contr vish matem teor imovirn (1)

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ та НАУКИ
КИІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Імені В. Гетьмана
КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

ЗАТВЕРДЖУЮ:
ПРОРЕКТОР
з науково-педагогічної
роботи
Колот А.М.

____ ____________ 2010 р.

МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ
щодо змісту та організації самостійної роботи студентів,
поточного і підсумкового контролю їх знань
з навчальної дисципліни “Математика для економістів”:
ВИЩА МАТЕМАТИКА, ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА
МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Укладачі: проф. Макаренко О.І.,
доц. Лісовська В.П.
Затверджено на засіданні кафедри
від 15.09.2010 , протокол № 2
Завідувач кафедри
_______________ проф. Макаренко О.І.
_16_ ____09_____ 2010 р.
Погоджено
начальник
науково - методичного відділу
_______________ Гуть Т.В.
____ _________ 2010 р.


Шановні панове – студенти та викладачі!
Просимо вас ознайомитись з переліком теоретичних питань,
що охоплюють зміст робочої програми , прикладами типових
практичних завдань, змістом та порядком поточного та
підсумкового контролю знань та зразками екзаменаційних білетів !

Бажаємо успіхів!


ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ, ЩО ВХОДЯТЬ ДО ПРОГРАМИ КУРСУ

І СЕМЕСТР
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
1. Означення матриці та дії над матрицями.
2. Визначники першого, другого та третього порядків.
3. Властивості визначника.
4. Мінори та алгебраїчні доповнення. Визначники n -го порядку.
5. Правило Крамера.
6. Обернена матриця. Розв’язування системи рівнянь за допомогою оберненої матриці.
7. Ранг матриці. Методи його обчислення.
8. Теорема Кронекера - Капеллі.
9. Метод Гаусса–Жордана.
10. n – вимірний векторний простір. Лінійна залежність та незалежність векторів.
11. Поняття базису n – вимірного векторного простору. Розкладання вектора за базисом.
12. Власні числа та власні вектори матриці.
13. Поняття про квадратичні форми. Визначеність квадратичної форми.
14. Застосування лінійної алгебри в економіці: модель Леонтьєва багатогалузевої економіки.
15. Матрична модель міжгалузевого балансу в натуральному (або вартісному) виразі.
16. Лінійні моделі оптимального планування.

Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
17. Системи координат та їх перетворення.
18. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
19. Вектори, лінійні операції над векторами.
20.Проекція вектора на вісь та її властивості.
21. Скалярний, векторний і мішаний добутки векторів та їх властивості.
22. Поняття рівняння лінії в R2.
23. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. В”язка прямих.
24. Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих.
25. Загальне рівняння прямої та його дослідження.
26. Рівняння прямої що проходить через дві задані точки.
27. Рівняння прямої у відрізках на осях.
28. Відстань від точки до прямої.
29. Коло, його означення та рівняння.
30.Еліпс, гіпербола, парабола: їх означення, канонічні рівняння та
дослідження.
31. Загальне рівняння площини та його дослідження.
32. Рівняння площини що проходить через три точки.
33. Рівняння площини у відрізках на осях.
34.Віддаль від точки до площини.
35. Пряма лінія в просторі.
36. Задача про рівновагу доходів та збитків компанії.
37. Моделі рівноваги ринку при умові, що функції попиту та пропозиції лінійні.

Розділ 3. ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ.
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
38. Поняття послідовності та її границі.
39. Властивості збіжних послідовностей.
40. Нескінченно великі та нескінченно малі величини, їх властивості, зв’язок між ними.
41. Теореми що полегшують знаходження границь.
42. Число e. Економічна інтерпретація числа e.
43. Поняття границі функції.Теореми про границі.
44. Розкриття невизначеностей 13 EMBED Equation.3 1415
для алгебраїчних функцій.
45. Особливі границі.
46. Шкала нескінченно малих величин та їх застосування.
47. Неперервність функції в точці та на проміжку.
48. Властивості неперервних функцій.
49. Точки розриву функції та їх класифікація.
50. Задачі доходу із дослідженням на неперервність.
51. Похідна функції. Фізичний, геометричний, економічний зміст. Задача про продуктивність праці.
52. Правила диференціювання.
53. Похідна оберненої функції.
54. Похідна показникової, логарифмічної, степеневої, тригонометричних та обернених тригонометричних функцій.
55. Рівняння дотичної та нормалі до графіка функцій.
56. Таблиця похідних.
57. Похідна неявної функції.
58. Похідна степенево- показникової функції.
59. Еластичність функції.
60. Диференціал функції.
61. Правила обчислення диференціалів. Інваріантність форми першого диференціала.
62. Похідні та диференціали вищих порядків.
63. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші.
64. Правило Лопіталя.
65. Формула Тейлора.
66.Теорема про сталість функції на проміжку.
67. Умови зростання та спадання функції на проміжку..
68. Екстремуми функції. Необхідна та достатня умови.
69. Опуклість функції: означення та достатні умови.
70. Точки перегину: необхідна та достатня умови.
71. Асимптоти функції , їх рівняння та властивості.
72. Алгоритм дослідження функцій та побудова їх графіків.
73. Найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Розділ 4. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
74. Множини точок на площині та в n-вимірному просторі. Поняття області.
75. Поняття функції багатьох змінних. Способи задання функції. Виробничі функції. Функція Кобба-Дугласа.
76. Графічне зображення функції та лінії рівня. Область визначення функції.
77. Границя та неперервність функції. Властивості неперервних функцій.
78. Частинні похідні та частинні диференціали функції багатьох змінних.
79. Повний диференціал функції багатьох змінних.
80. Похідна за напрямом функції багатьох змінних.
81. Градієнт функції багатьох змінних.
82. Частинні похідні та диференціали вищих порядків.
83. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідні та достатні умови.
84. Поняття про емпіричні формули. Метод найменших квадратів.
85. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.
86. Оптимізаційні задачі на основі виробничих функцій.
87. Оптимальний розподіл ресурсів.




ІІ СЕМЕСТР
Розділ 5. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
88. Первісна функція. Теорема про множину первісних.
89. Невизначений інтеграл та його властивості.
90. Таблиця невизначених інтегралів.
91. Метод заміни змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
92. Інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен.
93. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.
94. Інтегрування раціональних дробів.
95. Інтегрування тригонометричних виразів.
96. Інтегрування найпростіших ірраціональних виразів.
97. Задачі що приводять до поняття визначеного інтеграла.
98. Визначений інтеграл та його властивості.
99. Теорема про середнє.
100. Теорема про похідну від інтеграла із змінною верхньою межею.
101. Теорема Ньютона-Лейбніца.
102. Метод заміни змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
103. Наближене обчислення визначеного інтеграла за формулами прямокутників , трапеції та Сімпсона.
104. Геометричне та економічне застосування визначеного інтеграла.
105. Невласні інтеграли. Інтеграл Ейлера-Пуассона.
106. Теореми про порівняння невласних інтегралів.
107. Поняття про подвійний інтеграл. Зведення подвійного інтеграла до повторного.

Розділ 6. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
108.Основні поняття про диференціальні рівняння та їхні розв’язки.
109. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язків.
110. Диференціальні рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними .
111. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
112. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
113. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Задача адаптації цін по Вальрасу.


Розділ 7. РЯДИ
114. Означення числового ряду та його збіжність. Властивості числових рядів.
115. Необхідна умова збіжності ряду.
116. Достатні умови збіжності рядів з додатніми членами.
117. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінного ряду.
118. Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца.
119. Степеневі ряди. Теорема Абеля.
120. Радіус, інтервал та область збіжності степеневого ряду.
121. Ряди Тейлора та Маклорена.
122. Розвинення функцій 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 у ряд Маклорена.


















2. Приклади типових завдань , що виносяться на іспит

1. Обчислити визначник:
1)13 EMBED Equation.3 1415, 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Розв’язати систему рівнянь за формулами Крамера:
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Виконати дії: 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.3 1415, якщо
13 EMBED Equation.3 1415.
4. Для матриці А знайти обернену та перевірити результат:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5. Розв”язати систему рівнянь за допомогою оберненої матриці:
13 EMBED Equation.3 1415
6. Розв’язати матричні рівняння 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, якщо:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7. Обчислити ранг матриці
13 EMBED Equation.3 1415.
8. Дослідити систему рівнянь на сумісність
13 EMBED Equation.3 1415.

9. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса – Жордана
13 EMBED Equation.3 1415.
10.Довести , що вектори 13 EMBED Equation.3 1415 утворюють базис та розкласти вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 за базисом. Наприклад,
13 EMBED Equation.3 1415
11. Встановити кількість лінійно незалежних векторів для даної системи векторів
13 EMBED Equation.3 1415.
12. Знайти власні числа та власні вектори матриці:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415
13. Встановити визначеність квадратичної форми:
13 EMBED Equation.3 1415
14. Задана матриця А прямих матеріальних витрат та матриця В кін-цевої продукції
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Знайти необхідний обсяг валового випуску (модель Леонтьєва):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
15. Паралелограм побудовано на векторах 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 де 13 EMBED Equation.3 1415
Знайти:
1.Довжину діагоналей паралелограма;
2. Кут між діагоналями;
3. Площу паралелограма;
4. Проекцію 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
16. Дано трикутник АВС: А(3,2), В(-1,0), С(2,-3).
Знайти рівняння:
1. сторони АВ;
2. медіани АЕ;
3. бісектриси СР;
4. висоти ВК;
5. середньої лінії МН що паралельна ВС.
Обчислити довжини:
1. сторони АВ; 2. медіани АЕ; 3. бісектриси СР; 4. висоти ВК.
Обчислити:
1. Площу трикутника АВС;
2. Кут між медіаною АЕ та бісектрисою СР.
17. Дано ОАВС – піраміда. О(5,-9,-1), А(5,1,2), В(-4,-3,6), С(-9,6,7).
Знайти рівняння:
1. грані ОАВ;
2. ребра АО;
3. висоти ОК;
4. площини , що проходить через ребро АО перпендікулярно до
основи.
Обчислити:
1. площу основи АВС;
2. об’єм піраміди;
3. довжину висоти;
4. кут між ребрами АО та ОВ;
5. віддаль від ребра АО до сторони основи ВС.
18. Задано рівняння кола 13 EMBED Equation.3 1415
Знайти:
1. координати центра та довжину радіуса;
2. найкоротшу віддаль від точки М(3,9) до кола;
3. рівняння дотичної із точки К(-5,8) до кола.
19. Знайти ексцентриситет та координати фокусів:
1. еліпса 13 EMBED Equation.3 1415
2. гіперболи 13 EMBED Equation.3 1415
20. Знайти кут між асимптотами гіперболи 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
21. Знайти область визначення функції
13 EMBED Equation.3 1415.
22. Обчислити границі:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
23. Встановити характер точок розриву функцій
13 EMBED Equation.3 1415

24.Знайти похідну функції:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
25. Знайти диференціал функції:
13 EMBED Equation.3 1415
26. Знайти похідну другого порядку
13 EMBED Equation.3 1415
27. Знайти екстремуми та інтервали монотонності функції:
13 EMBED Equation.3 1415
28. Знайти точки перегину та інтервали напряму опуклості функції:
13 EMBED Equation.3 1415
29. Знайти асимптоти графіка функції
13 EMBED Equation.3 1415
30. Знайти найбільше та найменше значення функції 13 EMBED Equation.3 1415
на проміжку [-1;2].
31. Знайти аналітично та дати геометричну інтерпретацію області визначення функції
13 EMBED Equation.3 1415
32. Знайти повний диференціал функції
13 EMBED Equation.3 1415
33. Знайти частинні похідні функції
13 EMBED Equation.3 1415
34. Знайти частинні похідні другого порядку функції
13 EMBED Equation.3 1415
35. Знайти кут між градієнтами функції 13 EMBED Equation.3 1415
в точках (-1;3) і (3;-3).
36. Знайти похідну функції 13 EMBED Equation.3 1415 у точці М(2;-3;1)
у напрямі найбільшого її зростання .
37. Знайти похідну функції 13 EMBED Equation.3 1415 у напрямі від точки
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 до точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
38. Знайти екстремуми функції, наприклад:
13 EMBED Equation.3 1415

39. Одержано дані про доходи сім’ї 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (грн) та її витрати 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (грн)

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1200
1500
1800
2100
3000

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
700
800
1000
1200
1500


Припускаючи, що між x та y є лінійна залежність, знайти емпіричну
формулу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 методом найменших квадратів.






ІІ СЕМЕСТР
40. Знайти інтеграли
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
41. Обчислити визначені інтеграли
13 EMBED Equation.3 1415

42. Обчислити невластиві інтеграли або встановити їх розбіжність,
13 EMBED Equation.3 1415

43. Знайти площу фігури , що обмежена лініями:
13 EMBED Equation.3 1415
44. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури,
що обмежена лініями
13 EMBED Equation.3 1415


45. Обчислити подвійний інтеграл
13 EMBED Equation.3 1415
46. Розв’язати диференціальні рівняння:
13 EMBED Equation.3 1415
47. Дослідити на збіжність ряди:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415

48. Знайти область збіжності степеневого ряду:
13 EMBED Equation.3 1415


І СЕМЕСТР

Зразки завдань для модуля №1

Контрольна робота №1


1. Обчислити визначник
2. Задана матриця прямих матеріальних витрат 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 та
матриця 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 кінцевої продукції. Знайди необхідний обсяг валового
випуску.

3. Роз’вязати систему та знайти загальний і базисний розв’язки
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

4. Знайти власні числа матриці
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

5. Дослідити визначеність квадратичної форми
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Контрольна робота №2

1. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.

2. Кут між векторами 13embed Equation.2 1415та 13embed Equation.2 1415дорівнює 13embed Equation.2 1415, 13embed Equation.2 1415, 13embed Equation.2 1415. Знайти коефіцієнт 13embed Equation.2 1415 такий, щоб вектори 13embed Equation.2 1415та 13embed Equation.2 1415були ортогональні.

3. Задані рівняння основ трапеції: 13embed Equation.2 1415 та 13embed Equation.2 1415. Знайти висоту трапеції.

4. Знайти рівняння гіперболи, що має спільні фокуси з еліпсом 13embed Equation.2 1415, ексцентриситет якої дорівнює 13embed Equation.2 1415.

5. Записати рівняння площини, що проходить через вісь 13embed Equation.2 1415і утворює з площиною 13embed Equation.2 1415 кут 13embed Equation.2 1415.


Зразки завдань для модуля №2

Контрольна робота № 1

1. Знайдіть приріст функції 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точці 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, що відповідає приросту 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 незалежної змінної. Обчисліть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 та 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 0,1.
2. Дослідіть неперервність функції
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3. Обчисліть границі: а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4. Знайдіть еластичність функції 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5. Знайдіть диференціал функції 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Контрольна робота № 2

1. Знайдіть екстремум інвестиційної функції 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при умові
рівноваги 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Знайдіть граничну норму заміщення 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для функції
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3. Знайдіть градієнт функції 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 у точці 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4. Знайдіть екстремум функції 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5. Побудуйте область визначення функції 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



ІІ СЕМЕСТР
Модуль № І

Контрольна робота №1
Знайти невизначені інтеграли:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 ; 2. 13 EMBED Equation.3 1415; 3.13 EMBED Equation.3 1415 ;

4.13 EMBED Equation.3 1415 ; 5. 13 EMBED Equation.3 1415 .



Контрольна робота №2
1. 13 EMBED Equation.3 1415 ; 2. 13 EMBED Equation.3 1415 ; 3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415 , де область Д обмежена лініями у=х; у=2х; х=4.
5. 13 EMBED Equation.3 1415 де область Д - прямокутник 0 ( х ( 3, 4 ( у ( 9.




Модуль № ІІ

Контрольна робота №1
Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння (ДР):
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Знайти частинний розв’язок ДР 13 EMBED Equation.3 1415 при заданих початкових умовах 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайти частинний розв’язок ДР 13 EMBED Equation.3 1415 при заданих початкових умовах 13 EMBED Equation.3 1415
Знайти частинний розв’язок ЛО ДР 13 EMBED Equation.3 1415 якщо 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайти загальний розв’язок ДР 13 EMBED Equation.3 1415

Контрольна робота №2
Знайти суму ряду
13 EMBED Equation.3 1415
Дослідити на збіжність ряд
13 EMBED Equation.3 1415
Дослідити на збіжність (абсолютну чи умовну) ряд
13 EMBED Equation.3 1415
Розвинути в ряд за степенями х функцію
13 EMBED Equation.3 1415
Знайти область збіжності ряду
13 EMBED Equation.3 1415
3. Самостійна робота
Картка самостійної роботи студентів
з дисципліни
“Математика для економістів: вища математика”
(денна форма)
Види самостійної роботи
Планові терміни виконання
Форми звітності
Максимальна кількість балів


Денна форма
1 семестр


І. Обов’язкові




1.1 Виконання домашніх (розрахункових) завдань . Підготовка до семінарських (практичних, лабораторних ) занять.
Робота на практичних, семінарських заняттях, виконання тренінгових завдань, інші види роботи на заняттях (усне опитування теорії тощо)
Відповідно до робочої навчальної програми та за розкладом
Перевірка якості виконання завдань.
Активна участь
( в практичних, лабораторних ) заняттях
24 бали : за кожний розділ в середньому по
6 б.(4р.
·6б.=24б), а за кожне практичне заняття з виконанням домашніх завдань –max 2 бали *


1.2 Модуль №І
(пакети к.р. №1 та к.р.№2).



За розкладом і робочим планом.
Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт
10 балів

1.3 Модуль №2(пакети к.р. №1 та №2).
За розкладом і робочим планом.
Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт
10 балів


1.4 Індивідуальні завдання з вищої математики №1, (задача 1.7, 1.8)
індивідуальні завдання №2 (задача 2.4)


До 15.11.201__р.

До 15.12.201__р.
Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР
по 3 бали за кожну індивідуальну роботу
2(3=6 б.

Разом балів за обов’язкові види СРС
50 балів в
І семестрі

Результати поточного контролю знань студентів в цілому оцінюють в діапазоні від 0 до 50 балів.
* Студент отримує :
1) 2 бали за заняття за умови виконання домашньої роботи та відповіді в аудиторії (усно, тести, розв’язування задач біля дошки, тощо) на оцінку «5»;
2) 1,5 бали – відповідь на «4» з виконанням домашніх звданням;
3) 1 бал – відповідь на «3» з виконанням домашнім завданням;
4) 0,5 бала відповідь на «2» з виконанням домашнім завданням;
5) 0 балів -
· «2» без виконаного домашнього завдання.
Картка самостійної роботи студентів
з дисципліни
“Математика для економістів: вища математика”
(денна форма)
Види самостійної роботи
Планові терміни виконання
Форми звітності
Максимальна кількість балів


Денна форма
2 семестр


І. Обов’язкові




1.1 Виконання домашніх (розрахункових) завдань. Підготовка до семінарських (практичних, лабораторних ) занять. Тренінгові завдання по кожному розділу .
Відповідно до робочої навчальної програми

Перевірка якості виконання завдань
Активна участь
( в практичних, лабораторних ) заняттях
12 зан.(2б. =24б.
(за кожний розділ в середньому по 6 балів, а за кожне практичне заняття –тах 2 бали.*

1.2 Індивідуальні завдання з вищої математики №1, (задача 6.2)
індивідуальні завдання №2 (завдання 7.4, 7.5).

До 1.04.201__р.

До 15.05.201__р.
Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР
по 3 бали за кожну індивідуальну роботу (2(3=6 б.)

1.3 Модуль №І
(пакети к.р. №1 та к.р.№2).



За розкладом і робочим планом.
Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт
5 балів (2 к.р. =
10 б.

1.4 Модуль №2(пакети к.р. №3 )
За розкладом і робочим планом.
Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт
10 балів

Разом балів за обов’язкові види СРС
50 балів в
ІІ семестрі

ІІ. Вибіркові




2.1.
а) участь у науково-студентських конференціях



б) участь в олімпіадах

Доповіді на наукових студентських конференціях та підготовка наукових публікацій

Досягнення переможеного результату
(І – ІІІ місце)






10 балів


Разом за вибіркові види СРС
10 балів

Всього балів СРС
60 балів в
ІІ семестрі

Результати поточного контролю знань студентів в цілому оцінюють в діапазоні від 0 до 60 балів, але у відомість виставляється оцінка не вище 50балів.
* Студент отримує :
1) 2 бали за заняття за умови виконання домашньої роботи та відповіді в аудиторії (усно, тести, розв’язування задач біля дошки, тощо) на оцінку «5»;
2) 1,5 бали – відповідь на «4» з виконанням домашніх звданням;
3) 1 бал – відповідь на «3» з виконанням домашнім завданням;
4) 0,5 бала відповідь на «2» з виконанням домашнім завданням;
5) 0 балів -
· «2» без виконаного домашнього завдання.



Види самостійної роботи
Планові терміни виконання
Форми звітності
Кількість балів


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] форма
1 семестр
максимальна

І. Обов’язкові




1.1 Контрольна робота №1

За графіком
Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР (модульного контролю)
20 балів


Разом балів за обов’язкові види СРС
20 балів



Види самостійної роботи
Планові терміни виконання
Форми звітності
Кількість балів


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] форма
2 семестр
максимальна

І. Обов’язкові




1.1 Контрольна робота №2

За графіком
Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР (модульного контролю)
20 балів


Разом балів за обов’язкові види СРС
20 балів

4. ПОРЯДОК ПОТОЧНОГО І ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ. КРИТЕРІЇ ОЦІНКИ.

Завданням поточного контролю є перевірка розуміння та засвоєння певного матеріалу, вироблених навичок, проведення розрахункових робіт, умінь самостійно розвязувати задачі, здатності осмислити зміст теми чи розділу у взаємозв’зку з іншими темами.
Завданням іспиту є перевірка розуміння студентом програмного матеріалу в цілому, логіки та взаємозвязків між окремими розділами, здатності творчого використання накопичених знань для розвязання задач.
Оцінювання здійснюється за 100 бальною шкалою. Завдання поточного контролю оцінюються в діапазоні від 0 до 50 балів, а завдання, що виносяться на іспит – від 0 до 60 балів.

ПОТОЧНИЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ
Обєктами поточного контролю знань студента є:
системність та активність роботи на практичних заняттях;
виконання завдань для самостійного опрацювання;
виконання модульних завдань.

При контролі систематичності та активності роботи на практичних заняттях оцінці підлягають:
а) рівень знань, продемонстрований у відповідях - тестах на практичних заняттях; за кожне практичне заняття та виконання домашнього завдання студент отримує max 2 б. (12 зан.
· 2б. = 24б.- у І та ІІ семестрах) .
в) участь в роботі наукових студентських конференцій, олімпіадах, підготовка наукових публікацій тощо ( за рішенням кафедри ) – не більше 10 балів у суммі, (якщо при цьому загальна кількість балів за поточну роботу не перевищує 50 балів).

При контролі виконання завдань для самостійного опрацювання оцінці підлягають самостійне опрацювання тем в цілому чи окремих питань зі звітом у вигляді:
а) проведення розрахунків (розв’язування певних задач за своїм варіантом) - не більше 6 балів – І семестр та ІІ семестр.
б) виконання індивідуальних завдань. Оцінка за одну індивідуальну роботу не перевищує 3 бали у І та ІІ семестрах.

в) написання рефератів – не більше 3 балів.
Самостійно виконані роботи перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.
При виконанні модульних завдань оцінці підлягають:
а) виконання письмових завдань під час проведення контрольних робіт. Оцінка за цей вид контролю співпадає з кількістю балів за контрольну роботу за 6 бальною шкалою (0; 1; 2; 3; 4; 5).
Контрольна робота повинна проводитися в аудиторії без допущення викладачем користування допоміжними матеріалами.
Модуль з вищої математики – це частина програми, яка складається з повязаних між собою у певному співвідношенні теоретичних і практичних компонентів змісту, кожна складова якого оцінюється в балах.
За семестр з вищої математики проводиться 2 модуля (кожний по 2 контрольні роботи).
Результати поточного контролю знань студентів в цілому оцінюють в діапазоні від 0 до 50 балів за І семестр та ІІ семестри.
Всі види самостійно виконаних домашніх письмових робіт перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.
В разі невиконання завдань поточного контролю з обєктивних причин студент має право, за дозволом декана, виконати їх і скласти залік до останнього практичного заняття. Час та порядок виконання визначає викладач.








ОСОБЛИВОСТІ ПОТОЧНОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ
СТУДЕНТІВ ЗАОЧНОЇ ФОРМИ НАВЧАННЯ

Обєктом поточного контролю знань студентів заочної форми навчання є домашня контрольна робота, що складена із індивідуальних завдань.
Контрольні роботи, виконані самостійно перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.
Результати поточного контролю знань студентів, вносяться до залікової екзаменаційної відомості.
Підсумковий контроль знань студентів – заочників – у вигляді іспиту у І та другому семестрах.
Підсумковий контроль знань студентів у формі іспиту
Оцінювання знань студентів з вищої математики з підсумковим контролем - іспит здійснюється на основі результатів поточного і підсумкового контролю знань (іспиту).
Обєктом контролю знань студентів у формі іспиту є результати виконання письмових екзаменаційних завдань.
На іспит виносяться вузлові питання, типові та комплексні задачі, ситуації, завдання, що потребують творчої відповіді та уміння синтезувати отримані знання і застосовувати їх при вирішенні практичних задач тощо.
Перелік питань, що охоплюють зміст програми з вищої математики, критерії оцінювання екзаменаційних завдань визначаються кафедрою, включаються до робочої програми дисципліни і доводяться до студентів на початку семестру.
Екзаменаційний білет містить 10 завдань відповідно до пройдених тем, кожне з яких оцінюється за шкалою 10; 8; 6; 0 балів. Кожне завдання містить два приклади, тести чи задачі.
Результати іспиту в діапазоні від 0 до 100 балів (включно).
Зауваження. 10 балів виставляється за правильне розв’язання завдання, тобто розв’язок завдання не має жодної суттєвої помилки; 8 - якщо розв’язання має не суттєву помилку. Не суттєвою помилкою вважається помилка обчислювального характеру, що приводить до невірної відповіді.
Якщо розв’язуване завдання містить недоліки, або вірно розв’язано один пункт із завдання, то завдання оцінюється в 6 балів.
Недоліком вважаються такі дії, перетворення чи записи, що не приводять до суттєвих помилок.
Неправильно виконане завдання оцінюється в 0 балів.
В разі, коли відповіді студента оцінені менше ніж в 30 балів, він отримує незадовільну оцінку за результатами іспиту та незадовільну загальну підсумкову оцінку.
Загальна підсумкова оцінка з вищої математики складається з суми балів за результатами поточного контролю знань та за виконання завдань, що виносяться на іспит (за умови, що студент набрав 30 балів і вище), але не перевищує 100 балів.
До екзаменаційної відомості заносяться сумарні результати в балах поточного контролю та іспиту.
Переведення даних 100-бальної шкали оцінювання в 4-х бальну здійснюється в такому порядку :
Оцінка “відмінно” – 90-100 балів.
Оцінка “добре” – 70-89 балів.
Оцінка “задовільно” – 60-69 балів.
Оцінка “незадовільно” – менше 60 балів.
Оцінка за 4-и бальною шкалою оцінювання виставляється в заліково-екзаменаційній відомості поряд із загальною підсумковою оцінкою в 100-бальній шкалі.
Складання академічної заборгованості студентами всіх форм навчання з вищої математики, що виноситься на іспит, передбачає виконання модульних (контрольних) завдань, та екзаменаційних завдань, і проводиться згідно “Положення про організацію навчального процесу в умовах його індивідуалізації та впровадження кридитно- модульної системи” , затвердженим Вченою радою університету (протокол № 9 від 30.03.2006 р.) та Ухвали Вченої ради університету від 30.09.2004 р. (Протокол №2 ) зі змінами та доповненнями , затвердженими Ухвалою Вченої ради КНЕУ від 28.04.2005р. (Протокол №9) та Ухвали Вченої Ради «Про нову редакцію Порядку оцінювання знань студентів» від 28.05.2009 р.
Завдання для поточного контролю знань студентів
заочної форми навчання.

Для студентів – заочників кафедрою вищої математики розроблена допоміжна література, яка знаходиться у бібліотеці 5к. КНЕУ (вул. Мельникова 81):
“Збірник завдань для контрольних робіт №1,2” для студентів заочної форми навчання.
“Розв’язування завдань для контрольних робіт №1,2” для студентів заочної форми навчання за 2006р.
В контрольній роботі за І семестр виконуються наступні завдання із [2]:
1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 2.1, 2.2, 2.4, 3.1, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 4.1, 4.2.
В контрольній роботі за ІІ семестр виконуються наступні завдання із [2]:
5.3,5.4, 6.2, 6.3, 6.4, 6.7, 7.1, 7.3, 8.1, 8.3.
Варіант відповідного завдання визначається за двома останніми цифрами залікової книжки.
















5. Зразок екзаменаційного білета .
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра вищої математики
Навчальний предмет вища математика
Спеціальність Семестр 1
Екзаменаційний білет №1
Завдання 1
А).Обчислити визначник: 13 EMBED Equation.3 1415.
Б).Дослідити систему лінійних алгебраїчних рівнянь на сумісність та знайти загальний та базисний розв’язки: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Завдання 2
А). Обчислити 13embed Equation.2 1415, якщо 13embed Equation.2 1415, 13embed Equation.2 1415, кут між векторами 13embed Equation.2 1415та 13embed Equation.2 1415дорівнює 13embed Equation.2 1415.
Б). Для трикутника з вершинами О(0; 0), А(8; 0) та В(0; 6) написати рівняння медіани ОС та знайти її довжину.
Завдання 3
Обчислити границі: А) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ,
Б). Дослідити на неперервність функцію: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Завдання 4
А). Знайти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Б).Знайти еластичність функції 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точці х=2.
Завдання 5
А). Знайти градієнт функції 13 EMBED Equation.3 1415 в точці М(2,3).
Б). Знайти екстремуми функції 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Завдання 6
А).Розв’язати рівняння 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Б). Знайти рівняння площини, що проходить через точки М(1; 2; 3) , N(-2; -1; 3) і перпендикулярна до площини х+4у-2z+5=0.

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики протокол №___ від________
Зав.кафедрою__________Макаренко О.І. Екзаменатор__________________
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра вищої математики
Навчальний предмет вища математика
Спеціальність Семестр 2



Екзаменаційний білет №

1. Обчислити інтеграли:
а). 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
б). 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;


2. Обчислити інтеграли:
а). 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
б). 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;


3. а) Дослідити на збіжність інтеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
б) Обчислити13 EMBED Equation.DSMT4 1415, де область D – прямокутник 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

4. Розв’язати диференціальні рівняння:
а). 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
б). 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;



5. а) Розв’язати диференціальне рівняння 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Дослідити збіжність ряду 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
6. а) Дослідити збіжність ряду 13 EMBED Equation.3 1415.
б). Знайти область збіжності ряду 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики протокол №___ від________
Зав.кафедрою__________Макаренко О.І. Екзаменатор__________________



6. Cписок рекомендованої літератури
1. Валєєв К.Г. та інші. Вища математика: навч. метод посібник для сам. вивчення дисципліни. – К., КНЕУ, 1999. – 394.
2. О.І.Лютий,О.І.Макаренко. Збірник задач з вищої математики. КНЕУ, 2003.305с.
3. Барковський В.В, Барковська Н.В. Математика для економістів. – Т.1. Вища математика. – К.: Нац. Акад.. упр., 1997.
4. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Математика для економістів. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: Нац. Акад.. упр., 1997.
5. Блудова Т.В. Практикум з аналітичної геометрії . Навч. Пос. Л.: ЛБІ НБУ 2004 р- 216с.
6. Лісовська В.П., Перестюк М.О. “Вища математика” – в 2-х кн. К.: ВІНІТІ НТУУ “КПІ” . – 2004 р.
7. Лісовська В.П., Перестюк М.О. “Вища математика. Практикум” – в 2-х частинах. ч.І. К.: КНЕУ. – 2009 р. – 720 с.
8. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Вступ до математичного аналізу» та «Диференціальне числення».КНЕУ,мет.№ 325, 1998.
9. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Функції багатьох змінних» .КНЕУ, мет. №299, 1996.
10. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Диференціальні рівняння» .КНЕУ, мет. № 267, 1996.
11. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Лінійна алгебра та аналітична геометрія» .КНЕУ, 1997.
12. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Інтегральне числння» .КНЕУ, мет.№ 321, 1998.
13. Методичні вказівки до вивчення розділу вищої математики “Ряди» . КНЕУ, мет.№ 324 , 1998.



ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ, ЩО ВХОДЯТЬ ДО ПРОГРАМИ КУРСУ
«ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА»

Розділ 1. Теорія ймовірностей

Тема 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Предмет курсу, його зміст. Роль і місце курсу.Завдання курсу та місце в системі економічної освіти.
Емпіричні поняття: експеримент, результат, подія. Простір елементарних подій. Класифікація подій. Співвідношення між подіями. Операції над подіями.
Класичне визначення ймовірності. Основні властивості ймовірності.
Елементи комбінаторики. Види сполук. Властивості комбінацій.
Геометричне визначення ймовірності.
Частота. Статистичне поняття ймовірності.Ймовірнісна модель стохастичного експерименту з довільним приростом елементарних подій.
Множинно-аксіоматичний підхід до побудови теорії ймовірностей: універсальна множина (простір елементарних подій), алгебра (сігма-алгебра) подій, її підмножини (події) та адитивна функція на них (ймовірність). Її визначальні властивості (аксіоми ймовірності). Ймовірнісний простір.

Тема 2. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Умовні ймовірності. Залежність та незалежність подій. Теореми додавання для сумісних та несумісних подій.Теореми множення ймовірностей для залежних та незалежних подій. Формула повної ймовірності. Формули Байєса (формули гіпотез).

Тема 3. СХЕМА НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПРОБУВАНЬ
Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі для обчислення ймовірностей у схемі незалежних випробувань. Найімовірніша частота настання події в схемі Бернуллі. Асимптотичні формули для схеми Бернуллі: формула Пуассона для малоймовірних подій, локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа.

Тема 4. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ. ЇХ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ТА ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Означення випадкової величини. Дискретні (ДВВ) та неперервні випадкові величини (НВВ). Закони розподілу випадкових величин. Ряд та многокутник розподілу. Функція розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини та її властивості. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу , функція розподілу та їх властивості.
Числові характеристики випадкових величин: мода, медіана, математичне сподівання, початкові та центральні моменти, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія, ексцес.

Тема 5. ОСНОВНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
Твірна функція (z- перетворення), її властивості та використання.
Основні закони розподілу ДВВ. Біномінальний розподіл. Закон рівномірної щільності. Означення найпростішого потоку подій. Закон Пуассона та його параметри.
Закони розподілу неперервних випадкових величин: рівномірний, показниковий (експоненціальний). Їх числові характеристики. Нормальний закон розподілу та його параметри. Правило „трьох сігм”, 13 EMBED Equation.3 1415.
Розподіл Стьюдента. Розподіл 13 EMBED Equation.3 1415. Розподіл Фішера.

Тема 6. БАГАТОВИМІРНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
(системи випадкових величин).
Багатовимірна випадкова величина та закони її розподілу. Система двох випадкових величин. Таблиця розподілу. Багатовимірні функція та щільність розподілу ймовірностей, їх властивості. Числові характеристики системи випадкових величин: математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, кореляційний момент (коваріація), коефіцієнт кореляції та їх властивості. Числові характеристики системи двох випадкових величин.
Умовні закони розподілу та умовні числові характеристики.
Система n випадкових величин. Характеристика системи. Кореляційна залежність , кореляційна матриця, нормована кореляційна матриця.
Нормальний закон розподілу на площині та рівномірний.

Тема 7. ФУНКЦІЇ ВИПАДКОВИХ АРГУМЕНТІВ
Означення функції випадкового аргументу. Закони розподілу функцій дискретного та неперервного випадкових аргументів. Числові характеристики функцій випадкових аргументів.
Функції двох випадкових аргументів, визначення їх законів розподілу.Композиція законів розподілу.

Тема 8. ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Види збіжності послідовностей випадкових величин.
Граничні теореми. Закон великих чисел. Нерівність Чебишова та наслідки з неї. Закон великих чисел для послідовності незалежних випадкових величин. Теорема Чебишова. Центральна гранична теорема (теорема Ляпунова) та її використання у математичній статистиці. Теорема Муавра- Лапласа, Бернуллі.

Тема 9. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ
Випадкові процеси. Їх закони розподілу й основні характеристики: математичне сподівання, дисперсія, кореляційна функція. Властивості характеристик. Класифікація випадкових процесів.
Потік подій. Найпростіший потік (пуассонівський), його властивості. Потік Ерланга. Марківські процеси. Марківські ланцюги з дискретними станами. Однорідні марківські ланцюги та їх класифікація. Стаціонарні ймовірності для регулярних ланцюгів Маркова. Використання однорідних ланцюгів Маркова для оцінки ефективності функціонування систем.
Елементи теорії масового обслуговування. Математична модель для найпростішої системи обслуговування.


Розділ 2. Математична статистика

Тема 10. МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА. ПЕРВИННА ОБРОБКА СТАТИСТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Математична статистика. Генеральна сукупність і вибірка. Ряди розподілу. Репрезентативні вибірки. Статистичні розподіли вибірок.
Особливості цих виборок. Підготовка статистичних даних для обробки. Емпірична функція розподілу та кумулятивна частота. Емпіричний підхід до аналізу економічних даних.
Точкові вибіркові й статистичні оцінки невідомих параметрів розподілу. Вимоги до оцінок невідомих параметрів розподілів: обгрунтованість, незсуненість та ефективність. Обгрунтовані та незсунені оцінки для математичного сподівання й дисперсії.
Згладжування експериментальних спостережень теоретичними законами розподілу та за методом найменших квадратів.
Оцінка параметрів розподілів методами моментів, максимальної правдоподібності та найменших квадратів.

Тема 11. ІНТЕРВАЛЬНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛІВ. ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ
Точність і надійність оцінки параметрів. Поняття про інтервали надійності. Побудова інтервалів надійності для оцінки математичного сподівання й дисперсії випадкової величини.
Статистичні гіпотези: нульова й альтернативна, проста й складна. Помилки першого й другого роду. Статистичні критерії. Критична область, область прийняття нульової гіпотези, критична точка. Перевірка статистичних гіпотез. Критерії узгодженості. Критерій узгодженості Неймана-Пірсона.

Тема 12. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ РЕГРЕСІЇ, КОРЕЛЯЦІЇ ТА ДИСПЕРСІЙНОГО АНАЛІЗУ
Функціональна, статистична і кореляційна залежності. Рівняння парної регресії. Властивості статистичних оцінок параметрів парної функції регресії. Вибірковий коефіцієнт кореляції та його властивості. Інтервал надійності для лінії регресії. Коефіцієнт детермінації. Множинна регресія, визначення статистичних оцінок для параметрів лінійної множинної функції регресії. Множинний коефіцієнт кореляції та його властивості. Нелінійна регресія. Визначення статистичних оцінок для нелінійних функцій регресій.
Модель експерименту. Однофакторний аналіз. Таблиця результатів спостережень. Загальна дисперсія, міжгрупова та внутрішньо групова дисперсії. Незсунені оцінки дисперсії. Загальний метод перевірки впливу фактора на ознаку способом порівняння дисперсій. Поняття про двофакторний дисперсійний аналіз.





ТЕОРЕТИЧНІ ЗАПИТАННЯ ДО ІСПИТУ З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ «МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ: ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА»

1. Елементи комбінаторики. Види сполук. Властивості комбінацій.
2. Емпіричні поняття: експеримент, результат, подія. Простір елементарних подій. Класифікація подій. Співвідношення між подіями. Операції над подіями.
3. Класичне визначення ймовірності. Основні властивості ймовірності.
4. Частота. Статистичне визначення ймовірності.
5. Теореми додавання ймовірностей для сумісних і несумісних подій.
6. Умовні ймовірності. Теореми множення ймовірностей для залежних та незалежних подій.
7. Формула повної ймовірності.
8. Формула Байєса (формула гіпотез).
9. Формула Бернуллі.
10. Найімовірніша частота настання події в схемі Бернуллі.
11. Формула Пуассона для малоймовірних подій.
12. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа.

13. Дискретні випадкові величини. Ряд та многокутник розподілу.
14. Функція розподілу ймовірностей та їх властивості.
15. Числові характеристики(ДВВ): мода, математичне сподівання, початкові та центральні моменти, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія, ексцес.
16. Щільність розподілу ймовірностей.
17. Числові характеристики (НВВ): мода, математичне сподівання, початкові та центральні моменти, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія, ексцес.
18. Закони розподілу ДВВ(біноміальний, Пуассона, геометричний, гіпергеометричний).
19. Закони розподілу НВВ(рівномірний, показниковий, нормальнй).
20. Багатовимірні випадкові величини та закони їх розподілу.
21. Система двох випадкових величин. Таблиця розподілу(матриця).
22. Двовимірні функція та щільність розподілу ймовірностей, їх властивості.
23. Числові характеристики системи випадкових величин: математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, кореляційний момент, коефіцієнт кореляції, кореляційна матриця, нормована кореляційна матриця.
24. Умовні закони розподілу та умовні числові характеристики.
25. Види збіжності послідовностей випадкових величин.
26. Граничні теореми. Закон великих чисел. Нерівність Чебишова. Центральна гранична теорема. Теорема Муавра- Лапласа.Теорема Бернуллі.
27. Закони розподілу функцій дискретного та неперервного випадкових аргументів. Числові характеристики функцій випадкових аргументів.
28. Функції двох випадкових аргументів, визначення їх законів розподілу.Композиція законів розподілу 13 EMBED Equation.3 1415 .
29. Вибірковий метод.
30. Побудова дискретного варіаційного ряду.
31. Побудова інтервального варіаційного ряду.
32. Середня вибіркова і вибіркова дисперсія.
33. Вимоги до оцінок параметрів розподілу.
34. Метод моментів, метод аналогій.
35. Метод максимальної правдоподібності.
36. Довірчі інтервали лдя оцінки математичного сподівання.
37. Довірчі інтервали для оцінки середнього квадратичного відхилення.
38. Поняття статистичних критеріїв.
39. Критерій Неймана-Пірсона.
40. Критерій Колмогорова.
41. Функціональна, статистична і кореляційна залежності. Рівняння парної регресії.
42. Вибірковий коефіцієнт кореляції та його властивості. Інтервал надійності для лінії регресії. Коефіцієнт детермінації.
43. Множинна регресія, визначення статистичних оцінок для параметрів лінійної регресії.
44. Модель експерименту. Однофакторний аналіз. Таблиця результатів спостережень.
45. Загальна дисперсія, міжгрупова та внутрішньо групова дисперсії. Незсунені оцінки дисперсії.
46. Загальний метод перевірки впливу фактора на ознаку способом порівняння дисперсій.


ТИПОВІ ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ ПОТОЧНОГО ТА ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ “МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ: ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА
МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА”

1. Два маркетологи за складеним списком визначаються із планом відвідування «k» потенційних покупців. Записати простір елементарних подій, якщо відомо, що одночасно вони не працюють з одним клієнтом, а останній із покупців був виключений із списку.

2. Подія А – трейлер з імпортним вантажем прибув на склад з «k» до «k+2» години. Подія В – прийом вантажу на складі закінчився о 20:00. Записати в чому полягають події: 13 EMBED Equation.3 1415

3. «3k» виробників отримали можливість поставляти свою продукцію до трьох супермаркетів: «Велика кишеня», «Сільпо», «Фуршет». Вважаючи рівно-можливим вибір будь-якого супермаркету, знайти ймовірність подій:
а) подія А – до «Сільпо» поставляють свою продукцію три виробники;
б) подія В – до кожного супермаркету поставляють свою продукцію рівно «k» виробників.

4. Над виготовленням приладу працюють послідовно 13 EMBED Equation.3 1415 робітників; якість приладу під час передачі наступному робітникові не перевіряється. Перший робітник допускає брак з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415, другий
· з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415 і т.ін. Знайти ймовірність того, що під час виготовлення приладу брак буде допущено.

5. Обчислювальна машина складається з 13 EMBED Equation.3 1415 блоків.
Надійність (ймовірність безвідмовної роботи) протягом часу 13 EMBED Equation.3 1415 першого блока дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415, другого
· 13 EMBED Equation.3 1415 і т.ін. Блоки відмовляють незалежно один від одного. При відмові хоча б одного машина не працює. Знайти ймовірність того, що машина не відмовить в роботі за час 13 EMBED Equation.3 1415 .

6. Завод випускає певного виду вироби; кожний виріб може мати дефект з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415. Після виготовлення виріб оглядається 13 EMBED Equation.3 1415 контролерами; і-й контролер знаходить дефект, якщо він є, з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415.
У випадку виявлення дефекту вибір бракується. Знайти ймовірності подій:
А – виріб буде забраковано;
В – виріб буде забраковано другим контролером.

7. Якість виготовленого виробу контролюється двома експертами. Ймовірність забракувати дефектний виріб для першого і другого експерта дорівнюють відповідно 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415. Ймовірності помилкового бракування виробу, що не має дефекту, дорівнюють відповідно 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти ймовірність подій А, В.

8. Приклад складається з 13 EMBED Equation.3 1415 блоків; відмова у роботі хоча б одного блоку означає відмову роботи приладу в цілому. Блоки виходять з роботи незалежно один від одного. Надійність (ймовірність безвідмовної роботи) кожного блоку 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти надійність 13 EMBED Equation.3 1415 приладу в цілому.
Якою повинна бути надійність 13 EMBED Equation.3 1415 кожного блоку для забезпечення заданої надійності 13 EMBED Equation.3 1415 системи?

9. Для збільшення надійності приладу він дублюється 13 EMBED Equation.3 1415-им іншими такими ж приладами (див. рис.). Надійність кожного приладу 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти надійність 13 EMBED Equation.3 1415 системи.
Скільки потрібно взяти приладів, щоб збільшити надійність до заданої 13 EMBED Equation.3 1415?


10. У технічній системі дубльовані не всі, а тільки деякі (найменш надійні) вузли. Надійності вузлів показано на рисунку.
Визначити надійність системи.


11. Виготовлений виріб надходить споживачеві, якщо під час перевірки він буде визнаний стандартним. Ймовірність виготовлення бракованого виробу – 0,2; у результаті перевірки бракований виріб помилково приймається за стандартний з ймовірністю 0,05, а стандартний може бути прийняти за бракований з ймовірністю 0,01. Знайти ймовірність подій:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415споживач отримав стандартний виріб13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415споживач отримав бракований виріб13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415виготовлено стандартний виріб13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415під час перевірки виріб признано стандартним13 EMBED Equation.3 1415;

12. Судно, що працює на контейнерній лінії заходить протягом 2 тижнів до 4 морських портів, при цьому ймовірність демереджу(штрафу) по відправленню судна в кожному порту оцінюється p. Обчислити ймовірність відсутності штрафів по судну протягом місяця (два маршрути).

13. Ймовірність поставки на меблеву фабрику сировини з регіонів становить: p1 - з відстані до 100 км, p2 - з відстані до 200 км, p3 - з відстані більше 200 км. Знайти ймовірність, що фабрика буде купувати сировину:
а) тільки з відстані до 100 км;
б) тільки з одного регіону;
в) як мінімум з двох регіонів.

14. Авіаперевезення пасажирів через АП «Бориспіль» на Лондон розподіляється наступним чином: «Міжнародні авіалінії України» - (30+k)%, «Аеросвіт» - (40+m)%, іншими авіалініями - (30-k-m)%. Знайти ймовірність того, що з двох пасажирів, які прямують до Лондона: а) один обслуговується «Аеросвітом»,
б) обидва пасажири будуть обслуговуватися однією авіакомпанією.

15. Прилади одного найменування виготовляються двома заводами;
перший завод постачає 13 EMBED Equation.3 1415 всіх виробів, другий 13 EMBED Equation.3 1415. Надійність (ймовірність безвідмовної роботи) приладу, виготовленого першим заводом, дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415; другим - 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайти надійність 13 EMBED Equation.3 1415 одного приладу, виготовленого заводами.

16. Є дві партії виробів; перша партія складається з N виробів, серед яких 13 EMBED Equation.3 1415 бракованих; друга з 13 EMBED Equation.3 1415 виробів, серед яких 13 EMBED Equation.3 1415 бракованих. З першої партії береться випадковим чином 13 EMBED Equation.3 1415 виробів, а з другої 13 EMBED Equation.3 1415 виробів 13 EMBED Equation.3 1415. З нової партії береться навмання один виріб. Знайти ймовірність того, що виріб буде дефектним.

17. На радіолокаційний пристрій надходить шум, що містить корисний сигнал, з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо з шумом надходить корисний сигнал, то пристрій зареєструє наявність якогось сигналу з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415; якщо надходить тільки шум – з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415. Відомо, що пристрій зареєстрував наявність сигналу. Знайти ймовірність того, що в його складі є корисний сигнал.

18. Довгострокова практика рекламування нових видів товарів показала, що після проведення рекламної компанії 5% чоловіків, 10% жінок бажали б придбати новий вид продукції. Числа чоловіків і жінок у місті, в якому проводилось таке статистичне дослідження, відносяться як 4 : 6.
Яка ймовірність того, що випадково вибраний покупець, що придбав новий рекламований продукт, буде жінкою?

19. Пасажир може звернутись за отриманням квитка в одну з трьох кас. Ймовірності звернення в кожну касу залежать від їх місцезнаходження і дорівнюють відповідно 13 EMBED Equation.3 1415.
Ймовірності того, що до моменту приходу пасажира квитки в касі будуть розпродані, дорівнюють відповідно 13 EMBED Equation.3 1415.
Пасажир придбав квиток. Знайти ймовірність того, що це відбулось у першій касі?

20. Завод виготовляє вироби, кожний з яких з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415 (незалежно від інших) виявляється дефектним. Під час огляду дефект, якщо він є, виявляється з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415. Для контролю продукції заводу вибирається 13 EMBED Equation.3 1415 виробів. Знайти ймовірність наступних подій:
а) А – на жодному з виробів дефект не буде виявлено;
б) В – серед 13 EMBED Equation.3 1415 виробів рівно в двох буде виявлено дефект;
в) С – серед 13 EMBED Equation.3 1415 виробів менш ніж у двох буде виявлено дефект.

21. Протягом часу 13 EMBED Equation.3 1415 експлуатується 13 EMBED Equation.3 1415 приладів. Кожний з приладів має надійність 13 EMBED Equation.3 1415 і виходить з ладу не залежно від інших. Знайти ймовірність того, що майстер, якого викликали під кінець часу 13 EMBED Equation.3 1415 для ремонту несправних приладів, не встигне з ремонтом за час 13 EMBED Equation.3 1415, якщо на ремонт кожного з несправних приладів йому необхідно час 13 EMBED Equation.3 1415.
22. Фірма з продажу одягу вивчає причини, з яких покупці, що прийшли з наміром щось придбати, не зробили жодної покупки. Виявилось, що 40% потенційних покупців не підійшли ціни, 30% не задовольнив дизайн, 20% були не задоволені якістю, а 10% не знайшли потрібного розміру.
а) яка ймовірність того, що в групі з 10 відвідувачів, що не зробили жодної покупки, буде рівно два покупці для яких не підійшли ціни.
б) яка ймовірність того, що в групі з 10 відвідувачів, що не зробили жодної покупки, буде принаймні два, що не знайшли потрібного розміру?
в) яка ймовірність того, що в групі з 10 відвідувачів, що не зробили жодної покупки, буде рівно один, що не знайшов потрібний фасон, два – не задоволені якістю, п’ять – не задоволені цінами і три не знайшли потрібного розміру?

23. Робота агента з запрошень потенційних покупців тайм-шер вважається задовільною, якщо за його запрошенням за день на презентацію прийде більше 10 покупців. Вважаємо, що людина, до якої звернеться агент з запрошенням, з ймовірністю 0,1 прийде на презентацію. Знайти ймовірність того, що робота агента буде признана задовільною, якщо агент звернеться з пропозицією до 40 перехожих.

24. По каналу зв’язку передається 20 знаків. Ймовірність спотворення знака 0,01. Знайти ймовірність того, що буде спотворено не більше двох знаків.

25. Автомобіль проходить технічне обстеження і обслуговування. Число неполадок, що виявляються після технічного обстеження, розподіляються по закону Пуассона з параметром 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо неполадок не виявлено, то технічне обслуговування автомобіля продовжується в середньому 2 години. Якщо виявлені одна чи дві неполадки, то на усунення кожної з них витрачається у середньому ще півгодини. Якщо виявлено більше двох неполадок, то автомобіль ставиться на профілактичний ремонт, де він знаходиться у середньому 4 години. Визначити закон розподілу середнього часу 13 EMBED Equation.3 1415 обслуговування і ремонту автомобіля і його математичне сподівання 13 EMBED Equation.3 1415.

26. Плануючи свою діяльність по одному з видів ризикового страхування з розміром страхової суми 1000 грн, нетто-ставкою 0,02 і ймовірністю настання події страхування 0,01, страхова компанія бажала б отримати прибуток не менше 100000 грн. Яке мінімальне число договорів вона повинна заключити, щоб отримати вказаний прибуток з ймовірністю не менше 0,99, якщо розмір страхового внеску 50 грн.?
27. Плануючи свою діяльність по одному з видів ризикового страхування з середнім розміром страхової суми 1000 грн, ймовірністю настання страхового випадку 0,05 і очікуваною кількістю договорів 1200, страхова компанія бажала б отримати прибуток не менше 100000 грн. Якою повинна бути мінімальна величина страхового тарифу, щоб компанія могла отримати вказаний розмір прибутку з ймовірністю не менше 0,99?

28. Потік заявок, що надходять на телефонну станцію представляють собою найпростіший (стаціонарний пуассонівський) потік. Математичне сподівання числа викликів за час дорівнює 30. Знайти ймовірність того, що за хвилину надійде не менше двох викликів.

29. Продавець тортів оцінює, скільки тортів продається за день. Він знає, що число тортів, потрібних на день, є випадковою величиною з законом розподілу
13 EMBED Equation.3 1415
0
1
2
3
4
4
2
6

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Продавець отримує 4 грн прибутку з кожного торта. Якщо торт не продано протягом двох днів, то (за санітарними нормами) він повинен бути списаний, при цьому продавець втрачає 3 грн. Продавець бажає максимувати середній прибуток. Скільки тортів він повинен замовляти?

30. Є 13 EMBED Equation.3 1415 лампочок, кожна з яких з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415 має дефект. Лампочку вкручують у патрон і подають напругу; після чого дефектна лампочка відразу перегорає і замінюється іншою. Розглядається випадкова величина 13 EMBED Equation.3 1415 - число лампочок, які будуть випробувані. Побудувати ряд розподілу і знайти математичне сподівання 13 EMBED Equation.3 1415.

31. Електронна лампа працює протягом випадкового часу 13 EMBED Equation.3 1415, розподіленого за показниковим законом:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Знайти ймовірність того, що за час 13 EMBED Equation.3 1415:
а) лампу замінять;
б) лампу замінять три рази;
в) лампу замінять не менше трьох разів.

32. Під час роботи приладу виникають випадкові неполадки; середнє число неполадок, що виникають за одиницю часу роботи приладу 13 EMBED Equation.3 1415; число неполадок за час 13 EMBED Equation.3 1415 роботи приладу – випадкова величина, розподілена за законом Пуассона з параметром 13 EMBED Equation.3 1415. Для усунення неполадок (ремонту) необхідний час 13 EMBED Equation.3 1415
· випадкове значення; цей час розподілений за показниковим законом: 13 EMBED Equation.3 1415

Випадкові величини теорем усунення неполадок - незалежні. Знайти: а) середній проміжок часу, протягом якого прилад буде працювати; знаходитись у ремонті;
б) середній інтервал часу між двома неполадками.

33. Бракування шариків для підшипників проводиться наступним чином:
Якщо шарик не проходить через отвір діаметром 13 EMBED Equation.3 1415, але проходить через отвір діаметром 13 EMBED Equation.3 1415, то його розмір вважають прийнятим. В іншому випадку шарик бракується. Відомо, що діаметр шарика 13 EMBED Equation.3 1415 є нормально розподіленою випадковою величиною з характеристиками 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Визначити ймовірність 13 EMBED Equation.3 1415 того, що шарик буде забраковано.

34. Випадкова величина X має рівномірний розподіл з математичним сподіванням 13 EMBED Equation.3 1415 і дисперсією 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти функцію розподілу випадкової величини X.

35. Автобуси деякого маршруту йдуть чітко за розкладом. Інтервал руху – 5 хв.
Знайти ймовірність того, що пасажир, який підійде до зупинки буде чекати автобус менше 3 хв.

36. Функція f13 EMBED Equation.3 1415 задана у вигляді:

f13 EMBED Equation.3 1415
Знайти: а) значення постійної А, при якому функція буде щільністю розподілу ймовірностей деякої випадкової величини X;
б) формулу функції розподілу 13 EMBED Equation.3 1415; в) обчислити ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення на проміжку [2; 3]; г) знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини X.

37. Передаються два SMS–повідомлення, кожне з яких незалежно одне від одного може бути не отриманим. Імовірність того, що перше повідомлення не буде отримане, дорівнює 0,1, а друге – 0,2. Визначимо систему двох випадкових величин 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, якщо перше SMS-повідомлення отримане,
13 EMBED Equation.3 1415, якщо перше SMS-повідомлення не отримане,
13 EMBED Equation.3 1415, якщо друге SMS-повідомлення отримане,
13 EMBED Equation.3 1415, якщо друге SMS-повідомлення не отримане.

Знайти закон сумісного розподілу системи 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

38. Із чотирьох студентів КНЕУ, два з яких навчаються на обліково-економічному факультеті, один на фінансовому та один – на факультеті МЕіМ, банк обирає на роботу лише двох. Ймовірність працевлаштування для кожного студента вважаємо однаковою. Випадкова величина 13 EMBED Equation.3 1415 - кількість обраних студентів з фінансового факультету, 13 EMBED Equation.3 1415 - кількість обраних студентів з факультету МЕіМ. Скласти закон розподілу для системи 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти закони розподілу 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Чи залежні величини 13 EMBED Equation.3 1415 і13 EMBED Equation.3 1415 - ?

39. Фармацевтична компанія розробила три нові препарати. За результатами фінансово-економічного аналізу, прибуток компанії гарантує масовий випуск хоча б двох із трьох нових препаратів. Масовий випуск кожного препарату гарантує прибуток лише з ймовірністю 0,8. Ймовірність запуску до масового виробництва для кожного препарату дорівнює 0,4. 13 EMBED Equation.3 1415 - загальна кількість препаратів, які допущені до масового виробництва, 13 EMBED Equation.3 1415 - стан прибутковості компанії (13 EMBED Equation.3 1415, якщо компанія не тримала прибуток; 13 EMBED Equation.3 1415, якщо прибуток отримано).

а) Скласти закон розподілу 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) Обчислити 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Записати кореляційну матрицю.
г) Обчислити ймовірність події 13 EMBED Equation.3 1415, та дати її ймовірнісне тлумачення.

40. Система двох дискретних випадкових величин 13 EMBED Equation.3 1415 задана законом розподілу у вигляді таблиці:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2
2,4
3,6


-0,2
0,2
0,1
а


0
0,25
0,07
0,3


Необхідно:
а) обчислити а;
б) для кожної випадкової величини 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, які складають систему, знайти безумовний закон розподілу, математичне сподівання, дисперсію, середньо-квадратичне відхилення, одновимірну функцію розподілу та її графік;
в) побудувати двовимірну функцію розподілу 13 EMBED Equation.3 1415, обчислити ймовірність події 13 EMBED Equation.3 1415.
г) знайти координати центра розсіювання та саме розсіювання випадкової точки 13 EMBED Equation.3 1415 у напрямку 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 навколо центру розсіювання на площині 13 EMBED Equation.3 1415.
д) записати кореляційну матрицю, обчислити коефіцієнт кореляції системи.
ж) обчислити умовні математичні сподівання 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415, побудувати умовні закони розподілу 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415.
з) знайти рівняння лінії регресії 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415, та показати цю лінію регресії.

41. Двовимірна випадкова величина розподілена рівномірно в колі радіуса R=1. Знайти: а) вираз сумісної щільності і функції розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y); б) щільності ймовірності та функції розподілу одновимірних випадкових величин (X, Y); в) ймовірність того, що відстань від точки (X, Y) до початку координат буде менша 13 EMBED Equation.3 1415.

42. На космічному кораблі встановлено лічильник Гейгера для визначення числа космічних частинок, що попадають в нього за деякий випадковий інтервал часу 13 EMBED Equation.3 1415. Потік космічних частинок – пуассонівський з щільністю 13 EMBED Equation.3 1415; кожна частинка реєструється лічильником з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415. Лічильник включається на час 13 EMBED Equation.3 1415, розподілений за показниковим законом з параметром 13 EMBED Equation.3 1415. Випадкова величина 13 EMBED Equation.3 1415 - число зареєстрованих частинок. Знайти закон розподілу і характеристики 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 випадкової величини 13 EMBED Equation.3 1415.

43. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини 13 EMBED Equation.3 1415, якщо щільність розподілу ймовірностей випадкової величини 13 EMBED Equation.3 1415 є f13 EMBED Equation.3 1415 на проміжку 13 EMBED Equation.3 1415.

44. Знайти закон розподілу суми двох випадкових величин, розподілених рівномірно на проміжку[0; 1].

45. Середня кількість викликів, які надходять на комутатор заводу протягом години, дорівнює 300. Оцінити ймовірність того, що протягом наступної години кількість викликів на комутатор: а) буде більше 400; б) буде не більше ніж 500.

46. Сума всіх вкладів відділення банку складає 2 млн. умовних одиниць, а ймовірність того, що випадково обраний вклад не перевищує 10000 умовних одиниць, дорівнює 0,6. Що можна стверджувати про кількість вкладників?

47. Задана генеральна сукупність з 20 елементів.

13 EMBED Equation.3 1415
9
12
13
14
15
16
17
18
19

13 EMBED Equation.3 1415
2
4
2
2
5
1
1
1
2


Необхідно:
а) побудувати статистичний розподіл вибірки та його емпіричну функцію розподілу; б) обчислити числові характеристики вибірки: середнє, дисперсію і середнє квадратичне відхилення та зробити з їх допомогою висновок про генеральну сукупність; в) побудувати полігони частот і відносних частот та гістограму, розбиваючи інтервал на 4 рівних проміжки; г) знайти моду, медіану, розмах і коефіцієнт варіації.

48. Знайти мінімальний об’єм вибірки, при якому з надійністю 0,95 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 2, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності 13 EMBED Equation.3 1415.

49. Знайти довірчі інтервали надійності 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 для нормально розподіленої випадкової величини Х з функцією розподілу 13 EMBED Equation.3 1415.

50. Задана генеральна сукупність. За допомогою критерію Пірсона перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу при рівні значущості 13 EMBED Equation.3 1415:
98,06
101,25
101,25
96,25
100,85
101,25
98,85
99,25
100,55
100,45
100,02
99,2
99,4
98,2
98,2
97,2
94,2
100,6
98,2
96,2
97,9
103,9
105,9
100,9
99,9
101,9
101,81
99,9
103,3
101,9
99,32
102,72
100,72
100,72
101,72
96,42
96,42
98,72
100,22
101,72
99,97
103,97
98,97
99,97
96,27
96,97
98,97
100,97
98,97
100,97



2.2.7 ІНДИВІДУАЛЬНО - КОНСУЛЬТАТИВНА РОБОТА

Індивідуальна консультативна робота з теорії ймовірностей та математичної статистики проводиться у формі консультацій, перевірки індивідуальних завдань, захисту завдань, що винесено на поточний контроль. Студенти виконують 3 індивідуальні роботи з теорії ймовірностей. Кожному студенту пропонується індивідуальний варіант завдань.



Тема
Форма виконання
Форма роботи з викладачем

1
Випадкові події. Системи випадкових величин.
Самостійно, позааудиторно.
Консультація, захист завдань.

2
Випадкові величини. Системи випадкових величин.
Самостійно, позааудиторно.
Консультація, захист завдань.

3
Математична статистика.
Самостійно, позааудиторно.
Консультація, захист завдань.




Самостійна робота студентів як складова навчального процесу це навчальна діяльність, яка виражається через організовану викладачем самостійну діяльність студента, що спрямована на виконання поставленої дидактичної цілі, в спеціально відведений для цього час.



Картка самостійної роботи студентів з дисципліни
„Теорія ймовірностей та математична статистика”
(денна форма)
Види самостійної роботи
Планові терміни виконання
Форми звітності
Максимальна кількість балів


Денна форма
2 семестр


І. Обов’язкові




1.1 Виконання домашніх (розрахункових) завдань
Підготовка до семінарських (практичних, лабораторних ) занять, виконання всіх видів аудиторної роботи
Відповідно до робочої навчальної програми
-//-
Перевірка якості виконання завдань
Активна участь
( в практичних, лабораторних ) заняттях
Середня оцінка за кожне заняття з виконанням домашнього завдання – 1 б.
20 занять по 1 б.
Всього = 20 балів

1.2. Модуль №І
(пакети к.р. №1 та к.р.№2).



-//-
Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт
10 балів (по 5 б. за к.р.)

1.3 Підготовка до модульної роботи №2 “Математична статистика” (розділ ІІІ)

1. Лабораторний практикум
2. Контрольна робота № 3
До 1.06.2011р.
Перевірка правильності виконання модульних контрольних робіт





5 балів
5 балів
Всього = 10 балів


1.4 Індивідуальні завдання з теорії ймовірностей №1, індивідуальні завдання №2.

До 31.03.2011р.


До 1.05.2011р.
Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР
5 * 2 =10 балів

Разом балів за обов’язкові види СРС
50 балів

ІІ. Вибіркові





2.1 Робота за темою
„Випадкові процеси”
до 1 травня 2011 р.
Доповіді на наукових студентських конференціях та підготовка наукових публікацій
10 балів

2.2. Робота за темою
„Елементи аналізу часових рядів”

до 15 травня 2011 року
Реферати
До 10 балів

Разом за вибіркові види СРС
10 балів

Всього балів СРС
60 балів *

* Результати поточного контролю знань студентів в цілому оцінюють в діапазоні від 0 до 60 балів, але у відомість виставляється оцінка не вище 50 балів.
Види самостійної роботи
Планові терміни виконання
Форми звітності
Кількість балів


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] форма
3 семестр
максимальна

І. Обов’язкові




1.1.Контрольна робота
За графіком
Перевірка правильності виконання завдань з відповідним захистом матеріалів під час ІКР (модульного контролю)
20балів

Разом балів за обов’язкові види СРС
20 балів



























2.2.8 МЕТОДИ АКТИВІЗАЦІЇ ПРОЦЕСУ НАВЧАННЯ:
При вивченні дисципліни викладачі застосовують наступні технології:
- проблемні лекції;
- міні семінари;
- семінари дискусії;
- мозкові атаки, експрес контроль, тести mini і maxi.


Порядок поточного і підсумкового контролю знань студентів з теорії ймовірностей. Критерії оцінки.

Завданням поточного контролю є перевірка розуміння та засвоєння певного матеріалу, вироблених навичок, проведення розрахункових робіт, умінь самостійно розвязувати задачі, здатності осмислити зміст теми чи розділу.
Завданням іспиту є перевірка засвоєння студентом програмного матеріалу в цілому, обчислення логіки та взаємозвязків між окремими розділами, здатності творчого використання накопичених знань для математичного моделювання та розвязання задач.
Оцінювання здійснюється за 100 бальною шкалою. Завдання поточного контролю оцінюються в діапазоні від 0 до 50 балів, а завдання, що виносяться на іспит – від 0 до 60 балів.

Поточний контроль знань студентів.

Обєктами поточного контролю знань студента є:
Системність та активність роботи на практичних заняттях та лекціях;
Виконання завдань для самостійного опрацювання;
Виконання модульних завдань.
При контролі систематичності та активності роботи на практичних заняттях оцінці підлягають:
А) рівень знань, продемонстрований при тестуванні на практичних заняттях, активність при обговоренні питань, що винесені на практичні заняття, оцінка – не більше 5 балів.
Б) виконання домашніх завдань – п. А) та Б) в сумі складають 20 балів (по 1 балу кожне з 20 практичних занять)
При контролі виконання завдань для самостійного опрацювання оцінці підлягають: самостійне опрацювання тем в цілому чи окремих питань , що завершується:
1) виконанням лабораторних робіт та модуля №2 з «Математичної статистики» - не більше 10 балів;
2) виконання індивідуальної роботи – не більше 5 балів за кожну.
як вибіркова :
А) участь в роботі наукових студентських конференціях, олімпіадах, підготовка наукових публікацій тощо, ( за рішенням
кафедри ) – не більше 10 балів, (якщо при цьому загальна кількість балів за поточну роботу не перевищує 50 балів).
Б) написання рефератів – не більше 10 балів.
Самостійно виконані роботи перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.
При виконанні модульних завдань оцінці підлягають:
Виконання письмових завдань під час проведення контрольних робіт. Оцінка за цей вид контролю співпадає з кількістю балів за модульну контрольну роботу за 10 - бальною шкалою.
Контрольна робота повинна проводитися в аудиторії без допущення викладачем користування допоміжними матеріалами.
Модульний контроль : дві модульні роботи (перша: пакет к.р. №1 “Випадкові події”, пакет к.р. №2 “Випадкові величини”; друга : “Математична статистика” та три лабораторні роботи).
Результати поточного контролю знань студентів в цілому оцінюють в діапазоні від 0 до 60 балів, але у відомість виставляється оцінка не вище 50 балів.
Всі види самостійно виконаних домашніх письмових робіт перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.


ОСОБЛИВОСТІ ПОТОЧНОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ

студентів заочної форми навчання


Обєктом поточного контролю знань студентів заочної форми навчання є домашня контрольна робота, що складена із індивідуальних завдань.
Контрольні роботи, виконані дома перевіряються викладачем та підлягають захисту у ході співбесіди зі студентом.
Екзаменаційний білет містить 10 завдань, кожне з яких оцінюється в 10 балів.

Підсумковий контроль знань студентів у формі іспиту

1. Оцінювання знань студентів з навчальних дисциплін, формою підсумкового контролю яких є іспит здійснюється за результатами поточного і підсумкового контролю знань (іспиту).
2.Обєктом контролю знань студентів у формі іспиту є результати виконання письмових екзаменаційних завдань.
3. Іспит проводиться у формі виконання письмових екзаменаційних завдань.
4. На іспит виносяться вузлові питання, типові та комплексні задачі, ситуації, завдання, що потребують творчої відповіді та уміння синтезувати отримані знання і застосовувати їх при вирішенні практичних задач тощо.
5. Перелік питань, що охоплюють зміст програми з теорії ймовірностей, критерії оцінювання екзаменаційних завдань визначаються кафедрою, включаються до робочої програми дисципліни і доводяться до студентів на початку семестру.
Екзаменаційний білет містить 5 завдань, кожне з яких оцінюється за шкалою 10; 8; 6; 0 балів.
З обгрунтованою пропозицією кафедри і погодженням з проректором з науково- методичної роботи, до екзаменаційного білету може бути включена інша кількість завдань та визначений окремий порядок їх оцінювання.
7. Результати іспиту оцінюються в діапазоні від 0 до 60 балів (включно).
В разі, коли відповіді студента оцінені менше ніж в 30 балів, він отримує незадовільну оцінку за результатами іспиту та незадовільну загальну підсумкову оцінку. В цьому випадку отримані результати поточного контролю не враховуються та іспит не складається , а в відомість виставляються лише бали поточного контролю.
8. Загальна підсумкова оцінка з теорії ймовірностей складається з суми балів за результати поточного контролю знань та за виконання завдань, що виносяться на іспит (за умови, що студент набрав на іспиті не менше 30 балів і вище).
Зауваження. 10 балів виставляється за правильне розв’язання завдання, тобто розв’язок завдання не має жодної суттєвої помилки; якщо розв’язання має не суттєву помилку , то таке завдання оцінюється в 8 балів. Неправильно виконане завдання оцінюється в 0 балів.
Якщо розв’язуване завдання містить недоліки, то завдання оцінюється в 6 балів.
Суттєвою помилкою вважається така, що приводить до невірного розв’язку задачі.
Недоліком вважаються такі дії, перетворення чи записи, що не приводять до суттєвих помилок.

Умови переведення даних 100- бальної шкали:







оцінювання в 4-х бальну та за шкалою ECTS

Переведення даних 100- бальної шкали оцінювання в 4-х бальну шкалу та за системою ECTS здійснюється в такому порядку:

Оцінка за шкалою
ECTS
Оцінка за шкалою, що використовується в КНЕУ
Оцінка за національною шкалою

A
90-100
5 (відмінно)

B
80-89
4 (добре)

C
70-79
4 (добре)

D
66-69
3 (задовільно)

E
60-65


FX
21-59
2 (незадовільно) з можливістю повторного складання

F
0-20
2 (незадовільно) з обов’язковим повторним вивченням дисципліни











































ЗРАЗКИ ЗМІСТОВИХ МОДУЛІВ ТА ІНДИВІДУАЛЬНИХ РОБІТ

Типове завдання модуля №І
(пакет к.р. №1 “Випадкові події” та к.р. №2 “Випадкові величини”)

Картка №00 (до к.р. №1)

Скільки існує варіантів трикольорового прапора, на якому зображено три вертикальні смуги різних кольорів, якщо є вибір з тканин п’яти різних кольорів?
Деталі на конвеєр надходять із двох автоматів. Від першого-60%, від другого –40%. Перший автомат дає 1% браку, другий –2%. Деталь, яка надійшла на ковеєр, виявилась стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь виготовлена першим автоматом.
На картках написані числа від 10 до 99. Знайдіть ймовірність того, що число, написане на навмання вибраній картці, ділиться на 3 та на 5.
Серед 10 перевірених фірм 8 займаються торгівлею. Шість фірм було оштрафовано. Знайдіть ймовірність того, що серед них обидві неторгівельні фірми.
За даними технічного контролю 3% виготовлених заводом верстатів потребують додаткового регулювання. Чому дорівнює ймовірність того, що з 10 виготовлених верстатів 2 потребують додаткового регулювання?

Картка №00 (до к.р. №2)

1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею


X=xi
-2
-1
2
3
Знайти F(x) та побудувати її графік. Обчислити
·(x) .


P(X=xi)=pі
0.1
0.3
0.5
р


.2. Обчислити D(x),P(x<3), якщо 13 EMBED Equation.3 1415
3. Відомо, що величини X та Y незалежні, причому DX=4,DY=3. Знайти D(3Y) та D(X-Y).
4. Випадкова величина X розподілена рівномірно в інтервалі 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти функцію щільності g(y) випадкової величини Y= cosx.

5. Задано закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин (X,Y).



-1
-2
3
Обчислити D(Y/X=-2), MY.

-1
0,15
0,25
0,15


-3
0,2
0,1
р



ТИПОВЕ ЗАВДАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ №1
З ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Варіант № 00
Задача 1.1.
А) До ліфту “с” поверхового бізнес-центру на першому поверсі зайшли 2 студенти-практиканти. Кожен поспішає на роботу. Записати простір елементарних подій 13 EMBED Equation.3 1415 можливих виходів із ліфту, якщо відомо, що вони працюють на різних поверхах і жоден не працює на останньому поверсі.
Б) Подія А – подання СПД декларації про доходи до ДПІ з “с” години до “с+2” години.Подія В – робочий день інспектора ДПІ закінчився о 17-00. Записати в чому полягають події : 13 EMBED Equation.3 1415
В) “3с” осіб вирішили відкрити по депозитному рахунку в 3-х банках : “Надра”, “Промінвестбанк” “Укрексімбанк”. Вважаючи рівноможливим вибір будь – якого банку , знайти ймовірність подій: а) подія А – у банку “Надра” відкрито рахунок трьома особами; б) подія В – у кожному банку відкрили рахунок рівно «с» осіб.
Задача 1.2.
При виготовленні деталі вона послідовно проходить обробку на 4-х верстатах, причому ймовірність, що її зіпсують на кожному з верстатів відповідно дорівнює 0,1; 0,1+0,001а; 0,1+0,001b; 0,01с. Обчислити ймовірність якісного виходу принаймні однієї з двох оброблених деталей.
Задача 1.3.
Ймовірність для підприємства експорту своєї продукції до Російської Федерації 0,85+0,001а; до Польщі 0,8+0,001b; до США 0,7+0,001с. Знайти ймовірність, того що підприємство буде експортувати свою продукцію: а) тільки до Польщі; б) тільки до однієї країни; в) до трьох країн; г) принаймі до двох країн;
д) принаймі до однієї країни.
Задача 1.4.
Перший оператор обслуговує (20+а)% клієнтів банку, другий - (15+с)%, третій - (65-а-с)%. Знайти ймовірність того, що з двох клієнтів які зайшли до банку:
а) одного з них обслужить третій оператор; б) обидва будуть обслуговані одним оператором.
Задача 1.5.
На Нью-Йоркській фондовій біржі брокер повинен придбати пакети акцій різних найбільш популярних компаній. Прогнозовано, що 50 відсотків пакетів є прибутковими. Скільки потрібно придбати пакетів, щоб з ймовірністю не меншою, ніж 0,9+0,001а бути впевненим у прибутковості принаймні одного пакету акцій.
Задача 1.6.
До торгівельної фірми під реалізацію поступили касові апарати від трьох виробників у співвідношенні 1:4:5. Ймовірність того, що касові апарати від 1-го, 2-го і 3-го виробників не потребують обслуговування впродовж гарантійного строку відповідно дорівнює (98+0,001а)%, (88+0,001b)%, (92+0,01с)%.
а) знайти ймовірність того, що навмання придбаний касовий апарат не потребуватиме обслуговування впродовж гарантійного строку.
б) придбаний касовий апарат потребує обслуговування впродовж гарантійного строку.
в) від якого виробника випуск неякісного касового апарату є найімовірнішим?
Задача 1.7.
Ймовірність порушення у забезпеченні сировиною впродовж робочого дня дорівнює 0,8+0,01с. Знайти ймовірність того, що впродовж робочого тижня (5 робочих днів): а) три робочих дня не буде порушень в забезпеченні сировиною; б) порушення будуть впродовж 3 днів; в) порушення будуть менше, ніж в 3 дні; г) порушення виникне не більше, ніж в 1 день; д) не буде жодного порушення; е) порушення будуть принаймні в один день; є) порушення виникнуть не менше, як в один день, але не більше, ніж в 3 дні; ж) знайти найімовірніше число днів без порушень у постановках сировини за робочий місяць (24 робочих дні).
Задача 1.8.
Банк видав клієнтам 1000b платіжних карток. За оцінкою експертів банку, середня кількість карток, які будуть заблоковані під час користування за різними причинами дорівнює 0,02%. Знайти ймовірність того, що із 1000b платіжних карток: а) буде заблоковано 3 картки; б) буде заблоковано не менше 3 карток; в) не буде заблоковано 1000b – 3 картки; г) не буде заблоковано принаймні 1000b – 3 картки.
Задача 1.9.
За результатами перевірок ДПІ установлено, що у середньому кожне друге мале підприємство регіону має порушення фінансової дисципліни. Знайти ймовірність того, що із 1000+а зареєстрованих малих підприємств порушення фінансової дисципліни мають: а) 480+b підприємств; б) найімовірніше число підприємств; в) не менше 480+b підприємств.
Задача 1.10.
У страховій компанії 1000b клієнтів, які застрахували своє майно. Страховий внесок кожного клієнта складає 2000 грн. За оцінками експертів ймовірність страхового випадку р=0,005. Страхова виплата клієнту при нещасному випадку складає 200000 грн. Визначити розмір прибутку страхової компанії з ймовірністю 0,95. Яка величина найімовірнішого прибутку?




ТИПОВЕ ЗАВДАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ №2
З ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Варіант № 00

Задано ряд розподілу випадкової величини:

xi
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10

pi
0.09
0.08
0.1
0.02
0.02
0.2
0.08
0.1
0.2
0.11

Побудувати та обчислити: а) многокутник розподілу; б) функцію розподілу; в) графік функції розподілу; г) моду; д) оцінити медіану; е) математичне сподівання; є) дисперсію; ж) середнє квадратичне відхилення; з) асиметрію; и) ексцес; і) 13 EMBED Equation.3 1415
В партії із 10 деталей є 7 стандартних. Навмання відібрано 3 деталі . Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа стандартних деталей серед відібраних. Знайти математичне сподівання , дисперсію і середнє квадратичне відхилення.
Випадкова величина Х задана функцією розподілу

13 EMBED Equation.3 1415

а) обчислити параметр 13 EMBED Equation.3 1415; б) побудувати графік функції розподілу; в) знайти щільність розподілу та намалювати її графік; г) обчислити числові характеристики: моду, медіану, математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення , асиметрію, ексцес; д) знайти ймовірність 13 EMBED Equation.3 1415
Власник фермерського господарства вирішив застрахувати нерухомість: кам’яні будівлі на 10 тис. гр., а дерев’яні на 20 тис. гр. Зі статистичних даних відомо, що ймовірність страхового випадку на кам’яних будівлях складає 0,0001, а на дерев’яних – 0,0002. Яку суму повинен сплатити фермер страховій компанії, якщо вона повинна дорівнювати середнім збиткам компанії?
Випадкова величина Х нормально розподілена з математичним сподіваням М(Х)= -1 і дисперсію D(X)=10. Записати вирази для щільності розподілу ймовірностей f(x) та функції розподілу F(x) і побудувати їх графіки. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини на проміжок [-4,2]. Яка ймовірність відхилення випадкової величини від її математичного сподівання більше, ніж на 2 одиниці?
Система випадкових величин (13 EMBED Equation.3 1415) задана таблицею розподілу.
13 EMBED Equation.3 1415
-2
-1
0
1
3
с+1

-3
0,01
0,03
0,04
0,01
0,03
0,01

-2
0,03
0,01
0,02
0,05
0,03
0,01

-1
0,01
0,04
0,01
0,03
0,02
0,01

1
0,02
0,09
0,02
0,01
0,05
0,08

с-1
0,03
0,01
0,04
0,07
0,02
0,06

Знайти : а) двовимірну функцію розподілу, б) ряди розподілу кожної випадкової величини, в) одновимірні функції розподілу, г) числові характеристики системи: математичне сподівання, дисперсію, кореляційний момент, д) умовне математичне сподівання випадкової величини 13 EMBED Equation.3 1415, якщо випадкова величина 13 EMBED Equation.3 1415 набула значення –2, 13 EMBED Equation.3 1415 - кількість букв у прізвищі.

ТИПОВІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ ПОТОЧНОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ ЗА ТЕМОЮ: ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
,
1. Д (Х-У)= а; Д(Х) – Д(У) - ?
Д(Х) + Д(У) -? , якщо Х, У – незалежні
Д(Х) +Д(У)+2Кху.

А і В – незалежні
Р (АВ) = Р(А)·Р(В);
Р(АВ)=Р(А) ·РА(В);
Р(АВ)=Р(В)·РВ(А).

3. Х- дискретна в.в.
М(Х) =13 EMBED Equation.3 1415 М(кХ)=КМ(Х)
13 EMBED Equation.3 1415, М(кХ)=КМ(Х)
13 EMBED Equation.3 1415, М(кХ)=М(Х).


ТИПОВІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ ПОТОЧНОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ ЗА ТЕМОЮ: ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ В.В.

Задано закон розподілу ДВВ

Х
2
5
7
9

Р
0,2
0,3
а
0,1


а) 1) а = 0,3 б) 1) 5 2) а = 0,4 2) M(x)<5 2) 13 EMBED Equation.3 1415 (x)=3
3) а = 0,5 3) M(x)=5 3) 13 EMBED Equation.3 1415(x)<2,194

2.
Х
N-2
N-1
N+1
N+2

Р
0,2
0,3
0,3
0,2

М(х) =N ; 1) D(x) = N2 +2,2;
M(x)M(x)>N ; 3) D(x)= N2 –2,2.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ З РОЗДІЛУ
МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Лабораторна робота № 1

У ста випадково обраних пунктах обміну валюти було зафіксовано дані про
курс продажу долара. Було отримано наступну вибірку:
5.2 5.1 5.0 5.0 5.0 5.0 5.4 5.4 5.2 5.2 4.6 5.0 4.7 5.1 5.0 5.0 4.8 5.4 4.8 5.0 5.2 5.1 4.9 4.6 4.9 5.1 5.2 4.9 4.7 4.9 5.0 4.6 4.7 5.1 4.9 4.8 4.9 5.2 4.6 5.1 5.0 5.3 5.1 5.1 4.9 5.3 4.6 4.9 4.8 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.3 5.2 5.0 5.1 4.7 5.0 5.0 4.9 4.8 5.1 4.8 4.9 5.1 5.1 4.8 4.7 5.2 4.8 4.8 4.9 5.2 4.8 5.1 5.0 5.3 5.0 5.1 4.9 5.3 4.8 4.9 4.8 5.0 5.1 5.1 5.1 4.8 4.7 4.9 5.1 5.2 4.9 4.7 4.9 4.8
5.0

На основі приведених вибіркових даних :
1. Знайти середнє значення курсу долара 13 EMBED Equation.3 1415, а також наступні числові характеристики вибіркової сукупності : 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

Лабораторна робота № 2
За таблицею статистичних даних лабораторної роботи № 1 потрібно:
1. Розбиваючи на дев’ять рівних інтервалів побудувати інтервальний ряд.
2. Згідно інтервальному ряду побудувати гістограму розподілу відносних частот.
3. За критерієм Пірсона перевірити з рівнем значущості а) ( = 0,01, б) ( = 0,05 гіпотезу про нормальний закон розподілу у сукупності.
4. У випадку, якщо вибіркові дані відповідають нормальному закону розподілу, з надійністю а) 0,95, б) 0,99 знайти довірчий інтервал для 13 EMBED Equation.3 1415.



Лабораторна робота № 3

В таблиці записані статистичні дані з п’ятнадцяти ділянок про урожайність зернових Y в залежності від кількості добрив X.

Y =уі, ц/га
10
12
14
18
19
20
20
21
21
23
25
26
27
28
29

X =хі, т/га
2
4
5
4
7
7
9
10
8
15
18
14
20
21
25


На основі приведених даних потрібно:
1. Виявити кореляційно - регресійну залежність урожайності від кількості добрив; обчислити числові характеристики: вибірковий кореляційний момент та коефіцієнт кореляції.
2. На координатній площині побудувати точки (хі, уі). Проаналізувати, чи існує лінійна залежність між випадковими величинами X та Y.
3. Знайти рівняння лінії регресії та за цим рівнянням побудувати графік прямої.
4. Скориставшись знайденим рівнянням лінії регресії знайти (спрогнозувати) якою буде урожайність, якщо кількість добрив прийме наступне значення: а) х=7,5; б) х=32.

ВКАЗІВКИ ПО ВИКОНАННЮ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ ПОТОЧНОГО ТА ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ З РОЗДІЛУ «МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА»

1. Записати емпіричну функцію розподілу для вибірки, яка представлена статистичним рядом:
хі
-2
0
1
3


8
12
10
4

Розв’язання: Емпіричною функцією розподілу 13 EMBED Equation.3 1415називається функція, яка має вигляд 13 EMBED Equation.3 1415,
де n- обсяг вибірки, nх- число значень випадкової величини Х у вибірці, які менші за х. Тоді запишемо емпіричну функцію розподілу
13 EMBED Equation.3 1415

2. Побудувати гістограму частот для інтервального статистичного ряду

Х
2 - 4
4 - 6
6 - 8
8 - 10
10 - 12
12 - 14


2
5
7
9
5
4


Розв’язання: Знайдемо суму частот вибірки: 13 EMBED Equation.3 1415.
Нижче, на рисунку зображена гістограма. При цьому, основа кожного прямокутника дорівнює довжині інтервалу 13 EMBED Equation.3 1415, а висота дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED PBrush 1415
3. Протягом 10 днів в банку фіксували кількість підписаних договорів за один день. Отримали наступну вибірку: 15, 20, 14, 17, 15, 22, 18, 17, 20, 21. Знайти вибіркове середнє, вибіркову дисперсію та незміщену вибіркову дисперсію для кількості підписаних договорів за один день.
Розв’язання: Для знаходження вибіркового середнього скористаємось формулою (2):
13 EMBED Equation.3 1415
Вибіркову дисперсію знайдемо за формулою (4):
13 EMBED Equation.3 1415=
Незміщена (виправлена) вибіркова дисперсія:
13 EMBED Equation.3 1415.

