Voprosy k zachyotu A3 1

Вопросы к зачёту А3-10

Частичная и полная проблема собственных значений.
Метод интерполяции в решении полной проблемы собственных значений.
Степенной метод решения полной проблемы собственных значений. ( Максим с тебя метод оврагов)
LR- и QR-алгоритмы решения полной проблемы собственных значений.
Собственные векторы и собственные значения трехдиагональной матрицы.
Связь между задачами интегрирования и решения дифференциальных уравнений.
7. Устойчивые и неустойчивые дифференциальные уравнения и численные методы.
8. Одношаговые численные методы решения задачи Коши.
9. Одношаговые численные методы решения задачи Коши. Метод Эйлера.
10. Одношаговые численные методы решения задачи Коши. Метод Пикара.
11. Одношаговые численные методы решения задачи Коши. Методы Рунге–Кутта.
12. Многошаговые численные методы решения задачи Коши.
13. Многошаговые численные методы решения задачи Коши. Метод Адамса.
14. Устойчивость численных методов решения задачи Коши. Неявные методы.
15. Многозначные методы решения задачи Коши.
16. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
17. Численное решение краевых задач для ОДУ. Методы коллокаций, наименьших квадратов и Галеркина.
18. Численное решение краевых задач для ОДУ. Метод стрельбы.
19. Численное решение краевых задач для ОДУ. Методы конечных разностей.
20. Численные методы решения задачи Коши. Метод «с перешагиванием».
21. Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
22. Численное решение ОДУ, не приведенных к нормальному виду.
23. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
24. Поиск минимума функции одной переменной.
25. Поиск минимума функции одной переменной. Методом простого перебора.
26. Поиск минимума функции одной переменной. Симметричные итерационные методы.
27. Поиск минимума функции одной переменной. Метод Фибоначчи.
28. Поиск минимума функции одной переменной. Метод «золотого сечения».
29. Поиск минимума функции одной переменной. Метод касательных.
30. Поиск минимума функции одной переменной. Метод Ньютона.
31. Поиск минимума функции одной переменной. Последовательная параболическая интерполяция.
32. Поиск минимума случайной функции одной переменной.
33. Поиск минимума функции нескольких переменных.
34. Поиск минимума функции нескольких переменных. Метод координатного спуска.
35. Поиск минимума функции нескольких переменных. Метод градиентного спуска.
36. Поиск минимума функции нескольких переменных. Методом наискорейшего спуска.
37. Поиск минимума функции нескольких переменных. Метод сопряженных направлений
38. Поиск минимума функции нескольких переменных. Метод оврагов.
39. Оптимизация при наличии ограничении. Метод штрафных функций.
40. Поиск минимума линейной функции нескольких переменных. Симплекс-метод.










Частичная и полная проблема собственных значений.

·Полная проблема собственных значений – нахождение всех собственных значений и собственных векторов,частичная проблема собственных значений - нахождение некоторой части собственных значений, например только max или min
Рассмотрим матрицу АnЧn в n - мерном вещественном пространстве Rn векторов
x
·
·(x x2
·
·xn )T

·Собственным вектором x матрицы A называется ненулевой вектор (x
·
·
·) , удовлетворяющий равенству Ax
·
·
·x, где
·
·- собственное значение матрицы A,
соответствующее рассматриваемому собственному вектору.

·Собственные значения матрицы A с действительными элементами могут быть R различными, R кратными, С попарно сопряженными, С кратными.

·Способ нахождения собственных значений и собственных векторов заключается в следующем:
·A-
·E
·x
·
·,
·-нулевой вектор, т.е. det
·A-
·E
·
·
·0. Это уравнение называют характеристическим уравнением. Решая это уравнение получаем линейно независимые собственные векторы x j , j
·1,n, соответствующие собственным значениям
·j , j
·1,n
Вопрос воронцова : «Зачем вообще нам нужно искать собственные значения и собственные вектора?»
Ответ: Чтобы привести матрицу к удобному виду. Если количество линейно независимых собственных векторов матрицы A совпадает с размерностью пространства Rn , то их можно принять за новый базис, в котором матрица примет диагональный вид:

·
·
·U-1
·
·A
·U , на главной диагонали которой находятся собственные значения, а столбцы матрицы преобразования U являются собственными векторами матрицы A.

Метод интерполяции в решении полной проблемы собственных значений.

Надеюсь никто на этот вопрос отвечать не станет.
Но все же.
Интерполяция – это «по значениям, полученым опытным путем или методом случайной подборки нужно построить функцию, но которую бы с высокой точностью подали любые другие значения»
Интерполяция-кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки.
Функция задается как можно проще, главное чтоб через точки проходила.
Из учебника:
При небольших n<20 можно находить корни полинома
Р(лямда)= |A-лямда*Е|
n-ой степени. В методе интерполяции выбираются n + 1 произвольных значений
·
· по ним вычисляются значения P(
·
·и по ним и по ним строится многочлен энной степени. Он совпадает с P(
·
·
·
·

· находятся как корни интерполяционного многочлена.
Как смог описал метод своими словами, без кучи формул.
3) Степенной метод решения полной проблемы собственных значений

·Степенной метод-метод для решения частичной проблемы собственных векторов.(Поиск max собственного значения и вектора)
Пусть дана матрица AnЧn и некоторый вектор x(0)=(1,1,,1) T
Тогда для нахождения
·, составим итерационный процесс:
Ax(0)=x(1) ,
·
·(1)=xi(1)/xi(0)
Ax(1)=x(2) ,
·
·(2)=xi(2)/xi(1)
..
Ax(k-1)=x(k) ,
·
·(k)=xi(k)/xi(k-1), где xi(k) и xi(k-1)-компоненты векторов x(k) и x(k-1) i=1,.,n
т.к. на k-ой итерации x(k)=Ax(k-1)=A^(k)x(0), поэтому метод называется степенным. Условие для окончания итераций abs(
·(k)- (k-1))<
·


Таким образом
·(4) можно принять за искомое максимальное собственное значение.
Вопрос: Из рассмотренного выше примера видно, что у алгоритма есть недостаток, связанный с компоненты у(k).Поэтому при большом количестве итераций погрешность будет большой. Как этого избежать?
Ответ: Для этого применяется степенной метод с нормировкой итерируемого вектора.

<.>


16)Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

·Краевая задача - задача для нахождения решения y(x) ОДУ y''= f(x,y,y') с граничными условиями на концах отрезка [a;b]
Граничные условия

1-го рода
2-го рода
3-го рода(линейная комбинация)

y(a)=y0
y(b)=y1
y' (a)=y*0
y'(b)=y*1

·y(a)+
·y' (a)=y*0

·y(b)+
·y' (b)=y*1



13 SHAPE 1415
Вопрос Воронцова: «Чем отличается краевая задача ОДУ от задачи Коши?»
Ответ: Отличие краевой задачи от задачи Коши (задачи с начальными условиями) состоит в том, что решение дифференциального уравнения должно удовлетворять граничным условиям, связывающим значения искомой функции более чем в одной точке.

17. Численное решение краевых задач для ОДУ. Методы коллокаций, наименьших квадратов и Галеркина.

Надеюсь никто на этот вопрос отвечать не станет.
Но все же.

Пусть необходимо определить функцию[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (2.50)

и линейными краевыми условиями

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], (2.51)

причем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (2.52)

которую назовем системой базисных функций.
Пусть функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] удовлетворяет неоднородным краевым условиям

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (2.53)
а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (2.54)
ДАЛЕЕ МОЖНО НЕ ЧИТАТЬ, ПОСТАРАЮСЬ В ДВУХ СЛОВАХ В КОНЦЕ ВСЕГО СКАЗАТЬ( ЛИБО ЕСЛИ НЕ ЛЕНЬ И ВРЕМЕНИ НЕ ЖАЛКО – ЧИТАЙТЕ)
Если краевые условия (2.51) однородны (A=B=0), то можно положить [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и рассматривать лишь систему функций[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (2.55)

Тогда функция y удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

и аналогично [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Составим функцию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Подставляя сюда вместо y выражение (2.55), будем иметь

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].(2.56)

Если при некотором выборе коэффициентов ci выполнено равенство
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

то функция y является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и коэффициенты ci в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] обращалась в нуль в заданной системе точек [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] из интервала [a, b], которые называются точками коллокации. Сама функция R называетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.
Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (2.57)

Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).
Там куча выводов, но суть в том, что мы задаем условия для U, соответствующие краевым условиям. Получаем у= через U. Составляем R= зависящую от у, равняем к нулю, находим коэффициенты.
ОБЯЗАТЕЛЬНО СКАЗАТЬ:
Суть всех 3 методов ( остальные не буду давать – дам вообще апокалипсис ( похожи на этот, но чуть иначе)) заключается в нахождении коэффициентов в уравнении
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Коэффициентов с1, с2, с3, с4. Перед U1, U2, U3, U4.
Он скажет что вы молодцы и разобрались в сути вопроса ;-) Удачи!
18. Метод стрельбы.
Дано:
    
При фиксированном  решение задачи имеет вид  При  решение  зависит только от
·:

Задача: так как , надо найти угол (т.е угол а) при котором интегральная кривая, выходящая из точки попадет в точку , задача сводится к решению уравнения .

38. Метод оврагов.
Ставится задача найти минимум для овражной функции. Для этого выбираются две близкие точки и , и осуществляется спуск из этих точек (любым методом). Конечные точки спуска и будут лежать вблизи дна оврага. Затем осуществляется движение вдоль прямой, соединяющей и в сторону уменьшения (как бы вблизи дна оврага). Движение может быть осуществлено только на один шаг ~ h, направление выбирается из сравнения значения функции в точках и . Таким образом, находится новая точка . Так как возможно, что точка уже лежит на склоне оврага, а не на дне, то из нее снова осуществляется спуск в новую точку . Затем намечается новый путь по дну оврага вдоль прямой, соединяющей и . Если – процесс прекращается, а в качестве минимума в данном овраге используется значение .
Картинки из описания к работе:

Рис.1 Выполнение итераций и траектория в методе координатного спуска
Как ему объяснять: нарисовать картинку и сказать, мол, фиксируем одну переменную, находим минимум в другой и т.д.


9. Одношаговые численные методы решения задачи Коши. Метод Эйлера.
Одношаговые методы это методы в которых для нахождения решения yi+1 на следующем шаге достаточно иметь решение лишь на одном предыдущем шаге т.е. yi. Простейшим методом является метод степенных рядов.
Метод Эйлера это метод имеющий геометрическую следующую интерпретацию: на каждом шаге отрезок интегральной кривой y(x) заменяется отрезком касательной к ней.
Вопросы ВОРОНЦОВА: обычно метод используется для степеней m<=3. Где mпорядок степенного метода. И может быть большая погрешность

24. Поиск минимума функции одной переменной.
25. Поиск минимума функции одной переменной. Методом простого перебора.
Что такое функция одной перменной известно. Функция зависящая от одной перменной . F(X) где x принадлежит отрезку а-в включительною метод простого перебора заключается в том что на отрезке выбирается куча точек либо по порядку либо с каким-нибудь шагом. Дальше вычисляются значения функций в этих точках. Должно быть выполнено равенство Fj
15 многозначные методы решения. в узле x(j) есть точное решения y(x(j)) и 3 его производные, надо найти решение y(x(J+1)) в следующем узле( x(j+1) ) раскладываем в ряд Тейлора, отбрасываем все что выше 4 степени. далее преобразования(между производными и рядом тейлора).в итоге получаем нужную формулу для поиска решения y(x(J+1)).погрешность=(h**4)(y(n))/24 где h шаг. 35. Поиск минимума функции нескольких переменных. Метод градиентного спуска.
36. Поиск минимума функции нескольких переменных. Методом наискорейшего спуска.
Метод наискорейшего спуска является частным случаем метода градиентного спуска.
1)Задают начальное приближение и точность расчёта [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рассчитывают [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Проверяют условие остановки:
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  (выбирают одно из условий), то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  и переход к шагу 2.
Иначе [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  и останов.
В качестве лямбда мы можем выбрать: 1)константу(метод может не сойтись) 2)дробное число,т.е. длина шага в процессе спуска делится на некое число;3)осуществление метода наискорейшего спуска: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


































Ya

X

y(b)

y(a)

a

b



Методы коллокаций и ГалеркинаМетоды коллокаций и ГалеркинаМетоды коллокаций и ГалеркинаМетоды коллокаций и ГалеркинаМетоды коллокаций и ГалеркинаМетоды коллокаций и ГалеркинаМетоды коллокаций и ГалеркинаМетоды коллокаций и ГалеркинаМетоды коллокаций и ГалеркинаМетоды коллокаций и ГалеркинаМетоды коллокаций и ГалеркинаМетоды коллокаций и Галеркина15

Приложенные файлы

  • doc 19026617
    Размер файла: 233 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий