K rab2

Контрольная работа №2 по математике
для студентов 1 курса заочного отделения
инженерно-строительного факультета
1-700 201 промышленное и гражданское строительство
1-700 101 производство строительных материалов и конструкций
1-700 402 теплогазообеспечение, вентиляция и охрана воздушного бассейна

(2-ой семестр)

Изучаемые разделы: Элементы высшей алгебры. Комплексные числа. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление функций многих переменных. Векторный анализ и элементы теории поля.

1.Решение типового варианта.

Задача 1. Заданы два комплексных числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вычислить13 EMBED Equation.DSMT4 1415+ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415*13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415/ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти модуль и аргумент комплексного числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и изобразить его на плоскости, записать число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в тригонометрической и показательной форме, вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
По формулам суммы, разности и произведения комплексных чисел имеем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415+ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415- 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415* 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Для вычисления частного умножим числитель и знаменатель дроби на число сопряженное знаменателю и выполним преобразования
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
По формулам для определения модуля r и аргумента 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 комплексного числа находим,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Это означает, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Показательная форма записи числа имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Изобразим на плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 комплексное число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Для возведения комплексного числа в степень удобно воспользоваться формулой Муавра в тригонометрической или показательной форме.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Корень n-ой степени из комплексного числа z имеет n значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , k=0,1,,n-1, которые находятся по формулам
13 EMBED Equation.DSMT4 1415- арифметический корень n-ой степени из r. Используя эти формулы, получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Задача 2. Используя ортогональное преобразование, привести к каноническому виду уравнение кривой 13 EMBED Equation.3 1415 и найти формулы преобразования координат.

Решение. Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415.
Матрица этой квадратичной формы имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Составим характеристическое уравнение матрицы
13 EMBED Equation.3 1415.
Откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем собственные векторы. Для 13 EMBED Equation.3 1415имеем систему уравнений
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Нормируя полученные векторы, находим
13 EMBED Equation.3 1415.
Для 13 EMBED Equation.3 1415 получаем систему
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Нормируя полученные векторы, имеем
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, матрица преобразования координат имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415,
формулы преобразования осей координат имеют вид
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Подставив в уравнение данной кривой выражения для x и y из (1), имеем
13 EMBED Equation.3 1415
После несложных преобразований получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Применив метод выделения полного квадрата, получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415


13 EMBED Equation.DSMT4 1415

С помощью формул параллельного переноса системы координат
13 EMBED Equation.3 1415
получаем
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение эллипс с полуосями 13 EMBED Equation.3 1415.



Задача 3. Найти неопределённые интегралы. В пунктах a и b результаты интегрирования проверить дифференцированием.
Решение.
3.a. 13EMBED Unknown1415
Преобразуем подынтегральную функцию таким образом, чтобы в числителе получилась производная знаменателя:
13EMBED Unknown1415
Проверим полученный результат:
13EMBED Unknown1415
3.b. 13EMBED Unknown1415
Воспользуемся методом интегрирования по частям, основанном на следующей формуле: 13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
Выполним проверку результата:
13EMBED Unknown1415

3.c. 13EMBED Unknown1415
Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим её знаменатель на множители: 13EMBED Unknown1415 тогда:
13EMBED Unknown1415
Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю, и приравняв числители дробей, получим тождество:
13EMBED Unknown1415
Найдём искомые коэффициенты:
а) полагая 13EMBED Unknown1415, получаем 13EMBED Unknown1415, откуда 13EMBED Unknown1415;
б) полагая 13EMBED Unknown1415, получаем 13EMBED Unknown1415, откуда 13EMBED Unknown1415;
в) полагая 13EMBED Unknown1415, получаем 13EMBED Unknown1415, откуда 13EMBED Unknown1415;
Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим:
13EMBED Unknown1415
3.d. 13EMBED Unknown1415
Подынтегральная функция представляет собой интеграл вида:
13EMBED Unknown1415
Где 13EMBED Unknown1415 - рациональная функция; 13EMBED Unknown1415 - целые положительные числа. С помощью подстановки 13EMBED Unknown1415 (здесь 13EMBED Unknown1415 - наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 13EMBED Unknown1415) данный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции.
13EMBED Unknown1415
Задача 4. Вычислить приближённое значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением третьего десятичного знака.
Решение. Формула Симпсона или формула парабол имеет вид:
13EMBED Unknown1415(1)
где 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415.
Рассмотрим 13EMBED Unknown1415 при 13EMBED Unknown1415 тогда 13EMBED Unknown1415.
Составим таблицу значений подынтегральной функции, необходимых для вычисления данного интеграла.

13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415

13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown14
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·В последней строке таблицы находятся суммы чисел соответствующих столбцов.
Так как
13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
по формуле (1) находим
13EMBED Unknown1415

Задача 5. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
Решение. В соответствии определением несобственных интегралов имеем
5.a. 13EMBED Unknown1415
5.b. 13EMBED Unknown1415
Задача 6.
6.a. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415.
Решение. Построим графики данных кривых:

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Найдём точки пересечения данных кривых: 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415 Тогда по формуле 13EMBED Unknown1415 имеем:
13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
Окончательно имеем:
13EMBED Unknown1415
6.b. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми 13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415.
Решение. Построим графики данных кривых:

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Для отыскания 13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415 воспользуемся формулами:
13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415
Найдём точки пересечения кривых: 13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415, тогда 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415
Имеем:
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
Откуда 13EMBED Unknown1415
Задача 7. Найти область определения функции 13EMBED Unknown1415.
Решение. Логарифмическая функция определяется только при положительном значении аргумента, поэтому 13EMBED Unknown1415, или 13EMBED Unknown1415.
Значит, границей области будет линия 13EMBED Unknown1415, т.е. парабола.
Из неравенства получаем, что областью определения данной функции является заштрихованная часть плоскости без точек параболы.

Задача 8. Найти частные производные 1-го порядка функции 13EMBED Unknown1415.
Решение. Находим частную производную по x данной функции, считая y постоянной и используя формулу дифференцирования сложной функции одной переменной:
13EMBED Unknown1415,
аналогично вычисляем производную по y.
13EMBED Unknown1415.
Задача 9. Даны функция 13EMBED Unknown1415, точка А(-1;0), вектор 13EMBED Unknown1415.
Найти:
9.а. grad z в точке А;
9.b. производную функции f(x,y) в точке А в направлении 13EMBED Unknown1415;
9.c. уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в точке 13EMBED Unknown1415
Решение.
9.а. По определению grad z=13EMBED Unknown1415.
Вычислим частные производные и их значения в точке А.
13EMBED Unknown1415; 13EMBED Unknown1415; 13EMBED Unknown1415; 13EMBED Unknown1415.
Следовательно: grad 13EMBED Unknown1415 .
9.b. Справедлива формула (1) 13EMBED Unknown1415, где 13EMBED Unknown1415- угол, образованный вектором 13EMBED Unknown1415 с осью OX.
Здесь 13EMBED Unknown1415; 13EMBED Unknown1415.
Тогда, применяя формулу (1), получим:
13EMBED Unknown1415.
9.c. Найдём значение функции 13EMBED Unknown1415 в точке А(-1;0). 13EMBED Unknown1415. Тогда С(-1;0;1).
Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке 13EMBED Unknown1415 имеет вид
13EMBED Unknown1415, (2)
а уравнение нормали –
13EMBED Unknown1415. (3)
Подставим найденные значения частных производных в точке А(-1;0) в формулу (2), найдём уравнение касательной плоскости в точке С(-1;0;1): 13EMBED Unknown1415 или 13EMBED Unknown1415, а уравнение нормали на основании формулы (3) запишется в виде: 13EMBED Unknown1415.
Задача 10. Найти экстремум функции 13EMBED Unknown1415.
Решение. Находим стационарные точки функции. Для этого вычисляем первые частные производные данной функции:
13EMBED Unknown1415; 13EMBED Unknown1415.
Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений
13EMBED Unknown1415,
из которой определяем стационарные точки данной функции:
13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415,13EMBED Unknown1415.
Теперь воспользуемся достаточными условиями экстремума. Вычислим вторые частные производные:
13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415,
13EMBED Unknown1415.
Имеем: для точки 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415, т.е. экстремума нет, для точки 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415, т.е. экстремума нет, для точки 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415, т.е. экстремума нет, для точки 13EMBED Unknown1415 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415, т.е. имеем точку локального минимума функции, в которой 13EMBED Unknown1415.

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 13EMBED Unknown1415 в области 13EMBED Unknown1415, ограниченной линиями x=0, y=0, x+y-1=0.

Решение. Область задания функции представляет собой треугольник, ограниченный координатными осями и прямой x+y =1.







13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415






Выясним, существуют ли стационарные точки, лежащие внутри данной области 13EMBED Unknown1415, т.е. внутри треугольника ОАВ.
Имеем
13EMBED Unknown1415 х=-10, у=-3
Получили точку М(-10; 3). Она не принадлежит области 13EMBED Unknown1415, следовательно значение функции в ней не учитываем.
Исследуем значения функции на границе области 13EMBED Unknown1415. Поскольку граница состоит из трёх участков, описанных тремя разными уравнениями, то приходится исследовать функцию на каждом участке отдельно.
Исследуем функцию на участке ОА, где А(1;0). Уравнением связи является у=0. С учётом его функция представима в виде z=3х. Так как 13EMBED Unknown1415, то стационарных точек на отрезке ОА нет. Найдём значение функции z=3x в точке О и А соответственно 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415.
Исследуем функцию на участке ОВ, где В(0;1). Уравнением связи является у=0. С учётом его функция представима в виде 13EMBED Unknown1415. Тогда 13EMBED Unknown1415. Находим стационарную точку из уравнения 13EMBED Unknown1415; получаем, что у=2. Стационарная точка 13EMBED Unknown1415 не принадлежит области 13EMBED Unknown1415. Значение функции в точке В 13EMBED Unknown1415.
Исследуем функцию вдоль участка прямой х+у=1. Подставляя у=1-х в выражение для функции, получим: 13EMBED Unknown1415, тогда 13EMBED Unknown1415, -4х+2=0, 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415. Стационарная точка 13EMBED Unknown1415 принадлежит области 13EMBED Unknown1415. Значение функции в ней 13EMBED Unknown1415.
Сравниваем значения 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415, заключаем, что 3,5 – наибольшее значение функции, достижимое в точке 13EMBED Unknown1415, а 0 – наименьшее значение, достигаемое в точке (0,0).
13EMBED Unknown1415, 13EMBED Unknown1415.
Задача 12. Вычислить повторный интеграл
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Чтобы вычислить повторный интеграл, нужно вычислить внутренний, а потом – внешний [1, с. 382], при этом при вычислении внутреннего интеграла переменная интегрирования внешнего интеграла (в данном случае переменная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415) считается постоянной. Следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 13. Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
13.a. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13.b. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Для решения следует изучить [1, с. 382-384].
13.a. Изобразим область интегрирования на чертеже (рис. 1): она ограничена линиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Рис. 1

Эта область является правильной и в направлении оси 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, однако ее правая граница задается двумя линиями: отрезками прямых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, поэтому ее придется разбить на две части. Следовательно
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

13.b. Область интегрирования ограничена линиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис. 2).

Рис. 2
Она является правильной и в направлении оси 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, но ее верхняя граница состоит из двух линий: дуги параболы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и дуги окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, ее придется разбить на две части, поэтому
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задача 14. Вычислить криволинейный интеграл
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
по контуру треугольника 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Так как контур треугольника состоит из трех отрезков (сторон треугольника), то
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
при этом мы предполагаем, что контур 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 обходится против часовой стрелки.
Рассмотрим отдельно каждый интеграл.
Уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. считаем, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – параметр. Следовательно
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, поэтому
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, поэтому
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отв.: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Задача 15. Вычислить криволинейный интеграл
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
пробегая против часовой стрелки верхнюю дугу окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Если точка пробегает верхнюю дугу окружности против часовой стрелки, то параметр 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 изменяется от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 до 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отв.: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Задачи для контрольной работы.

Задача 1. Заданы два комплексных числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вычислить13 EMBED Equation.DSMT4 1415+ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415*13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415/ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти модуль и аргумент комплексного числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и изобразить его на плоскости, записать число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в тригонометрической и показательной форме, вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Вари-ант
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вариант
13 EMBED Equation.DSMT4
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Задача 2. Используя ортогональное преобразование, привести к каноническому виду уравнение кривой и найти формулы преобразования координат.

Вариант
Уравнение кривой

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13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415

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13 EMBE
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13 EMBED Equation.3 1415

100
13 EMBED Equation.3 1415



Задача 3. Найти неопределённые интегралы. В пунктах a и b результаты интегрирования проверить дифференцированием.


13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415

13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415

13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415

13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown
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·Задача 4.
В задаче нужно вычислить интеграл с помощью формулы Симпсона при указанных значениях параметра, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до 3-его десятичного знака числа. Параметр p равен последней цифре номера варианта плюс 1.
4.1 – 4.10

13EMBED Unknown1415

4.11 – 4.20

13EMBED Unknown1415

4.21 – 4.30
13EMBED Unknown1415

4.31 – 4.40
13EMBED Unknown1415

4.41 – 4.50

13EMBED Unknown1415

4.51 – 4.60

13EMBED Unknown1415

4.61 – 4.70

13EMBED Unknown1415

4.71 – 4.80

13EMBED Unknown1415

4.81 – 4.90

13EMBED Unknown1415

4.91 – 4.100
13EMBED Unknown1415
Задача 5
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED U
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·n1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415

13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415

Задача 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 13EMBED Unknown1415 и прямой 13EMBED Unknown1415.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды 13EMBED Unknown1415и осью Ох.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой13EMBED Unknown1415.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной двухлепестковой розой 13EMBED Unknown1415.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами 13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом 13EMBED Unknown1415, параболой 13EMBED Unknown1415 и осью Оу.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми 13EMBED Unknown1415и13EMBED Unknown1415.
Вычислить длину дуги полукубической параболы 13EMBED Unknown1415 от точки A(2;0) до точки B (6;8)
Вычислить длину кардиоиды 13EMBED Unknown1415.
Вычислить длину одной арки циклоиды 13EMBED Unknown1415.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами 13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 13EMBED Unknown1415 и локоном Аньези13EMBED Unknown1415.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой13EMBED Unknown1415.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой 13EMBED Unknown1415.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом13EMBED Unknown1415.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной эллипсом 13EMBED Unknown1415.
Вычислить длину кривой 13EMBED Unknown1415 между точками пересечения с осями координат.
Вычислить длину полукубической параболы 13EMBED Unknown1415 от точки O(0; 0) до точки M13EMBED Unknown1415.
Найти длину дуги полукубической параболы 13EMBED Unknown1415, заключенной внутри окружности 13EMBED Unknown1415.
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой 13EMBED Unknown1415 и осью Ох.
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами 13EMBED Unknown1415 и 13EMBED Unknown1415.
Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды 13EMBED Unknown1415, расположенной над осью Оx.
Найти координаты центра тяжести однородной дуги одной арки циклоиды 13EMBED Unknown1415.
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом 13EMBED Unknown1415 и осями координат Ох и Оу 13EMBED Unknown1415.
Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а = 2м, радиус r = 0.3м.
Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h = 3м и радиусом основания r = 1 м, на его стенки. Плотность бензина р.
В жидкость с плотностью р погружена круглая пластинка диаметром d = 1.5м, касающаяся поверхности жидкости. Найти силу давления жидкости на пластинку.
Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой 13EMBED Unknown1415 от 13EMBED Unknown1415 до 13EMBED Unknown1415.
Найти длину дуги кривой 13EMBED Unknown1415.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 13EMBED Unknown1415.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 13EMBED Unknown1415 и прямой 13EMBED Unknown1415.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой 13EMBED Unknown1415 и прямой 13EMBED Unknown1415.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой 13EMBED Unknown1415 и окружностью r = 4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды 13EMBED Unknown1415 и осью Ох.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной цепной линией 13EMBED Unknown1415, осью Ох и прямыми х = ±1.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами у = х2 .
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной локоном Аньези 13EMBED Unknown1415, прямой 13EMBED Unknown1415 и осью Оу.
Вычислить длину дуги полукубической параболы 13EMBED Unknown1415 от x = 0 до x = 3.
Вычислить длину астроиды 13EMBED Unknown1415.
Вычислить длину кардиоиды 13EMBED Unknown1415.
Найти координаты центра тяжести однородной дуги цепной линии 13EMBED Unknown1415 от точки (0, 1) до точки 13EMBED Unknown1415.
Найти координаты центра тяжести дуги астроиды 13EMBED Unknown1415, расположенной в первом квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.
Деревянная прямоугольная балка, размеры поперечного сечения которой а = 0,4 м, b = 0,2 м, длина l = 4,5 м, плавает на поверхности воды. Удельный вес дерева у = 0,8 Г/см3. Вычислить работу, необходимую для извлечения балки из воды.
Растяжение (удлинение) пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, затрачиваемую при растяжении пружины на 6 см, если сила, равная 2 кГ, удлиняет ее на 1 см.
Вычислить работу, которую необходимо затрати
·ть, чтобы выкачать воду из сосуда, имеющего форму прямого круглого конуса с вертикальной осью, обращенного вершиной вниз, если радиус основания конуса r = 2 м и высота h = 5 м.
Вертикальная плотина имеет форму параболического сегмента, высота которого h12 м, а верхнее основание совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 30 м. Вычислить силу давления воды на плотину.
Вертикальная плотина имеет форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 50 м, нижнее основание b = 20 м, а высота h = 15 м. Вычислить силу давления воды на плотину.
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой косинусоиды 13EMBED Unknown1415 и отрезком оси Ох от х = 0 до 13EMBED Unknown1415.
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой синусоиды 13EMBED Unknown1415 и отрезком оси Ох от х = 0 до 13EMBED Unknown1415.
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами 13EMBED Unknown1415.
Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара Р. Удельный вес воды принять равным 9,81кН/м , 13EMBED Unknown1415 = 3,14. (Результат округлить до целого числа.)
Р: правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2м и высотой 5м.
Р: правильная четырехугольная пирамида, обращенная вершиной вниз. Сторона основания пирамиды равна 2 м, высота 6м.
Р: котел, имеющий форму сферического сегмента, высота которого 1,5м и радиус 1м.
Р: полуцилиндр, радиус основания которого 1 м, дли на 5м.
Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 1м, нижнего 2м, высота Зм.
Р: желоб, перпендикулярное сечение которого является параболой. Длина желоба 5 м, ширина 4 м, глубина 4 м.
Р: цилиндрическая цистерна, радиус основания ко торой 1м, длина 5м.
Р: правильная треугольная пирамида с основанием 2м и высотой 5м.
Р: правильная треугольная пирамида, обращенная вершиной вниз, сторона основания которой 4 м, высота 6 м.
Р: конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 3 м, высота 5м.
Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 3 м, нижнего 1м, высота 3м.
Р: конус с радиусом основания 2 м и высотой 5 м.
Р: правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой сторона верхнего основания 8 м, нижнего 4 м, высота 2м.
Р: параболоид вращения, радиус основания которого 2м, глубина 4м.
Р: половина эллипсоида вращения, радиус основания которого 1м, глубина 2м.
Р: усеченная четырехугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего 4 м, высота 1м.
Р: правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1 м и высотой 2м.
Р: правильная шестиугольная пирамида с вершиной, обращенной вниз, сторона основания которой 2 м, высота 6м.
Р: цилиндр с радиусом основания 1 м и высотой 3 м.
Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 1 м, нижнего 2 м, высота 2 м.
Р: желоб, в перпендикулярном сечении которого лежит полуокружность радиусом 1м, длина желоба 10 м.
Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего 1м, высота 2м.
Р: полусфера радиусом 2м.

Вычислить работу, затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения Q из некоторого материала, удельный вес которого 13EMBED Unknown1415- (Результат округлить до целого числа.)
Q: правильная усеченная четырехугольная пирами да, сторона верхнего основания которой равна 2 м, нижнего 4м, высота 2м; 13EMBED Unknown1415 = 24кН/м3.
Q: правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1м и высотой 2м; 13EMBED Unknown1415 24кН/ м3 .
Q: правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2м и высотой 4м; 13EMBED Unknown1415 - 24кН/ м3.
Q: правильная шестиугольная усеченная пирамида, сторона верхнего основания которой равна 1 м, нижнего 2м, высота 2м; 13EMBED Unknown1415 = 24кН/м3.
Q: правильная треугольная пирамида со стороной основания 3 м и высотой 6м; 13EMBED Unknown1415 = 20кН/м3 .
Q: конус, радиус основания которого 2 м, высота 3 м; 13EMBED Unknown1415 = 20 кН/м3.
Q: усеченный конус, радиус верхнего основания которого равен 1 м, нижнего 2 м, высота 2 м; 13EMBED Unknown1415 21 кН/ м3

Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной данными линиями.
Ф треугольник, стороны которого лежат на прямых х + у = a, x = 0 и y = 0.
Ф ограничена эллипсом х2/а2 + у2/b2 = 1 и осями координат (х 13EMBED Unknown1415 0, у 13EMBED Unknown1415 0).
Ф ограничена первой аркой циклоиды
х a(t sin t), у = a(l cost) и осью Ох.
Ф, ограничена кривыми у = х2, 13EMBED Unknown1415.
Ф ограничена дугой синусоиды у = sin x и отрезком оси Ох (13EMBED Unknown1415).
Ф ограничена полуокружностью 13EMBED Unknown1415 и осью Ох.
Ф ограничена дугой параболы 13EMBED Unknown1415 (а > 0, b > 0), осью Ох и прямой х = b.
Ф ограничена дугой параболы 13EMBED Unknown1415 (а > 0, b > 0), осью Оy и прямой y = b.
Ф ограничена замкнутой линией у2 = ах3 - х4.
Ф ограничена осями координат и дугой астроиды, расположенной в первом квадранте.
Ф сектор круга радиусом R с центральным углом, равным 2а.
Ф ограничена кардиоидой 13EMBED Unknown1415 = а(1 +cos13EMBED Unknown1415).
Ф ограничена первой петлей лемнискаты Бернулли 13EMBED Unknown1415 = a2cos213EMBED Unknown1415.
Ф ограничена осями координат и параболой13EMBED Unknown1415.
Ф ограничена полукубической параболой ау2 = х3 и прямой х = а (а > 0).
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
r = 3 + sin213EMBED Unknown1415 между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.
r = 2 cos313EMBED Unknown1415 между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.

Задача 7. Определить и изобразить область существования следующей функции:

7.1. 13EMBED Unknown1415; 7.2. 13EMBED Unknown1415;
7.3. 13EMBED Unknown1415; 7.4.13EMBED Unknown1415;
7.5.13EMBED Unknown1415; 7.6.13EMBED Unknown1415;
7.7.13EMBED Unknown1415; 7.8.13EMBED Unknown1415;
7.9.13EMBED Unknown1415; 7.10.13EMBED Unknown1415;
7.11.13EMBED Unknown1415; 7.12.13EMBED Unknown1415;
7.13.13EMBED Unknown1415; 7.14.13EMBED Unknown1415;
7.15.13EMBED Unknown1415; 7.16.13EMBED Unknown1415;
7.17.13EMBED Unknown1415; 7.18.13EMBED Unknown1415;
7.19.13EMBED Unknown1415; 7.20.13EMBED Unknown1415;
7.21.13EMBED Unknown1415; 7.22.13EMBED Unknown1415;
7.23.13EMBED Unknown1415; 7.24.13EMBED Unknown1415;
7.25.13EMBED Unknown1415; 7.26.13EMBED Unknown1415;
7.27.13EMBED Unknown1415; 7.28.13EMBED Unknown1415;
7.29.13EMBED Unknown1415; 7.30.13EMBED Unknown1415;
7.31.13EMBED Unknown1415; 7.32.13EMBED Unknown1415;
7.33.13EMBED Unknown1415; 7.34.13EMBED Unknown1415;
7.35.13EMBED Unknown1415; 7.36.13EMBED Unknown1415;
7.37.13EMBED Unknown1415; 7.38.13EMBED Unknown1415;
7.39.13EMBED Unknown1415; 7.40.13EMBED Unknown1415;
7.41.13EMBED Unknown1415; 7.42.13EMBED Unknown1415;
7.43.13EMBED Unknown1415; 7.44.13EMBED Unknown1415;
7.45.13EMBED Unknown1415; 7.46.13EMBED Unknown1415;
7.47.13EMBED Unknown1415; 7.48.13EMBED Unknown1415;
7.49.13EMBED Unknown1415; 7.50.13EMBED Unknown1415;
7.51.13EMBED Unknown1415; 7.52.13EMBED Unknown1415;
7.53.13EMBED Unknown1415; 7.54.13EMBED Unknown1415;
7.55.13EMBED Unknown1415; 7.56.13EMBED Unknown1415;
7.57.13EMBED Unknown1415; 7.58.13EMBED Unknown1415;
7.59.13EMBED Unknown1415; 7.60.13EMBED Unknown1415;
7.61.13EMBED Unknown1415; 7.62. 13EMBED Unknown1415;
7.63.13EMBED Unknown1415; 7.64.13EMBED Unknown1415;
7.65.13EMBED Unknown1415; 7.66.13EMBED Unknown1415;
7.67.13EMBED Unknown1415; 7.68.13EMBED Unknown1415;
7.69.13EMBED Unknown1415; 7.70.13EMBED Unknown1415;
7.71.13EMBED Unknown1415; 7.72.13EMBED Unknown1415;
7.73.13EMBED Unknown1415; 7.74.13EMBED Unknown1415;
7.75.13EMBED Unknown1415; 7.76.13EMBED Unknown1415;
7.77.13EMBED Unknown1415; 7.78.13EMBED Unknown1415;
7.79.13EMBED Unknown1415; 7.80.13EMBED Unknown1415;
7.81.13EMBED Unknown1415; 7.82.13EMBED Unknown1415;
7.83.13EMBED Unknown1415; 7.84.13EMBED Unknown1415
7.85.13EMBED Unknown1415; 7.86.13EMBED Unknown1415;
7.87.13EMBED Unknown1415; 7.88.13EMBED Unknown1415;
7.89.13EMBED Unknown1415; 7.90.13EMBED Unknown1415;
7.91.13EMBED Unknown1415; 7.92.13EMBED Unknown1415;
7.93.13EMBED Unknown1415; 7.94.13EMBED Unknown1415;
7.95.13EMBED Unknown1415; 7.96.13EMBED Unknown1415;
7.97.13EMBED Unknown1415; 7.98.13EMBED Unknown1415;
7.99.13EMBED Unknown1415; 7.100.13EMBED Unknown1415.

Задача 8. Найти частные производные 1-го порядка следующей функции:
8.1.13EMBED Unknown1415; 8.2.13EMBED Unknown1415;
8.3.13EMBED Unknown1415; 8.4.13EMBED Unknown1415;
8.5.13EMBED Unknown1415; 8.6.13EMBED Unknown1415;
8.7.13EMBED Unknown1415; 8.8.13EMBED Unknown1415;
8.9.13EMBED Unknown1415; 8.10.13EMBED Unknown1415;
8.11.13EMBED Unknown1415; 8.12.13EMBED Unknown1415;
8.13.13EMBED Unknown1415; 8.14.13EMBED Unknown1415;
8.15.13EMBED Unknown1415; 8.16.13EMBED Unknown1415;
8.17.13EMBED Unknown1415; 8.18.13EMBED Unknown1415;
8.19.13EMBED Unknown1415; 8.20.13EMBED Unknown1415;
8.21.13EMBED Unknown1415; 8.22.13EMBED Unknown1415;
8.23.13EMBED Unknown1415; 8.24.13EMBED Unknown1415;
8.25.13EMBED Unknown1415; 8.26.13EMBED Unknown1415;
8.27.13EMBED Unknown1415; 8.28.13EMBED Unknown1415;
8.29.13EMBED Unknown1415; 8.30.13EMBED Unknown1415;
8.31.13EMBED Unknown1415; 8.32.13EMBED Unknown1415;
8.33.13EMBED Unknown1415; 8.34.13EMBED Unknown1415;
8.35.13EMBED Unknown1415; 8.36.13EMBED Unknown1415;
8.37.13EMBED Unknown1415; 8.38.13EMBED Unknown1415;
8.39.13EMBED Unknown1415; 8.40.13EMBED Unknown1415;
8.41.13EMBED Unknown1415; 8.42.13EMBED Unknown1415;
8.43.13EMBED Unknown1415; 8.44.13EMBED Unknown1415;
8.45.13EMBED Unknown1415; 8.46.13EMBED Unknown1415;
8.47.13EMBED Unknown1415; 8.48.13EMBED Unknown1415;
8.49.13EMBED Unknown1415; 8.50.13EMBED Unknown1415;
8.51.13EMBED Unknown1415; 8.52.13EMBED Unknown1415;
8.53.13EMBED Unknown1415; 8.54.13EMBED Unknown1415;
8.55.13EMBED Unknown1415; 8.56.13EMBED Unknown1415;
8.57.13EMBED Unknown1415; 8.58.13EMBED Unknown1415;
8.59.13EMBED Unknown1415; 8.60.13EMBED Unknown1415;
8.61.13EMBED Unknown1415; 8.62.13EMBED Unknown1415;
8.63.13EMBED Unknown1415; 8.64.13EMBED Unknown1415;
8.65.13EMBED Unknown1415; 8.66.13EMBED Unknown1415;
8.67.13EMBED Unknown1415; 8.68.13EMBED Unknown1415;
8.69.13EMBED Unknown1415; 8.70.13EMBED Unknown1415;
8.71.13EMBED Unknown1415; 8.72.13EMBED Unknown1415;
8.73.13EMBED Unknown1415; 8.74.13EMBED Unknown1415;
8.75.13EMBED Unknown1415; 8.76.13EMBED Unknown1415
8.77.13EMBED Unknown1415; 8.78.13EMBED Unknown1415;
8.79.13EMBED Unknown1415; 8.80.13EMBED Unknown1415;
8.81.13EMBED Unknown1415; 8.82.13EMBED Unknown1415;
8.83.13EMBED Unknown1415; 8.84.13EMBED Unknown1415;
8.85.13EMBED Unknown1415; 8.86.13EMBED Unknown1415;
8.87.13EMBED Unknown1415; 8.88.13EMBED Unknown1415;
8.89.13EMBED Unknown1415; 8.90.13EMBED Unknown1415;
8.91.13EMBED Unknown1415; 8.92.13EMBED Unknown1415;
8.93.13EMBED Unknown1415; 8.94.13EMBED Unknown1415;
8.95.13EMBED Unknown1415; 8.96.13EMBED Unknown1415;
8.97.13EMBED Unknown1415; 8.98.13EMBED Unknown1415;
8.99.13EMBED Unknown1415; 8.100.13EMBED Unknown1415.

Задача 9.. Дано: функция z=f(x,y), точка 13EMBED Unknown1415, вектор 13EMBED Unknown1415.
Найти:
1) grad z в точке А;
2) производную функции f(x,y) в точке А в направлении 13EMBED Unknown1415;
3) уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в точке 13EMBED Unknown1415. Добавить дифференциальные операции поля
9.1.13EMBED Unknown1415;
9.2.13EMBED Unknown1415;
9.3.13EMBED Unknown1415;
9.4.13EMBED Unknown1415;
9.5.13EMBED Unknown1415;
9.6.13EMBED Unknown1415;
9.7.13EMBED Unknown1415;
9.8.13EMBED Unknown1415;
9.9.13EMBED Unknown1415;
9.10.13EMBED Unknown1415;
9.11.13EMBED Unknown1415;
9.12.13EMBED Unknown1415;
9.13.13EMBED Unknown1415;
9.14.13EMBED Unknown1415;
9.15.13EMBED Unknown1415;
9.16.13EMBED Unknown1415;
9.17.13EMBED Unknown1415;
9.18.13EMBED Unknown1415;
9.19.13EMBED Unknown1415;
9.20.13EMBED Unknown1415;
9.21.13EMBED Unknown1415;
9.22.13EMBED Unknown1415;
9.23.13EMBED Unknown1415;
9.24.13EMBED Unknown1415;
9.25.13EMBED Unknown1415;
9.26.13EMBED Unknown1415;
9.27.13EMBED Unknown1415;
9.28.13EMBED Unknown1415;
9.29.13EMBED Unknown1415;
9.30.13EMBED Unknown1415;
9.31.13EMBED Unknown1415;
9.32.13EMBED Unknown1415;
9.33.13EMBED Unknown1415;
9.34.13EMBED Unknown1415;
9.35.13EMBED Unknown1415;
9.36.13EMBED Unknown1415;
9.37.13EMBED Unknown1415;
9.38.13EMBED Unknown1415;
9.39.13EMBED Unknown1415;
9.40.13EMBED Unknown1415;
9.41.13EMBED Unknown1415;
9.42.13EMBED Unknown1415;
9.43.13EMBED Unknown1415;
9.44.13EMBED Unknown1415;
9.45.13EMBED Unknown1415;
9.46.13EMBED Unknown1415;
9.47.13EMBED Unknown1415;
9.48.13EMBED Unknown1415;
9.49.13EMBED Unknown1415;
9.50.13EMBED Unknown1415;
9.51.13EMBED Unknown1415;
9.52.13EMBED Unknown1415;
9.53.13EMBED Unknown1415;
9.54.13EMBED Unknown1415;
9.55.13EMBED Unknown1415;
9.56.13EMBED Unknown1415;
9.57.13EMBED Unknown1415;
9.58.13EMBED Unknown1415;
9.59.13EMBED Unknown1415;
9.60.13EMBED Unknown1415;
9.61. 13EMBED Unknown1415;
9.62.13EMBED Unknown1415
9.63.13EMBED Unknown1415;
9.64.13EMBED Unknown1415;
9.65.13EMBED Unknown1415;
9.66.13EMBED Unknown1415;
9.67.13EMBED Unknown1415;
9.68.13EMBED Unknown1415;
9.69.13EMBED Unknown1415;
9.70.13EMBED Unknown1415;
9.71.13EMBED Unknown1415;
9.72.13EMBED Unknown1415;
9.73.13EMBED Unknown1415;
9.74.13EMBED Unknown1415;
9.75.13EMBED Unknown1415;
9.76.13EMBED Unknown1415;
9.77.13EMBED Unknown1415;
9.78.13EMBED Unknown1415 ;
9.79.13EMBED Unknown1415;
9.80.13EMBED Unknown1415;
9.81.13EMBED Unknown1415;
9.82.13EMBED Unknown1415;
9.83.13EMBED Unknown1415;
9.84.13EMBED Unknown1415;
9.85.13EMBED Unknown1415;
9.86.13EMBED Unknown1415
9.87.13EMBED Unknown1415;
9.88.13EMBED Unknown1415;
9.89.13EMBED Unknown1415;
9.90.13EMBED Unknown1415;
9.91.13EMBED Unknown1415;
9.92.13EMBED Unknown1415;
9.93.13EMBED Unknown1415;
9.94.13EMBED Unknown1415;
9.95.13EMBED Unknown1415;
9.96.13EMBED Unknown1415;
9.97.13EMBED Unknown1415;
9.98.13EMBED Unknown1415;
9.99.13EMBED Unknown1415;
9.100.13EMBED Unknown1415.

Задача 10. Найти экстремумы функции:
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415.

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной неравенствами:
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415.
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415.
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415;
13EMBED Unknown1415.


Задача 12. Вычислить повторные интегралы

00; 34; 68 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
01; 35; 69 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

02; 36; 70 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
03; 37; 71 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

04;38;72 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
05; 39; 73 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

06;40;74 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
07; 41; 75 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

08; 42; 76 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
09; 43; 77 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

10; 44; 78 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
11;45;7913 EMBED Equation.DSMT4 1415;

12;46;8013 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13; 47; 81 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

14;48;82 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
15; 49; 83 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

16; 50; 84 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
17;51; 85 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

18; 52; 86 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
19; 53; 87 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

20; 54; 88 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
21;55; 89 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

22; 56; 90 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
23;57; 9113 EMBED Equation.DSMT4 1415;

24;58;9213 EMBED Equation.DSMT4 1415;
25; 59; 93 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

26; 60; 94 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
27; 61; 95 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

28;62;96 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
29;63;97 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

30; 64; 98 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
31; 65; 99 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

32; 66 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
33; 67 13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Задача 13. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.

00; 36; 72 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
01; 37; 73 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

02; 38; 74 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
03; 39; 75 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

04; 40; 76 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
05; 41; 77 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

06;42; 78 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
07; 43; 79 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

08; 44; 80 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
09; 45; 81 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

10; 46; 82 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
11; 47; 83 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

12;48;84 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13; 49;8513 EMBED Equation.DSMT4 1415;

14;50;86 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
15; 51; 87 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

16;52; 88 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
17; 53; 89 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

18; 4;9013 EMBED Equation.DSMT4 1415;
19;55;91 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

20;56;9213 EMBED Equation.DSMT4 1415;
21;57;9313 EMBED Equation.DSMT4 1415;

22; 58; 94 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
23; 59; 95 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

24; 60; 96 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
25; 61; 97 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

26; 62;98 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
27;63;9913 EMBED Equation.DSMT4 1415;

28; 64 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
29; 65 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

30; 66 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
31; 67 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

32; 68 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
33; 69 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

34; 70 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
35; 71 13 EMBED Equation.DSMT4 1415



Задача 14. Вычислить криволинейный интеграл
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
по контуру треугольника 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где

00; 34; 68
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

01; 35; 69
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

02; 36; 70
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

03; 37; 71
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

04; 38; 72
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
B(4;1)

05; 39; 73
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
А(1;5)
B(5;1)

06; 40; 74
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(1;6)
B(6;1)

07; 41; 75
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(1;7)
B(7;1)

08; 42; 76
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(1;8)
B(8;1)

09; 43; 77
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(1;9)
B(9;1)

10; 44; 78
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(2;0)
B(0;2)

11; 45; 79
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(2;1)
B(0;2)

12; 46; 80
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(5;1)
B(3;4)

13; 47; 81
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(4;2)
B(5;5)

14; 48; 82
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(5;1)
B(3;6)

15; 49; 83
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(7;2)
B(2;4)

16; 50; 84
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(4:1)
B(-1;5)

17; 51; 85
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(-1;5)
B(-4;1)

18; 52; 86
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(1;-6)
B(4;-1)

19; 53; 87
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(4;4)
B(-2;2)

20; 54; 88
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(1;0)
B(-1;7)

21; 55; 89
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(-2;-5)
B(4;8)

22; 56; 90
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(-2;6)
B(4;2)

23; 57; 91
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(7;7)
B(0;4)

24; 58; 92
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(1;-6)
B(5;5)

25; 59; 93
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(-1;6)
B(-3;-3)

26; 60; 94
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(5;1)
B(-1;5)

27; 61; 95
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(-7;2)
B(1;4)

28; 62; 96
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(6;1)
B(-1;4)

29; 63; 97
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(-5;-5)
B(1;-2)

30; 64; 98
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(-1;6)
B(2;6)

31; 65; 99
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(-2;-4)
B(3;-4)

32; 66
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(-3;-5)
B(5;0)

33; 67
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A(1;-5)
B(5;-2}



Задача 15. Вычислить криволинейный интеграл
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
пробегая по часовой стрелке нижнюю дугу эллипса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если
№ варианта
а
b

00; 31; 62; 93
1
2

01; 32; 63; 94
1
4

02; 33; 64; 95
1
3

03; 34; 65; 96
1
5

04; 35; 66; 97
1
6

05; 36; 67; 98
1
7

06; 37; 68; 99
1
7

07; 38; 69
1
9

08; 39; 70
3
1

09; 40; 71
3
9

10; 41; 72
3
7

11; 42; 73
3
5

12; 43; 74
3
6

13; 44; 75
3
8

14 45; 76
2
1

15; 46; 77
2
3

16; 47; 78
2
4

17; 48; 79
2
5

18; 49; 80
2
6

19; 50; 81
2
7

20; 51; 82
4
1

21; 52; 83
4
2

22; 53; 84
4
3

23; 54; 85
4
5

24; 55; 86
4
6

25; 56; 87
5
1

26; 57; 88
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