4. Із сукупності, що розподілена за нормальним законом зроблена вибірка об’єму 13 EMBED Equation.3 1415. З надійністю 13 EMBED Equation.3 1415 знайти довірчий інтервал для математичного сподівання а, якщо дисперсія дорівнює а)13 EMBED Equation.3 1415, б)13 EMBED Equation.3 1415. Як зміниться довірчий інтервал, якщо об’єм вибірки збільшиться. Розв’язати задачу для випадку 13 EMBED Equation.3 1415 .
Розв’язання: За формулою (9) знайдемо t
13 EMBED Equation.3 1415. Тоді з таблиці 2 знайдемо число t=1,96.
З нерівності (8) отримаємо такий довірчий інтервал:
для випадку а): 13 EMBED Equation.3 1415
для випадку б): 13 EMBED Equation.3 1415
Отже, при збільшенні дисперсії довірчий інтервал збільшується, а отже точність оцінки зменшується.
У випадку 13 EMBED Equation.3 1415 отримаємо наступні довірчі інтервали:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415

5. Для даного інтервального статистичного ряду перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу при рівні значущості 13 EMBED Equation.3 1415= 0.05.
Х
3,0-3,6
3,6-4,2
4,2-4,8
4,8-5,4
5,4-6,0
6,0-6,6
6,6-7,2

13 EMBED Equation.3 1415
2
8
35
43
22
15
5


Розв’язання: Перевіримо цю гіпотезу, скориставшись критерієм Пірсона. Нормальний закон розподілу залежить від двох параметрів: 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415. Замінимо ці параметри їх відповідними точковими оцінками 13 EMBED Equation.3 1415. Для цього знайдемо вибіркове середнє та вибіркову дисперсію, причому за представника кожного інтервалу візьмемо його середину:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Отже 13 EMBED Equation.3 1415.
Для нормального закону розподілу ймовірність попадання випадкової величини Х на інтервал знаходять за формулою:
13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 - функція Лапласа (див. Таблицю 2). Знайдемо значення теоретичних частот 13 EMBED Equation.3 1415 для кожного інтервалу. Покажемо як це робиться на прикладі третього інтервалу:
13 EMBED Equation.3 1415
Потім складаємо порівняльну таблицю чисел: статистичних частот 13 EMBED Equation.3 1415 і відповідних їм значень 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415).
інтервали
3,0-3,6
3,6-4,2
4,2-4,8
4,8-5,4
5,4-6,0
6,0-6,6
6,6-7,2

13 EMBED Equation.3 1415
2
8
35
43
22
15
5

13 EMBED Equation.3 1415
2,48
11,23
28,46
39,60
30,92
13,45
3,25


За формулою (13) визначаємо міру відхилення емпіричних частот від теоретичних: 13 EMBED Equation.3 1415.

Визначимо за формулою (14) число степенів свободи: k=7-2-1=4. За таблицею 3 знайдемо критичне значення критерію при рівні значущості 13 EMBED Equation.3 1415: 13EMBED Equation.31415.
Відповідь: оскільки спостережене значення критерію менше ніж критичне, то гіпотеза про нормальний закон розподілу приймається.
6. В таблиці представлені статистичні дані про капітальні вкладення Х (в тис. грн..) і чистий дохід У (в тис. грн..). Знайти рівняння лінії регресії.
Х=хі
1
2
3
4
5
6
7

У=уі
3,0
3,5
4,0
4,2
4,6
5,0
5,2


Розв’язання: Спочатку знайдемо числові характеристики (вибіркове середнє, дисперсію, середнє квадратичне відхилення) окремо для випадкової величини Х та У.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Тоді відповідні середньоквадратичні відхилення будуть
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Оскільки так як дані таблиці не повторюються, то для обчислення кореляційного моменту скористаємось формулою (15). В даному випадку будемо мати: 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді вибірковий коефіцієнт кореляції знайдемо за формулою (17):
13 EMBED Equation.3 1415.
Підставимо знайдені значення в рівняння (18) і отримаємо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, рівняння лінії регресії має вигляд 13 EMBED Equation.3 1415.
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ (денна форма)
Кафедра вищої математики
Навчальний предмет теорія ймовірностей та математична статистика
Спеціальність Семестр 2
Екзаменаційний білет №
Завдання 1
а) розв’яжіть рівняння 13 EMBED Equation.3 1415
б) Біноміальний закон розподілу. У виробництві деякої продукції третій сорт становить 25%. Знайти ймовірність того, що з семи навмання взятих виробів цієї продукції не менше ніж три будуть третього сорту.
Завдання 2
а) Закон розподілу дискретної випадкової величини.
Випадкова велична Х має такий закон розподілу
хі
1
2
5
6

рі
0,16
р
0,34
0,25




Побудувати полігон розподілу, функцію розподілу та її графік. Знайти 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Обчислити a, M(x), D (x) , якщо
13 EMBED Equation.3 1415


Завдання 3
а) Біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини.
Ймовірність укладання угоди за результатами ділових переговорів дорівнює 0,7. Випадкова величина Х – число укладених угод після 4 ділових зустрічей. Знайти закон розподілу випадкової величини . Знайти 13 EMBED Equation.3 1415
б) Щільність розподілу неперервної випадкової величини має вигляд 13 EMBED Equation.3 1415

Знайти параметр С, та 13 EMBED Equation.3 1415.
Завдання 4
а) Задано таблицю розподілу системи двох випадкових величин 13 EMBED Equation.3 1415
Х
У
1
3
5
7

2
0,2
0,15
0,15
а

7
0,21
0,05
а
0,05



Обчислити кореляційний момент системи випадкових величин .


б) Щільність розподілу функції випадкового аргументу.
Задано 13 EMBED Equation.3 1415 Знайти g (y) , якщо Y=x2

Завдання 5
а) Середнє квадратичне відхилення вибірки. За даними вибірки знайти вибіркову середню і середнє квадратичне відхилення.
0;1;0;2;3;1;2;1;3;0;1;2;1;3;1;2;0;1;2;3.
б) Маємо дані про розміри основних фондів на випадково вибраних підприємствах
3,8,1,35,42,03,23,31,43,72,73,92,06,15,5,25,53,93,24,84,34,12,2
Побудуйте інтервальний статистичний ряд 13 EMBED Equation.3 1415, обчисліть 13 EMBED Equation.3 1415 та побудуйте гістограму.
Завдання 6
а) З великої кількості електричних ламп зроблена вибірка 13 EMBED Equation.3 1415. Середній час горіння ламп із вибірки виявився рівним 10000 годин. З надійністю 13 EMBED Equation.3 1415Знайти довірчий інтервал для середнього часу горіння електролампи а, якщо його 13 EMBED Equation.3 1415год.
б) За двовимірним статистичним розподілом вибірки
Х
У
6
10
14

10
5
5
-

20
5
10
5

30
-
5
15





Записати рівняння регресії : 13 EMBED Equation.3 1415


Затверджено на засіданні кафедри вищої математики протокол №___ від__________
Зав. кафедрою__________Макаренко О.І. Екзаменатор_______________








































КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ВАДИМА ГЕТЬМАНА (заочна форма)

Кафедра вищої математики
Навчальний предмет теорія ймовірностей та математична статистика
Спеціальність__________________ Семестр 2

ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ №_______
У відрі 25 троянд білого та червоного кольору. Червоних у 4 рази більше, ніж білих. Яка ймовірність того, що дві навмання взяті троянди виявляться одного кольору.

Деталі на конвеєр поступають від двох автоматів, від першого утричі більше, ніж від другого. Перший автомат дає 2% браку, другий 1%. Деталь на конвеєрі виявилась браковоною. Знайти ймовірність того, що вона виготовлена на першому автоматі.

Показниковий закон розподілу. Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х, якщо щільність розподілу ймовірностей цієї величини має вигляд
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Випадкова величина Х має такий закон розподілу
хі
3
5
6
7
9

рі
0,2
0,3
0,2
а
0,1

Побудуйте полігон розподілу, функцію розподілу та її графік. Обчисліть М(Х), D(Х) та М0.

Банк видає кредит трьом підприємствам. Ймовірність того, що перше підприємство своєчасно поверне ктредит 0,7, друге 0,6, третє 0,8. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – кількості підприємств, що своєчасно повернуть кредит. Знайти М(Х) та ((Х).

Випадкова величина Х задана щільністю розподілу

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Обчислити 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


7. Задано закон розподілу системи двох незалежних випадкових величин (Х, У). Випадкова величина Х розподілена рівномірно на інтервалі (0; 5). Величина У має М(У)=3 і D(У)=2. Обчислити М(Х+У),
D(2Х-4У).

Вибірковий метод. Статистичні розподіли вибірок. За даним статистичним рядом побудувати полігон розподілу частот. Знайти моду.
хі
1
4
6
9
10
12


5
10
20
45
8
2


Маємо дані про прибутки випадково вибраних підприємств
0,6 0,9 3,8 4,2 0,6 2,8 3,6 2,0 1,0 0,7 1,1 2,7 3,5 3,8 1,5 3,7 3,3 1,0 1,6 1,4
Побудуйте інтервальний статистичний ряд (k=6), обчислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 та побудуйте гістограму.

За даним інтервальним рядом знайти точкові оцінки для математичного сподівання та дисперсії. Вважаючи, що вибірка проведена із нормально розподіленої сукупності з (2=16 знайти з надійністю (=0,95 інтервальну оцінку для математичного сподівання
інтервали
1-5
5-9
9-13
13-17
17-21
21-25
25-29

частоти
4
8
20
50
10
6
2


Затверджено на засіданні кафедри вищої математики
протокол № 10 від 12.04.2010

Зав. кафедрою Макаренко О.І. Екзаменатор ______________
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ :

Основна:
1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Теорія ймовірностей та математична статистика . –2004 р.

2. Жлуктенко В.І.. Наконечний С.І. Теорія ймовірностей . – К.: КНЕУ ч.1 та ч.2. –2001 р.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003. – 480 c.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- М.: Высш.школа , 1975. – 332 с.

5. Крамер М.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика . – М.: Банки и биржи., ЮНИТИ , 2001 г.

6. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика .- Минск.: Высшая школа , 1993.- 270 с.

7. Григуліч С.М., Лісовська В.П., Макаренко О.І., Пахомов І.І, Черніс Г.М., «Навчально – методичні рекомендації для самостійної підготовки практичних занять з теорії ймовірностей та математичної статистики» ч. І – Випадкові поді., К.: КНЕУ – 2008. – 108 с.

8. Григуліч С.М., Лісовська В.П., Макаренко О.І., Пахомов І.І, Черніс Г.М., «Навчально – методичні рекомендації для самостійної підготовки практичних занять з теорії ймовірностей та математичної статистики» ч. ІІ – Випадкові поді., К.: КНЕУ – 2009. – 149 с.
Додаткова:

8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Физматгиз, 2004.
9. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.
10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Физматгиз, 1961.
11. Гурский Е.М. Теория вероятностей с элементами математической статистики. – М.: Высшая школа, 1971.
12. Черняк О.І., Обушна О.М., Ставицький А.В. Теорія ймовірностей та математична статистика. Нав.посібник. – 2-ге вид. – К.: Знання, 2002. –199 с.
13. Жлуктенко В.І., Наконечний С.І., Савіна О. Математична статистика: Навч. посібник , -К.: КНЕУ, 2002.
14. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и её приложения ч.1,2 . – 1984, Мир.
15. І.Ю. Каніовська Теорія ймовірностей у прикладах і задачах. Київ – 2004 ІВЦ Видавництво «Політехніка» - 156 с.
16. Г.І. Кармелюк Теорія ймовірностей та математична статистика: - Навч. Посібник – К.: Центр учбової літератури 2007 – 576 с.
17. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов Математика для экономистов. Элементы теории вероятностей. – СПб: Питер, 2004 – 464 с.
18. К.Л. Чжун, Ф.Аит Сахлиа Элементарный курс теории вероятностей. – Москва. Бином. Лаборатория знаний, 2007
19. Сборник задач по высшей математике для экономистов под ред. Проф. В.И. Ермакова – М.: Инфра-М, 2007 – 575 с. – (100 лет РЭА им. Г.В. Плеханова)
20. С.В. Мочерний, Я.С. Ларіна, О.А. Устенко, С.І. Юрій Економічний енциклопедичний словник, Львів, видавництво «Світ» - 2005, Т.1 – 616 с., Т.2 – 568 с.
21. Большая экономическая энциклопедия – М.: ЭКСМО, 2007 – 816 с.












13PAGE 15


13PAGE 142315


13PAGE 14215


13PAGE 143115


13PAGE 14215


13PAGE 147415



13 EMBED Equation.DSMT4 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 19072257
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий