркелкі таралған күштер жүйесі жүктелген кесіндінің ұзындық бірлігіне келетін күш шамасымен, яғни таралу қарқындылығымен сипатталады. Қарқындылық ньютон бөлінген метрмен (Н/м) өлшенеді. 
1) Түзу сызық бойымен біркелкі таралған күштер
Біркелкі таралған күш (жүктеме) деп әсері түзу сызық бойымен біркелкі таралған күшті айтады (1.20 сурет). Мұндай күштер үшін қарқындылықтың мәні тұрақты болады. Статикалық есептеулерде бұл күштер жүйесін тең әсерлі күшпен алмастырады. Оның түсу нүктесі жүктелген кесіндінің ортасы болады, ал модулі:
. (1.5.10)
2) Түзу бойымен сызықтық заңымен таралған күштер (1.21 сурет). Мұндай жүктеменің мысалы ретінде судың плотинаға түсіретін қысымын айтуға болады. Бұл қысым күшінің ең үлкен мәні плотинаның түбіне әсер етіп, су бетінде нөлге дейін төмендейді. Мұндай күштер үшін қарқындылықтың мәні айнымалы болады да, нөлден қарқындылықтың максималдық мәніне дейін өседі. Бұл күштердің тең әсерлісі біртекті үшбұрышты пластинаға әсер ететін ауырлық күштерінің тең әсерлісі сияқты анықталады. Біртекті пластинаның салмағы оның ауданына пропорционал болғандықтан, оның модулі
, (1.5.11)
  күшінің түсу нүктесі үшбұрыш қабырғасынан қашықтықта жатады.
39Нүктенің қозғалыс мөлшері. Күш импульсі
Нүкте қозғалысының негізгі динамикалық сипаттамаларының бірі – қозғалыс мөлшері.
Нүктенің қозғалыс мөлшері деп оның массасы мен жылдамдық векторының көбейтіндісіне тең векторлық шаманы айтады: .
Қозғалыс мөлшерінің векторы әрқашан нүктенің жылдамдығымен бағыттас болады (3.12 сурет), модулі: . Қозғалыс мөлшерінің өлшем бірлігі немесе
Күш импульсі белгілі уақыт аралығындағы күш әсерін сипаттайды. Күштің элементар импульсі деп күш векторының элементар уақытқа көбейтіндісіне тең векторлық шаманы айтады:
. (3.4.1)
Бұл вектор күштің әсер ету сызығына бағыттас.
Шекті уақыт аралығындағы күш импульсі 0-ден t1-ге дейінгі элементар импульстен алынған интегралға тең:
. (3.4.2)
Күш импульсін екі жағдайда санауға болады.
Егер күштің модулі мен бағыты тұрақты болса (), онда .
Егер күш уақытқа тәуелді функция болса.
Егер күш нүктенің орнына не жылдамдығына тәуелді болса, онда күштің импульсін санау үшін нүктенің қозғалыс заңын білу қажет.
Есеп шығарғанда күш импульсін координата өстеріне проекциялайды, (3.4.2) өрнегінің декарттық координата өстеріне проекциялары былай жазылады:
. (3.4.3)
Күш импульсінің модулін оның проекциялары арқылы анықтауға болады:
.
Күш импульсінің өлшем бірлігі немесе
42Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема
Нүкте динамикасының негізгі заңы:

оның үдеуінің векторы жылдамдық векторынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең, яғни екенін ескерсек, былай жазылады:
. (3.4.4)
(3.4.4) теңдеуі нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың дифференциалдық түрі болады: нүктенің қозғалыс мөлшерінен уақыт бойынша алынған туынды нүктеге әсер ететін барлық күштердің геометриялық қосындысына тең.
күштері әсер ететін М нүктенің ден -ге дейінгі шекті уақыт аралығындағы М0-ден М1-ге дейінгі қозғалысын қарастырайық (3.13 сурет). Оның жылдамдығы -ден -ге дейін өзгерсін. (3.4.4) теңдеуінің екі жағын да dt-ға көбейтіп, интегралдайық:
немесе .
Егер (3.4.2) өрнегін ескеретін болсақ:
. (3.4.5)
(3.4.5) теңдеуі нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың интералдық (шекті) түрі болады: шекті уақыт аралығындағы нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі осы уақыт аралығында нүктеге әсер ететін барлық күштердің импульстерінің геометриялық қосындысына тең.
Есеп шығарғанда (3.4.5) векторлық теңдеуді декарттық координата өстеріне проекциялайды:
43Жазық-параллель қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдығы
Жылдамдығы белгілі А нүктені полюс етіп алып, жазық қиманың өз жазықтығындағы қозғалысын қарастырайық (2.18 сурет).
А мен В нүктелерінің және радиус-векторларын жүргізіп, А-дан В-ға жүргізілген векторды арқылы белгілейік. Сонда суреттен:
. (2.4.2)
Енді (2.4.2) теңдеуінен уақыт бойынша бірінші туынды аламыз:
. (2.4.3)
Жазық қима қозғалған кезде векторының модулі тұрақты, ал бағыты өзгеретін болғандықтан осы вектордан уақыт бойынша алынған туынды В нүктесінің А полюсін айналғандағы жылдамдығының векторы болады. Бұл жылдамдықты деп белгілеп, оны анықтайтын өрнек аламыз:
. (2.4.4)
Бұл вектор АВ-ға перпендикуляр -ның бағытымен бағытталған, ал оның сан шамасының өрнегі:
. (2.4.5)
А мен В нүктелерінің радиус-векторларының туындылары осы нүкте жылдамдықтарының векторлары екенін ескерсек:
,
онда жазық қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдықтарын қосу туралы теореманы аламыз: жазық қиманың кез келген В нүктесінің жылдамдығы А полюстің жылдамдығы мен осы нүктенің полюсті айналғандағы жылдамдығының геометриялық қосындысына тең:
.
векторының сан шамасы мен бағытын параллелограмм тұрғызу арқылы анықтауға болады (2.19 сурет).
.4.3 Жазық қиманың екі нүктесі жылдамдықтарының проекциялары туралы теорема
Жазық қима нүктелерінің жылдамдығын (2.4.6) өрнегінің көмегімен тікелей анықтау әдетте күрделі есептеулерді немесе күрделі тұрғызуларды талап етеді. Алайда қима нүктелерінің жылдамдығын осы өрнектің көмегімен қарапайым әдіспен анықтауға болады. Осындай әдістің біріне келесі теорема жатады.
Теорема. Жазық қиманың екі нүктесінің жылдамдықтарының осы нүктелер арқылы өтетін түзуге проекциялары өзара тең. Дәлелдеу. Берілген уақытта жазық қиманың А нүктесінің жылдамдығы , бұрыштық жылдамдығының айналу бағыты мен модулі белгілі болсын (2.20 сурет). В нүктенің жылдамдығы (2.4.6) өрнегімен анықталады. Енді А және В нүктелері арқылы х өсін жүргізіп, (2.4.6) өрнегін осы өске проекциялаймыз:
, (2.4.7)
векторы х өсіне перпендикуляр болғандықтан , болады.
Сонымен (2.4.7) өрнегінен мынаны аламыз:
немесе
. (2.4.8)
2.4.4 Жылдамдықтардың лездік центрі (ЖЛЦ)
Жазық қима нүктелерінің жылдамдығын анықтаудың басқа көрнекті әдісі жылдамдықтардың лездік центрі ұғымына негізделген.
Жазық қиманың берілген уақытта жылдамдығы нөлге тең нүктесі жылдамдықтардың лездік центрі (ЖЛЦ) деп аталады.
Теорема. Егер жазық қиманың бұрыштық жылдамдығы нөлге тең болмаса , онда жылдамдықтардың лездік центрі бар.
Дәлелдеу. А нүктесінің жылдамдығы нөлге тең емес болсын . Нөлге тең болса бұл нүкте анықтама бойынша жылдамдықтардың лездік центрі болуы керек. А нүктесінен бұрыштық жылдамдықтың бағытына қарай оның жылдамдығына перпендикуляр етіп кесіндісін жүргіземіз (2.21 сурет). Дене нүктелерінің жылдамдықтарын қосу туралы (2.4.6) теоремаға сәйкес былай жазуға болады:
. (2.4.9)
жылдамдығы -ның бағытымен АР-ға перпендикуляр бағытталған (2.21 сурет), оның сан шамасы .
екенін ескерсек:.
Сонымен, мен жылдамдықтарының сан шамалары тең, ал бағыттары қарсы болып шықты, яғни олардың геометриялық қосындысы:
.
Демек Р нүктесі жылдамдықтардың лездік центрі болады екен.
Жылдамдықтардың лездік центрінің көмегімен жазық қиманың кез келген нүктесінің жылдамдығы мен қиманың бұрыштық жылдамдығын анықтайтын өрнектер алуға болады. Ол үшін жылдамдықтардың лездік центрін полюс етіп алып, В нүктесі үшін (2.4.6) теореманы жазамыз (2.21 сурет):
,
бірақ , сондықтан
ал
Сонымен, В нүктісінің жылдамдығының модулі:
, (2.4.11)
ал жылдамдық векторы ВР-ға перпендикуляр -ның бағытымен бағытталады (2.21 сурет).
Дәл осылай С нүктесі үшін де , яғни:
(2.4.12)
бұл жылдамдықтың векторы СР-ға перпендикуляр -ның бағытымен бағытталады (2.21 сурет).
(2.4.10) – (2.4.12) өрнектерінен мынаны аламыз:
. (2.4.13)
Сонымен, жазық қиманың кез келген нүктесінің жылдамдығы нүктеден ЖЛЦ-іне дейінгі ара қашықтыққа пропорционал, ал нүкте жылдамдығының векторы осы нүктені ЖЛЦ-імен қосатын кесіндіге (лездік радиусқа) перпендикуляр бағытталады.
44 Инерция
Инерция (лат. іnertіa – әрекетсіздік), материялық денелердің механикадағы Ньютонның 1-және 2-заңдарында көрініс табатын қасиеті. Денеге сыртқы әсерлер (күштер) болмаған кезде немесе олар теңгерілген кезде, инерция дененің инерциялық санақ жүйесі деп аталатын жүйеге қатысты өзінің қозғалыс күйін немесе тыныштығын сақтайтындығынан білінеді. Егер денеге күштердің теңгерілмеген жүйесі әсер етсе, онда инерция дененің тыныштық күйі немесе қозғалыс күйі, яғни дене нүктелерінің жылдамдықтары лезде өзгермей, біртіндеп өзгеретіндігін көрсетеді. Бұл жағдайда дене инерциясы неғұрлым көп болса, дене қозғалысы солғұрлым баяу өзгереді. Дене инерциясының өлшемі – масса. Сондай-ақ «инерция» терминін әр түрлі аспаптарға да қолданады. Бұл ретте инерция деп аспаптың белгілі бір тіркелетін шаманы кешіктіріп көрсететіні түсініледі. Инерция заңы – сыртқы күштер (өзара әсерлер) әсер етпеген немесе әсер етуші күштер өзара теңескен жағдайда, инерциялық санақ жүйесімен салыстырғанда, дене өзінің қозғалыс не тыныштық күйін өзгертпей сақтайтындығын тұжырымдайтын механиканың негізгі заңдарының бірі. Жекелей алғанда, бұл жағдайда материялық нүкте тыныштық күйде болады не түзу сызық бойымен бірқалыпты қозғалады. Инерция күші – сан шамасы материялық нүктенің массасы (m) мен үдеуінің (w) көбейтіндісіне тең және үдеуге кері бағытталған векторлық шама. Қозғалысты инерциялық санақ жүйесіне қатысты зерттеу кезінде, статиканың қарапайым теңдеулері түрінде динамиканың теңдеулерін құру үшін инерция күші ендіріледі. Инерция күші ұғымы, сондай-ақ салыстырмалы қозғалысты зерттеуде де қолданылады.
52Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулері
МН {}күштер жүйесінің әсерінен инерциалдықОxyzсанақ жүйесіне қатысты қозғалатын болсын, және күштер арасына байланыстардың реакциялары да кіреді деп есептейміз.(5.2) теңдеуін декарт координат өстеріне проекциялап, декарт координаттарындағы қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін (ҚДТ) аламыз(5.3)табиғи өстерге проекциялап, нүкте қозғалысының табиғи дифференциалдық теңдеулерін аламыз(5.4)
53Нүктенің күрделі қозғалысының негізгі анықтамалары
Келесі анықтамаларды кіргізейік.
М нүктесінің қозғалмайтын О1x1y1z1 координата жүйесіне қатысты қозғалысы нүктенің абсолют қозғалысы деп аталады.
М нүктесінің қозғалатын Oxyz координата жүйесіне қатысты қозғалысы нүктенің салыстырмалы қозғалысы деп аталады.
Қозғалатын Oxyz жүйенің қозғалмайтын О1x1y1z1 жүйесіне қатысты қозғалысы М нүктесі үшін тасымал қозғалыс болады.
Мұндай қозғалыстың кинематикалық сипаттамаларын анықтау кезінде қозғалатын жүйеде берілген вектордан туынды алу қажеттілігі пайда болады. Осыған байланысты вектордың абсолют және салыстырмалы туындысының ұғымдарын ендіреміз.
Қозғалатын жүйеде берілген векторын қарастырайық. Егер қозғалатын координата жүйесінің бірлік векторлары болса (2.27 сурет), онда векторын былай жазуға болады
. (2.5.1)
Осы вектордың абсолют туындысын (қозғалмайтын координата жүйесіндегі туынды) анықтау ережесін алайық. Ол үшін қозғалатын жүйе қозғалған кезде векторлары өз бағыттарын өзгертетінін ескере отырып (2.5.1) теңдеуінің екі жағын да уақыт бойынша дифференциалдаймыз:
Сонда бірінші жақшадағы өрнек векторының қозғалатын жүйедегі туындысы болады.
Оны деп белгілейміз де, салыстырмалы туынды деп атаймыз, яғни
. (2.5.3)
векторлары бағыттарын қозғалатын жүйе тек айналмалы қозғалыс жасаған кезде өзгертетін болғандықтан, өрнегіндегі радиус-векторды және -мен алмастыра отырып мынаны аламыз
.
Сонда (2.5.2) теңдеуінің екінші жақшасындағы өрнекті былай түрлендіруге болады:
(2.5.4)
мұндағы - қозғалатын жүйенің бұрыштық жылдамдығы.
(2.5.3) және (2.5.4) теңдіктерін (2.5.2) теңдеуіне қойып, қозғалатын жүйеде берілген вектордың абсолют туындысы оның салыстырмалы туындысы мен қозғалатын жүйенің бұрыштық жылдамдығының осы вектормен векторлық көбейтіндісінің қосындысына тең екенін аламыз:
немесе .
56 Айналмалы қозғалыс дененің кез келген нүктесінің үдеуі
М нүктесінің үдеуін анықтау үшін оның (2.3.16) жылдамдығы векторынан уақыт бойынша туынды алу керек:
.
, ал екенін ескерсек:
. (2.3.17)
(2.3.17) өрнектің бірінші қосылғышын нүкте үдеуі векторының айналмалы құраушысы деп атап, былай белгілейміз:
,
ал екінші қосылғышын центрге тартқыш құраушысы деп атап, былай белгілейтін боламыз:
.
Сонымен, айналмалы қозғалыстағы дененің М нүктесі үдеуінің векторы оның айналмалы және центрге тартқыш құраушыларының геометриялық қосындысына тең екен:
. (2.3.18)
М нүктесі үдеуінің құраушыларының абсолют шамалары нүктенің айналмалы және центрге тартқыш үдеулері деп аталады. 2.14 а) суреттен болғандықтан, екі вектордың векторлық көбейтіндісінің модулін анықтау ережесі бойынша
,
демек нүктенің айналмалы үдеуі бұрыштық үдеу мен нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісіне тең екен:
. (2.3.19)
Дәл осылай центрге тартқыш үдеу үшін де

(2.3.15) өрнегін ескерсек, нүктенің центрге тартқыш үдеуі бұрыштық жылдамдық квадраты мен нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісіне тең болады:

Векторлардың векторлық көбейтіндісінің ережесі бойынша анықталған векторы шеңберге жанама бойымен бұрыштық үдеудің бағытына қарай, ал векторы – шеңбер радиусымен айналу өсіне қарай бағытталады (2.15 сурет). 2.15 суреттен нүктенің толық үдеуінің шамасын анықтаймыз:
. (2.3.21)
Нүктенің толық үдеуінің векторы М нүктесі сызатын шеңбер радиусымен бұрышын құрайды. Бұл бұрыштың тангенсі (2.15 сурет):

немесе (2.3.19) пен (2.3.20) өрнектерін ескере отырып мынаны аламыз:
.

Приложенные файлы

  • docx 19013821
    Размер файла: 580 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий