Vyshmat 21-40 Shynar


21
Нақты көпмүшелердің нақты түбірлері
Штурм жүйесі –көпмүшелер үшін нақты түбірлер санын анықтау жане олардың түбірлерін жекелеу тәсілдерінің бірі.
Мысалы fЕҮОБ(f,f') көпмүшесін қарастырсақ.
f€ R[X] жане f-тің еселі түбірлері жоқ болсын.|R өрісіндеі f0,f1,…fk көпмүшелер тізбегі үшін:
1.f0=f, ал fk көпмүшесінің нақты түбірлері жоқ.
2.көрші көпмүшелердің ортақ түбірлері жоқ.
3.егер α нақты саны fi(0<i<k) аралық копмүшесінің түбірі болса,онда fi-1∝,fi+1(∝) сандарының таңбалары қарама-қарсы.
4. егер α нақты саны f-тің түбірі болса,онда f0*f1 функциясы ∝ нүктесі арқылы откенде танбасын минустан плюске өзгертеді.
Осы 4 шарт орындалса,онда f0,f1,…fk тізбегі f көпмүшесінің Штурм жүйесі деп аталады.
а< б кез келген нақты сандар f€ R[X] еселі түбірлері жоқ көпмүше,ал f0,f1,…fk көпмүшелері f-тің Штурм жүйесі болсын.Онда W(a)≤ W(b) және (a,b) интервалында f-тің нақты түбірлер саны W(a)- W(b) айырымына тең болады.
Дәлелдеу. Қандай да бір ∝ нүктесінде нолге айналмайтын кез-келген үзіліссіз функция ∝ нүктесінің маңайында да таңбасын өзгертпейді,ал әр көпмүше үзіліссіз функция болады және оның секірмелері f0,f1,…fk-1 көпмүшелерінің түбірлерінде ғана болуы мүмкін.
22. Көпмүшелер сақинасы
N натурал сандар, Q рационал сандар, R нақты сандар, С комплекс сандар, Z бүтін сандар жиындары, К символын осы саедардың белгіленуі ретінде қолданылады, яғни К арқылы
Z,Q,C,Z,Rn (nϵN) жиындарының кез келген біреуін белгілейміз. Бұл жағдайда K жиынына сақина атауын пайдаланамыз.
Q,R,C,Zp (p-жай сан) жағдайында өріс деп атап, Р санын олардың жалпы белгіленуі ретінде қолданамыз.
A)Кез келген көпмүшені стандарт түрде жазуға болады. Ол үшін: Көпмүшенің әрбір мүшесін стандарт түрде жазу керек; Ұқсас мүшелерді біріктіру керек.

Көпмүшені бірмүшеге көбейту үшін бірмүшені көпмүшенің әрбір мүшесіне көбейтіп, шыққан көбейтінділерді қосады
Көпмүшелердің алгебралық қосындысын стандарт түрдегі көпмүше ретінде жазу үшін жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіру керек. 

Көпмүшені көпмүшеге көбейту үшін бірінші көпмүшенің әрбір мүшесін екінші көпмүшенің әрбір мүшесіне көбейтіп, шыққан көбейтінділерді қосу қажет. 

Көпмүшені бірмүшеге бөлу үшін көпмүшенің әрбір мүшесін бірмүшеге бөліп, шыққан бөлінділерді қосу керек
Б,В) Бір айнымалылы көпмүшелік, полином деп  HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" \o "Математика" математикада келесі функцияны айтады{\displaystyle F(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n}x^{n},}
мұндағы {\displaystyle c_{i}}сi тұрақты коэффициенттер, ал {\displaystyle x}x — айнымалы. Көпмүшеліктер элементар функциялардың маңызды табы болып табылады.
n айнымалылы көпмүшелік (немесе полином) деп келесі түрдегі шекті қосындыны айтады{\displaystyle \sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}},
мұндағы {\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})} теріс емес бүтін сандар жиыны (мультииндекс деп аталатын), ci {\displaystyle c_{I}} — тек мультииндекс I-ға тәуелді («көпмүшелік коэффициенті деп аталатын») сан.
Жекеше түрі, бір айнымалылы көпмүшелік келесі шекті қосынды болып табылады{\displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{n}x^{n}.}
Көпмүшелік коэффициенттері әдетте белгілі бір  HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D1%82%D1%96%D0%BB%D1%96%D0%BA&action=edit&redlink=1" \o "Коммутативтілік (мұндай бет жоқ)" коммутативті {\displaystyle R} R сақинасынан (көбінесе  HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D3%A8%D1%80%D1%96%D1%81_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)&action=edit&redlink=1" \o "Өріс (алгебра) (мұндай бет жоқ)" өрістен, мысалы,  HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D2%9B%D1%82%D1%8B_%D1%81%D0%B0%D0%BD" \o "Нақты сан" нақты сандар немесе комплекс сандар өрісінен) алынады. Бұл жағдайда қосу мен көбейту операцияларына қатысты көпмүшеліктер {\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}].}
деп белгіленетін сақина (оның үстіне {\displaystyle R}R сақинасында нөл бөлгіштерінсіз ассоциативті-коммутативті  HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A1%D0%B0%D2%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D2%93%D1%8B_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0&action=edit&redlink=1" \o "Сақинадағы алгебра (мұндай бет жоқ)" сақинадағы алгебраны) құрайды.
Егер үлкен коэффициенті бірге тең болса көпмүшелік унитарлы немесе келтірілген деп аталады түріндегі көпмүшеліктерді  HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC&action=edit&redlink=1" \o "Мононом (мұндай бет жоқ)" бірмүшелік немесе моном деп атайды мультииндексіне сәйкес келетін бірмүшелікті бос мүше деп атайды.
Көпмүшелік екі нөл емес мүшесі болса оны екімүшелік немесе бином дейді,
Көпмүшелік үш нөл емес мүшесі болса оны үшмүшелік деп атайды.
 (нөл емес) бірмүшеліктің толық дәрежесі деп мына бүтін санды айтады
Көпмүшелік дәрежесі деп оның бірмүшеліктерінің ең максималды дәрежесін айтады, нөлдің дәрежесі болмайдыКоэффициенттері {\displaystyle c_{I}}  нөл болмайтындай мультииндекстер жиынын көпмүшелік игерушісі, ал оның дөңес қабығын - Ньютон көпжағы дейді.
3.Айталық K[x]-K сақина үстінде жасалған көпмүшелер өрісі болсын.
Теорема: К біртұтас аймақ болса, K[x] тан алынған кез – келген n дәрежелі    көпмүшенің түрлі түбірлері саны n  аспайды.
Нәтиже.Егер   көпмүше n-нен артық сандағы түрлі түбірлерге ие болса, онда f – нолдік емес көпмүше болады.
Көпмүшеліктедің алгебралық және функционалдық теңдіктері анықталады.
         Теорема: Айталық K[x]-K ақырсыз біртұтастық аймақ үстінде жасалған көпмүшелер сақинасы болып, K[x] тең алған f және g функциялар тең болуы үшін олар анықталған f және g* функциялары тең болуы қажетті және жеткілікті. 
         Қалдықпен бөлу туралы теорема.
Айталық f[x]–   F- өріс үстінде жасалған көпмүшелер сақинасы, және f(x) оның негізгі жиыны болсын.
Теорема: Егер   көпмүше ноль емес болса, онда кез – келген  көпмүше үшін F(х)  те
     F = hg + z,   degz<degh, немесе  z = 0 шарттарды орындайтын g және z көпмүше табылады.
         1-Салдар: Егер F өріс болса, онда көрмүшелер өрісі болған F[x] евклидті сақина болады.
         2-Cалдар: F өрісі үстінде жасалған көпмүшелер сақинасы F[x] бас идеалдар сақинасы болады.
         3-Салдар. Егер F өріс болса, онда көпмүшелер сақинасы F[x] факториалды болады.
23) Комплекс сандар өрісін құрастыру
а) максималды идеал.
б) келтірілген көпмүше.
в) максималды идеал бойынша ...... сақина.






24.Комплекс сандар
Комплекс сандар деп кез-келген нақты а мен в сандарының реттелген (а;в) парасы деп аталады. (а;в) мен (с;d) комплекс сандары а=с және в=d болғанда және тек сонда ғана тең сандар деп аталады.
Қосуz=(a;в) мен w=(c;d) комплекс сандарының қосындысы деп, (а+с,в+d) комплекс саны айтылады. Мысалы, (2;7)+(3;-4)=(2+3;7-4)=(5;3).
Қасиеттенрі:
1)Z1+Z2=Z2+Z1 коммуникативти заңы2)(Z1+Z2)+Z3=Z1(Z2+Z3) ассоциативті заң3)∀Z:Z+0=Z нейтрал элемент туралы заң4)∀Z1:∃ ∀2 z1+z1=0 z2=-z1 қарама-қарсы элемент
Көбейтуz=(a;в) мен w=(c;d) комплекс сандарының көбейтіндісі деп (ас-вd;аd+вd) комплекс саны аталады. Мысалы, егер z=(2;5), w=(3;1) болса, онда zw=(2*3-5*1;2*1+5*1 )=(1;7).
Қасиеттері :Z1*Z2=z2*z1 коммуникативтілік заңы(z1*z2)*z3=z1(z2*z3) ассоциативті заң∀z*z1=z нейтрал элементтер заңы
∀z1≠0 Z:Z1*Z2=1 кері элементтер заңы Z2=1/Z1
25. Гаусс теоремасыДәрежесі тақ көпмүшелерКомплекс сандар өрісінің алгебралық тұйықтығыЖіктелу өрісіP өрісінде дәрежелері екіден кем болатын f көпмүшелерінің түбірлерін зерттеудің қажеті жоқ:
Deg f=1 болғанда, f(x)=αx+β және Р-ның- α-1∙β элементі f-тің жалғыз түбірі болады;
Deg f=0 болғанда, f(x)=β, ал β≠0; бұл жағдайда, әрине, f-тің бірде-бір түбірі жоқ:
Deg f= - ∞ болғанда, f=0, демек, Р өрісінің барлық элементтері f-тің түбірлері болады, сонымен 0 көпмүшесінің Р өрісіндегі түбірлер саны Р өрісінің қуатына тең болады.
Егер дәрежедесі бірден артық әрбір f∈P[x] көпмүшесінде Р өрісінде ең болмағанда бір түбірі бар болса, онда Р алгебралық тұйық өріс деп аталады.
Комплекс сандар өрісінен өзге барлық сандық өрістер алгебралық тұйық емес. Мысалы, х2+х+1 көпмүшесінің Q рационал сандар өрісінде де, R нақты сандар өрісінде де түбірлері жоқ. Осы көпмүшенің Z2 қалындылар кластар өрісінде де түбірлері жоқ. Барлық Zр қалыңдылар кластар өрістерінің алгебралық тұйық еместігін байқау қиын емес.
Гаусс теоремасының көптеген дәлелдеулері бар. Математикалық талдау пәнінде осы теореманың ең қысқа және әдемі дәлелдеуімен кездесерсіз. Бұл теореманың алгебралық дәлелдеулері де бар, бірақ оларды келтіру үшін біраз қосымша күрделі ұғымдарды енгізу қажет.
Гаусс теоремасының салдарлары:
С өрісі алгебралық тұйық болады.
1,1Кез келген дәрежесі n≥1 болатын f∈C[X] көпмүшесі бас коэффициент пен n сызықтық көбейткіштердің көбейтіндісіне жіктеледі:
f(x)=α_0 (x-γ_1 )(x-y_2 )…(x-γ_n)
Дәлелдеу. Гаусс теоремасы бойынша, f-тің ең болмағанда бір γ_1 түбірі болады. Олай болса, Безу теоремасы бойынша, f(x)=(x-γ_1 )*g(x). бұл жерде deg g= n-1 және g-ның бас коэффициентімен бірдей болады. Енді келтірілген пайымдауларды g көпмүшесіне пайдаланып және т.с.с керек жіктеуді аламыз.
1.2 Кез келген дәрежесі n≥1 болатын f∈C[X] көпмүшесінің
f(x)=α_0 (x-γ_1 )^(k_1 ) (x-y_2 )^(k_2 )…〖(x-γ_s)〗^(k_s )
Түріндегі канондық жіктеуі бар. Бұл жерде α_0- f-тің бас коэффициенті, γ_1, γ_2, ... γ_n- өзара тең емес комплекс сандар. К1, к2,..., кs – қосындысы n-ге тең болатын натурал сандар.
1.3 f∈R[x],deg⁡〖f>0 〗 және γ комплекс саны f-тің түбірі болсын. Онда γ_(-ға ) түйіндес γ ⃗_( ) саны да f көпмүшесінің түбірі болады.сонымен қатар γ_ мен γ ⃗_( )
Түбірлерінің еселіктері бірдей болады.
Кез келген дәрежесі n≥1 болатын f∈R[X] көпмүшесі үшін
f(x)=α_0 (x-〖γ_1)〗^k1 (x-〖γ_2)〗^k2…(x-〖γ_s)〗^ks (x^2+α_1 x+〖β_1)〗^m1 (x^2+α_1 x+〖β_2)〗^m2…(x^2+α_p x+〖β_p)〗^mpКанондық жіктеуі болады.
1.5 R өрісіндегі кез келген тақ дәрежелі көпмүшенің ең болмағанда бір нақты түбірі болады.

26) Көпмүшенің жіктелу өрісі.
а) Келтірілмейтін көпмүше
Келтірілмейтін көпмүше - едәуір төменгі дәрежелі көбейткіштерге жіктелмейтін көпмүше. Көпмүшенің көбейткіштерге жіктелу мүмкіңдігі осы көпмүшенің кандай сан аймағында (облысында) карастырылатындығына тәуелді. Мысалы, x 3 + 2 көпмүшесі, егер коэффициентгеріретінде тек рационал сандар ғана алынған болса, онда ол келтірілмейтін екі көбейткішке жіктелмейді. Егер коэффициенттері ретінде кез келген нақты сандар алынатын болса:
x+32 және x2-x3 2+34 көбейткіштеріне жіктеледі, ал егер коэффициентгері комплекс саңдар болса, мынадай үш көбейткішке жіктеледі:
x+32 , x-32*1+i32 , x-2*1-i32
Жалпы жағдайда көпмүшелерге катысты келтірілмейтіндік кез келген өріс үшін анықгалады.
б) P-өріс, f(x) €P[x]
Келтірілмейтін көпмүше
f(x)=a0+a1x+a2+x2+…anx4
h(x), q(x)€P[x].
I=P[x] идеал: r(x)*ICI кез келген r(x) € k.
Егер h(x)-q(x)=(-x)*s(x)
Онда h(x)=q(x).
Эквавалентті
1 h(x)=h(x).
2 h(x)=q(x)=> q(x)=h(x)
3 h(x)=q(x); q(x)=k(x)=>h(x)=k(x)
h(x)-k(x) = h(x)-q(x)+q(x)-k(x) Экваваленттік қатынас
P[x]-/г = P[x]/f(x)={r(x)+f(x))|r(x) € P[x]}
(f(x))={q(x)*f(x)/q(x) € P[x]}∆идеал P[x].
Теорема. Егер f(x) P[x] сақина онда келтірілмейтін көпмүше болса,онда P[x]/f(x) фактор жиыны өріс болуы . Осы өрісте f(x) көпмүшесі түбірге ие.
P[x]/f(x)={A,B,C… }
A={a(x) € P[x]| кез келген q(x) € P[x].
q(x)~a(x)}
A+B={a(x)+b(x)|
a(x) € A,b(x) € B
A*B={a(x)*b(x) a(x) € A
b(x) € B}
27 Қарапайым ақырлы өрістер
a)Бүтін сандар сақинасы
b)Идеалдар
c)Максимальді идеал бойынша фактор сақина
А) Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов. Число элементов в поле называется его поря́дком.
Конечное поле обычно обозначается или (сокращение от Galois field) и называется полем Галуа порядка [1], где — число элементов поля. С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является степенью какого-нибудь простого числа, то есть , где — простое число, а — любое натуральное число. При этом будет являться характеристикой этого поля[2].
Понятие конечного поля используется в теории чисел[3], теории групп[3], алгебраической геометрии[3], криптографии[4].
Конечным полем называется конечное множество, на котором определены произвольные операции, называемые сложением, умножением, вычитанием и делением, (кроме деления на 0) в соответствии с аксиомами поля[5].
Мультипликативная группа конечного поля — циклична. То есть все ненулевые элементы поля образуют группу относительно операции умножения (эта группа называется мультипликативной группой поля и обозначается ). Эта группа является циклической, то есть в ней есть порождающий элемент, а все остальные элементы получаются возведением в степень порождающего[5]. То есть, существует — порождающий элемент, такой что для любого , можно записать:
.
Порождающий элемент называется также примитивным элементом поля Поле содержит примитивных элементов, где — функция Эйлера.[6]
Также поле обладает рядом других свойств:
Согласно малой теореме Ферма, каждый элемент поля удовлетворяет равенству [2].
Поле содержит в себе в качестве подполя тогда и только тогда, когда является делителем [1].
Если — неприводимый многочлен степени , то поле содержит любой его корень , причём множество всех его корней имеет вид . Таким образом, является полем разложения многочлена над полем [7].
Для каждого конечного поля и натурального числа произведение всех нормированных неприводимых над многочленов, степень которых делит , равно В частности, сумма степеней таких многочленов равна [8].
Число нормированных многочленов степени n, неприводимых над полем определяется по формуле , где — функция
Поле с простым числом элементов и связь с кольцами вычетов[править | править вики-текст]
Наиболее известный пример конечного поля — поле классов вычетов по модулю простого числа , обозначаемое [10]. Это поле можно представить следующим образом. Для простого числа элементами поля будут числа . Сложение и умножение определены как сложение и умножение чисел с приведением результата по модулю [11]. Ниже приведены примеры таких полей с двумя элементами и тремя элементами.
Любое поле простого порядка может быть представлено кольцом вычетов (т.е. любое поле из элементов изоморфно полю ). Однако не каждое конечное поле является кольцом вычетов, и не каждое кольцо вычетов по модулю натурального числа является полем. Кольцо является полем тогда и только тогда, когда — простое число[12]. Если же — составное число, то не все ненулевые элементы кольца обратимы. Например, — не поле, так как элемент в этом кольце не обратим. Тем не менее, существует поле, состоящее из четырёх элементов (см. ниже).
Характеризация конечных полей[править | править вики-текст]
Характеристика каждого конечного поля является простым числом. Пусть — конечное поле. Тогда оно состоит из элементов, где — характеристика поля , а натуральное число — степень поля над его простым подполем[2].
Согласно теореме о существовании и единственности конечных полей, для каждого простого числа и натурального числа существует конечное поле из элементов и любое конечное поле из элементов изоморфно полю разложения многочлена над полем . Данная теорема позволяет говорить о вполне определённом поле данного порядка (то есть о поле Галуа из элементов)[13].
Построение[править | править вики-текст]
Поле при n > 1 можно построить как факторкольцо , где — неприводимый многочлен степени n над полем . Таким образом, для построения поля из элементов достаточно отыскать многочлен степени , неприводимый над полем (такой многочлен всегда существует). Элементами поля являются классы вычетов многочленов степени меньшей с коэффициентами из по модулю главного идеала, порождённого многочленом .
Элемент является корнем многочлена и поле порождается этим элементом над полем , поэтому переход от поля к полю называется присоединением к полю корня неприводимого многочлена .[14][15]
b) идеалы
Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел». Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
Например, в кольцах вместо простых чисел изучаются простые идеалы, как обобщение взаимно простых чисел вводятся взаимно простые идеалы, можно доказать аналог китайской теоремы об остатках для идеалов.
В некотором важном классе колец (т. н. дедекиндовых) можно даже получить аналог основной теоремы арифметики: в этих кольцах каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов.
Определение[править | править вики-текст]
Для кольца идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из . При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из . Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Двусторонний идеал часто называется просто идеалом. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают и всегда применяется термин идеал.
Более точно: Идеалом кольца называется такое подкольцо кольца , что
1. произведение (условие на правые идеалы);
2. произведение (условие на левые идеалы).
Аналогично для полугруппы её идеалом называется подполугруппа, для которой верно какое-нибудь из этих условий (или оба для двустороннего идеала), то же самое и для алгебры.
Замечание[править | править вики-текст]
Для -алгебры (алгебры над кольцом ) идеал кольца может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры , так как это подкольцо необязательно будет подалгеброй, то есть ещё и подмодулем над . Например, если есть -алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы , а множество всех идеалов алгебры совпадает с множеством всех подпространств векторного -пространства . Однако в случае, когда — алгебра с единицей, оба эти понятия совпадают.
Связанные определения[править | править вики-текст]
•Для любого кольца само и нулевой идеал являются идеалами (двусторонними). Такие идеалы называются тривиальными. Собственные идеалы — это идеалы, образующие собственное подмножество, то есть не совпадающие со всем [1][2]
•Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеал или решётку идеалов. Например:
•Кольцо, не имеющее нетривиальных двусторонних идеалов, называется простым.
•Кольцо, не имеющее нетривиальных идеалов (не обязательно двусторонних), является телом. См. также: кольцо главных идеалов, артиново кольцо, нётерово кольцо.
•С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологическое пространство — спектр кольца, точками которого являются все простые идеалы кольца , отличные от , а замкнутые множества определяются как множества простых идеалов, содержащих какое-то множество элементов кольца (или, что то же, идеал , порождённый этим множеством). Эта топология называется топологией Зарисского.
•Понятие идеала тесно связано с понятием модуля. Идеал (правый или левый) можно определять как подмодуль кольца, рассмотренного как правый или левый модуль над собой.
Свойства[править | править вики-текст]
•Левые идеалы в R являются правыми идеалами в т. н. противоположном кольце — кольце с теми же элементами и тем же сложением, что и данное, но с умножением определенным , и наоборот.
•Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах:
•Для всякого гомоморфизма ядром является идеал, и обратно, всякий идеал — ядро некоторого гомоморфизма.
•Более того, идеал однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является: изоморфен факторкольцу (факторалгебре) .
•В кольце целых чисел все идеалы главные и имеют вид , где .
•Пересечение идеалов также является идеалом (часто, особенно в коммутативной алгебре, пересечение называется наименьшим общим кратным).
Типы идеалов[править | править вики-текст]
•Главный идеал: Идеал, порожденный одним элементом.
•Конечнопорождённый идеал
•Минимальный идеал
•Максимальный идеал: Собственный идеал I называется максимальным, если не существует собственный идеал J такой, что I — собственное подмножество J. Факторкольцо по максимальному идеалу является полем.
•Модулярный идеал
•Нильпотентный идеал
•Первичный идеал
•Примарный идеал
•Простой идеал
•Радикальный идеал: Идеал, совпадающий со своим радикалом.
Основные конструкции[править | править вики-текст]
•Главные идеалы. Если p принадлежит R, a k любое целое число то — будет минимальным правым идеалом, содержащим p, а — минимальным левым идеалом в R. Они называются, соответственно, главными правым и левым идеалом, порожденными p. В коммутативном случае эти идеалы совпадают и обозначаются также (p). Если кольцо R содержит единичный элемент, то так как , главные идеалы, порождённые a можно записать и соответственно. Всякий идеал, содержащий элемент p, содержит и главный идеал, им порождённый.
•Идеал, порождённый множеством элементов. Пересечение произвольного семейства левых идеалов кольца R — левый идеал кольца R. Поэтому для всякого подмножества M кольца R существует минимальный левый идеал, его содержащий, а именно — пересечение всех левых идеалов, содержащих множество M. (То же верно для правых и двусторонних идеалов.) Для кольца R с единичным элементом минимальный левый идеал представляет собой множество конечных сумм вида , минимальный правый идеал — множество конечных сумм вида , минимальный двусторонний идеал — множество конечных сумм вида , где mi — произвольные элементы множества M, а ri,r'i — произвольные элементы кольца R. Если кольцо не содержит единицы то минимальный левый идеал будет иметь вид , минимальный правый , минимальный двусторонний , где все — любые целые числа. Эти идеалы называются порождёнными множеством M. В коммутативном случае все они совпадают и обозначаются так: (M). Идеалы, порождённые конечным множеством, называются конечнопорождёнными.
•Сумма идеалов. Если в кольце R задано произвольное семейство идеалов , их суммой называется минимальный идеал, который их всех содержит. Он порождён объединением этих идеалов, и его элементами являются любые конечные суммы элементов из их объединения. (Само объединение идеалов обычно идеалом не является.) Относительно суммы все (левые, правые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют решётку. Каждый идеал является суммой главных идеалов. Часто, особенно в коммутативной алгебре, сумма называется наибольшим общим делителем).
•Пересечение идеалов (как пересечение множеств) всегда является идеалом. С другой стороны, объединение двух идеалов является идеалом только тогда, когда один из них — подмножество другого. Действительно, пусть и — два (левых) идеала, ни один из которых не является подмножеством другого, и является левым идеалом. В этом случае, очевидно, — наименьший идеал, содержащий и , то есть . Существует элемент . Тогда для любого , так как в этом случае , следовательно, и , поэтому — противоречие.
•Произведение идеалов. Произведением идеалов I и J называется идеал IJ, порождённый всеми произведениями ab, где a — элемент идеала I, b — элемент идеала J. Бесконечное произведение идеалов неопределено.
•Частное идеалов. В коммутативном кольце для идеала I, отличного от нуля, и идеала J определёно их частное — идеал . Этот идеал называется аннулятором идеала I в случае, когда J=(0), .
•Радикал идеала I — это множество . Оно тоже является идеалом кольца A, если только кольцо A коммутативно. В случае, когда I=(0), этот идеал называется нильрадикалом кольца A. Его элементами являются все нильпотентные элементы кольца. Если коммутативное кольцо не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля, (имеет нулевой нильрадикал), — оно называется радикальным. Идеал I называется радикальным, если он совпадает со своим радикалом. В этом случае факторкольцо R/I не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля.
•Индуктивный предел. Если задано семейство (цепочка) идеалов , занумерованное линейно упорядоченным множеством A, так что для любых индексов из A идеал содержится в идеале , тогда их объединение является идеалом — индуктивным пределом данной цепочки идеалов. Этот идеал также совпадает с суммой всех идеалов из цепочки. Тот факт, что индуктивный предел всегда существует, означает, что множество всех идеалов кольца R индуктивно упорядочено, и к нему применима лемма Цорна. Она часто используется для построения максимальных идеалов с какими-то дополнительными свойствами (см. максимальный идеал, простой идеал, кольцо главных идеалов).
•Образ идеала при гомоморфизме. Обычно образ идеала при гомоморфизме НЕ является идеалом, однако если гомоморфизм сюръективен, то тогда является. В частности, так как гомоморфизм факторизации всегда сюръективен, при факторизации каждый идеал переходит в идеал.
•Прообраз идеала при гомоморфизме. Если — гомоморфизм колец, его ядро является двусторонним идеалом. Более общо, если I — произвольный идеал в кольце B, его полный прообраз является идеалом (левым, правым или двусторонним, в зависимости от того, каков идеал I).
•Гомоморфизм факторизации по идеалу. Если I — двусторонний идеал в кольце R, по нему можно определить отношение эквивалентности на R по правилу: x ~ y тогда и только тогда, когда разность x-y принадлежит I. Проверяется, что если в сумме или произведении один из операндов заменить на эквивалентный, новый результат будет эквивалентен исходному. Таким образом операции сложения и умножения становятся определенными на множестве R/I классов эквивалентности, превращая его в кольцо (коммутативность и наличие единицы переносятся с кольца R, если они есть). Одновременно с этим кольцом определён гомоморфизм факторизации (канонический гомоморфизм) , который каждому элементу a из R ставит в соответствие класс эквивалентности, в котором он содержится. Класс эквивалентности элемента a есть множество элементов вида a+i по всем i из идеала I, поэтому он обозначается a + I, но иногда используется и общее обозначение для класса эквивалентности [a]. Поэтому . Кольцо R/I при этом называется факторкольцом кольца R по идеалу I.
С) Максимальным идеалом коммутативного кольца называется всякий собственный идеал кольца, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале.
Свойства[править | править вики-текст]
•Множество всех идеалов кольца индуктивно упорядочено по отношению включения, поэтому (Лемма Цорна) во всяком кольце максимальные идеалы существуют, более того, для всякого собственного идеала I кольца R существует максимальный идеал кольца R, который его содержит.
•(Считаем далее, речь идёт о кольцах с единицей.)
Если элемент a кольца R не обратим, тогда все элементы кольца, кратные ему, образуют собственный идеал. Поэтому каждый необратимый элемент кольца содержится в некотором максимальном идеале. Если элемент a обратим, всякий идеал, который его содержит, совпадает со всем кольцом, поэтому обратимые элементы не содержатся ни в каком собственном идеале, соответственно и ни в каком максимальном.
•Если все необратимые элементы кольца R образуют идеал, он является максимальным, и притом единственным - других максимальных идеалов в кольце R нет. (Верно и обратное: если в кольце R максимальный идеал единствен, он включает в себя все необратимые элементы кольца.) В этом случае кольцо R называется локальным кольцом.
•Характеристическое свойство максимального идеала: идеал кольца максимален, тогда и только тогда, когда факторкольцо является полем (в нём каждый элемент обратим).
•Если кольцо R имеет структуру банаховой алгебры над полем комплексных чисел С, факторкольцо по максимальному идеалу R/I изоморфно C. В этом случае идеал I определяет гомоморфизм кольца R в поле C, ядром которого является идеал I.
Для каждого a существует единственное число , такое что (e - единица алгебры R). Соответствие и есть тот самый гомоморфизм.
•Из характеристического свойства следует, что всякий максимальный идеал является простым.
Примеры[править | править вики-текст]
•В кольце целых чисел Z максимальными идеалами являются все простые идеалы: если p - простое число, тогда идеал (p)=pZ максимален. Например, чётные числа образуют максимальный идеал, а числа, кратные 4 - образуют идеал, но не максимальный - этот идеал содержится в идеале чётных чисел.
•В кольце многочленов k[X,Y], где k - алгебраически замкнутое поле, максимальные идеалы имеют вид .
•Кольцо степенных рядов над полем k - локальное кольцо. Необратимые элементы - те, которые не содержат свободного члена. Они образуют идеал. Он - единственный максимальный идеал в этом кольце.
28. Ақырлы өрістердің бар болуы және жалғыздығы
а) қарапайым өріс үстіндегі екімүше
б) осы екімүшенің түбірлер саны
в) ақырлы өрістің элементтер саны
г) бар болу және жалғыздық теоремасы 
 
Существование и единстенность коечных полей 
а) двухчлен над простым коечным полем 
б) количество элементов конечных полей 
в) теорема существование и единственности 
(30 балл)
Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов. Число элементов в поле называется его поря́дком.
Конечное поле обычно обозначается F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} или G F ( q ) {\displaystyle \mathrm {GF} (q)} (сокращение от Galois field) и называется полем Галуа порядка q {\displaystyle q} [1], где q {\displaystyle q}  — число элементов поля. С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является степенью какого-нибудь простого числа, то есть q = p n {\displaystyle q=p^{n}} , где p {\displaystyle p}  — простое число, а n {\displaystyle n}  — любое натуральное число. При этом p {\displaystyle p}   будет являться характеристикой этого поля[2].
Понятие конечного поля используется в теории чисел[3], теории групп[3], алгебраической геометрии[3], криптографииПоле с простым числом элементов и связь с кольцами вычетов[править | править вики-текст]
Наиболее известный пример конечного поля — поле классов вычетов по модулю простого числа P p {\displaystyle p} , обозначаемое Z / ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(p)} [10]. Это поле можно представить следующим образом. Для простого числа p {\displaystyle p} элементами поля будут числа { 0 , 1 , . . . , p − 1 } {\displaystyle \{0,1,...,p-1\}} . Сложение и умножение определены как сложение и умножение чисел с приведением результата по модулю p {\displaystyle p} [11]. Ниже приведены примеры таких полей с двумя элементами и тремя элементами.
Любое поле простого порядка может быть представлено кольцом вычетов (т.е. любое поле из p {\displaystyle p} элементов изоморфно полю Z / ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(p)} ). Однако не каждое конечное поле является кольцом вычетов, и не каждое кольцо вычетов по модулю натурального числа n {\displaystyle n} является полем. Кольцо Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} является полем тогда и только тогда, когда n {\displaystyle n}  — простое число[12]. Если же n {\displaystyle n}  — составное число, то не все ненулевые элементы кольца Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} обратимы. Например, Z / ( 4 ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(4)}  — не поле, так как элемент 2 2 {\displaystyle 2} в этом кольце не обратим. Тем не менее, существует поле, состоящее из четырёх элементов (см. ниже).
29. Ақырлы өрістің реттелмегендігі
А)акырлы өріс аксиомалары
Б)реттік қатынас
В)реттелген өріс
F – өріс |F| => ∞
1 ϵ F 1, 2, 3….n ϵ F
m = 1+1+1+…+1=0
|
m құрама болуы мүмкін емес. Себебі,
m = m1 * m2 => m1 ≠ 0, m2 ≠ 0
m1 * m2 = m = 0 =>m2 = 0 қайшылық енгіземіз m – жай сан
m саны өрістің сипаттамасы деп аталады және ол жай сан болады. Сондықтан Zp ϵ F. ішкі өріс. F, Zp – өрістің үстінде векторлық кеңістікте болады.
|F|< ∞ => lim F < ∞
∀ ∞ F => x = 2x1+d2x2+…. +dnxn
d1 , d2 , …. dn ϵ Zp = { 0, 1, 2, … p-1}
|F| = pn
Zp = { 1, 2, 3, … p-1}
f(x) = xp-1 – x ϵ Z [x]
Көпмүше аламыз
P’(x) = pn * pn-1 – 1 = -1
EOБ (f, f’) = -1
f пен f’ ортақ түбірлері жоқ.
V(f) = { d|f(d)| = 0}
|V(f)| = pn
V(f) – өріс құрайды
F(d) = 0 = f(b) =>dpn =d
bpn=b => (db)pn = dpn * bpn = d*b = F(d*b)=0=> d*b - түбір
(d+b)p = dp + bp
P
(d+b)p = Σ = (pk) dk – bp-k
k=0
(pk) = p!/k!(p-k)! = 0 d<k-p
(d+b)p = dp + bp
(d+b)pn = ((d+b)p) pn-1 = (dp + bp) pn-1 = (d p) pn-1 + (b p) pn-1 = dpn + bpn = d+b
(d-1)pn = (dpn)-1 =d-1 =>f(d-1) = 0
(-d)pn = (-1)pn * dpn = -dpn => f(-d) = 0
(d+b)p= dp + bn
(d+b)p = ((d+b)pn-1)p = (dpn-1)p + (bpn-1)p = dpn + bpn = d+b =>0
(d-1)pn = (dpn)-1 = d-1 => f(d-1) = 0
(-d)pn = (-1)pn * dpn = -dpn => f(-d) = 0
(V(f), +, *, 0, 1, -, :) – өріс
30. Алгебралық сан.
Алгебралық сан — барлығы бірдей HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D3%A9%D0%BB" \o "Нөл" нөлге тең болмайтын HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB&action=edit&redlink=1" \o "Рационал (мұндай бет жоқ)" рационал коэффициентті бар көпмүшесінің түбірі болып табылатын HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81_%D1%81%D0%B0%D0%BD" \o "Комплекс сан" комплекс сан (дербес жағдайда HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D2%9B%D1%82%D1%8B_%D1%81%D0%B0%D0%BD" \o "Нақты сан" нақты сан). Егер — Алгебралық сан болса, онда түбірі болатын рационал коэффициенті бар барлық көпмүшенің ішінде бас (жоғарғы) коэффициенті 1-ге тең ең кіші HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D3%99%D1%80%D0%B5%D0%B6%D0%B5" \o "Дәреже" дәрежелі жалғыз ғана көпмүше табылады. Ол келтірілмейтін көпмүше әрі Алгебралық санының HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D1%8B%D2%9B_%D0%BA%D3%A9%D0%BF%D0%BC%D2%AF%D1%88%D0%B5&action=edit&redlink=1" \o "Канондық көпмүше (мұндай бет жоқ)" канондық көпмүшесі деп аталады. Канондық көпмүшенің n дәрежесі Алгебралық санының дәрежесі деп, ал көпмүшенің басқа түбірлері Алгебралық санына түйіндес сандар деп аталады. 1872 жылы неміс математигі HYPERLINK "https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80" \o "Георг Кантор" Г.Кантор (1845 — 1918) барлық Алгебралық сандар жиыны санақты болатындығын дәлелдеді. Кейін алгебралық емес яғни трансцендент сандардың бар екендігі анықталды. Барлық Алгебралық сандар жиыны өріс құрайды. Мұндай өріс — алгебралық тұйықталған өріс. Басқаша айтқанда, алгебралық коэффициенті бар көпмүшенің түбірі Алгебралық сан болып есептеледі. Канондық көпмүшесінің барлық коэффициенті бүтін рационал сан болып келетін Алгебралық санды бүтін Алгебралық сан деп атайды. Бүтін Алгебралық сандар сақина түзеді. Мұның үстіне бүтін алгебралық коэффициенттері бар әрі бас коэффициенті 1-ге тең көпмүшенің түбірі бүтін Алгебралық сан болады. Алгебралық сан ұғымы сандар теориясында екі үлкен бағытпен тығыз байланысты. Оның бірі — Алгебралық сандар арифметикасы (сандардың бөлінгіштік қасиеттерін және олардың бүтін Алгебралық сандар сақинасында жай көбейткіштерге жіктелу мәселелерін зерттейді). Ал екіншісі — Алгебралық сандардың жуықтау теориясы (Алгебралық сандардың рационал сандар арқылы жуықтау дәрежесін зерттейді).

31) Квадратты сызықты теңдеулер жүйесі
квадратная СЛАУ
Определение системы уравнений
Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.
Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Решение систеы уравнений
Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, ..., kn), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2, ..., xn дает верное числовое равенство.
Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.
Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:
Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.
Возможное количество решений
- Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»);
– Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы;
– Решение системы по формулам Крамера;
– Решение системы с помощью обратной матрицы;
– Решение системы методом Гаусса.
3) Центр кольцо матриц
а) скалярные матрицы
Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.
Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной

б) центр
32. Анықтауыштың қасиеттері:
А)
1. жолдарды қатарларға ауыстырғанда анықтауыш өзгермейді, яғни транспозициялған матрицаның анықтауышы берілген матрицаның анықтауышына тең.
2. Анықтауыштың екі жолын (қатарын) орнымен ауыстыру оны (-1)-ге көбейтуге теңбе-тең.
3. Егерде анықтауыш екі бірдей жолға (қатарға) ие болса, онда ол нольге тең.
4. Егерде жол (қатар) элементтерінің жалпы көбейткіші болса, онда көбейткішті анықтауыш белгісінің алдына қоюға болады.
5. Егерде бір жолдың (қатардың) сәйкес келетін элементтерін қоссақ, анықтауыш өзгермейді.
32.Аныктауыштар жане матрицаларАныктауыш жане матрица угымдары.
Сызыктык алгебра-биринши дарежели тендеулерди зерттейди.Мундай жуйелерди шешу ушин тендеулер саны белгисиздер санына тен болган жагдайга аныктауыштар теориясынын аппараты колдылады.Бул аппарат жуйедеги тендеулер саны, белгисиздер санына тен емес болса жармайды.Осы сиякты жагдайлар матрицалар теориясынын,ягни квадрат немесе тикбурыш кестелерде орналаскн сандар жиынтыгын пайдалану кажеттигин тугызды.
Матрицалрды еки олшед массивтер деп атайды.
N Белгисизи бар m сызыктык алгебралык тендеулер жуйеси келеси турде жазылады.
-8001032385a11 x+a12x2+…+a1xn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
… … … …
Am1x1+am2x2+..+amnxn=bmМундагы:
Жуйе белгисиздери;
Жуйе коэффиценттери;
Бос мушелер деп аталады.
Жуйе коэффиценттеринен тик бурышты кесте курауга болады.Ол кестени белгилеуге келеси символдардын бирин колданады.
Бул кестени m жане n баганнан туратын mxn олшемди матрица деп атайды.
n=m болса онда ол ретти квадратты матрица деп аталыды. A=
-800102540064389025400596265254000-1333525400176784025400115824025400A11…a1n a11…a1n
… … … … = … … … … = aij = (aij)
Am1…amn am1…amn Аныктауыштардын касиеттери.
Аныктауыш пен оны аудару аркылы алынган аныктауыш озара тен33. Блокты матрицаның анықтауышы.
№33 Блокты матрицалар анықтауышы
Блокты матрица
кососимметриялы,көпсызықты функция
Блокты матрица

Кососимметриялы ,көпсызықты функциялар

Блочная матрица
Блочная (клеточная) матрица — представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части — блоки (клетки):
A = [ A 11 A 12 ⋯ A 1 t A 21 A 22 ⋯ A 2 t ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A s 1 A s 2 ⋯ A s t ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1t}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2t}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{s1}&\mathbf {A} _{s2}&\cdots &\mathbf {A} _{st}\end{bmatrix}}} ,
где блок A s t {\displaystyle \mathbf {A} _{st}} имеет размер m α × n β {\displaystyle m_{\alpha }\times n_{\beta }} для α = 1 , 2 , … , s {\displaystyle \alpha =1,2,\dots ,s} и β = 1 , 2 , … , t {\displaystyle \beta =1,2,\dots ,t}
Читать на другом языкеКососимметричная матрица
Кососимметричная (кососимметрическая) матрица — квадратная матрица А над полем k характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению:
A T = − A , {\displaystyle A^{T}=-A,}
где A T {\displaystyle A^{T}} — транспонированная матрица.
Для n×n матрицы A это соотношение эквивалентно:
a i , j = − a j , i {\displaystyle a_{i,j}=-a_{j,i}} для всех i , j = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i,j=1,2,\dots ,n} ,
где a i , j {\displaystyle a_{i,j}} — элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы A.
34.Матрицалардың көбейтіндінің анықтауышы
1.2.3. Умножение матрицы на матрицу
Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя.
Пример.
Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата

Элемент ci,j матрицы – ответа принадлежащий i-ой строке и j-му столбцу, вычисляется как произведение i-ой строки первого сомножителя An,m на j-ый столбец второго сомножителя Bm,k. Так, например, при вычислении элемента умножается первая строка на третий столбец, а при вычислении элемента умножается третья строка на первый столбец.
Можно перемножать только те строки и столбцы, у которых одинаковое число элементов (смотри условие возможности умножения матриц). В результате получается число, равное сумме произведений соответствующих элементов (первый элемент строки на первый элемент столбца плюс второй элемент строки на второй элемент столбца и т. д. и, наконец, плюс произведение последних элементов).
Рассмотрим умножение матриц на примере :

где

Пример.
Отметим основные свойства операции произведения матриц.
1) В общем случае . Если то матрицы А и В называются перестановочными по отношению друг к другу.
2)
3)
4) При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется
35. Транспозицияланған матрица
Транспонированная матрица — матрица A T {\displaystyle A^{T}} , полученная из исходной матрицы A {\displaystyle A} заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы A {\displaystyle A} размеров m × n {\displaystyle m\times n}  — матрица A T {\displaystyle A^{T}} размеров n × m {\displaystyle n\times m} , определённая как A i j T = A j i {\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}} .
Например,
[ 1 2 3 4 ] T = [ 1 3 2 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}     и      [ 1 2 3 4 5 6 ] T = [ 1 3 5 2 4 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}
То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

( A T ) T = A {\displaystyle (A^{T})^{T}=A}Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

( A + B ) T = A T + B T {\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

( A B ) T = B T A T {\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

( λ A ) T = λ A T {\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}При транспонировании можно выносить скаляр.

det A = det A T {\displaystyle \det A=\det A^{T}} Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
36 Минор және алгебралық толықтауыш
a)Матрица элементінің миноры
b)Матрица элементінің алгебралық толықтауышы
a) Минор матрицы ― определитель такой квадратной матрицы порядка (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .
Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые строк и первые столбцов ― угловым или ведущим главным.
Дополнительный минор элемента матрицы -го порядка есть определитель порядка , соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путём вычеркивания -й строки и -го столбца.
Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.
b) Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число
,
где — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.
Свойства[править | править вики-текст]
Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой:
Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу). Определитель матрицы может быть представлен в виде суммы

Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение:
Лемма о фальшивом разложении определителя. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть при и .
С) (союзная, взаимная, присоединённая) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, так как понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

Исходная матрица:

Где:
• — присоединённая(союзная, взаимная) матрица;
• — алгебраические дополнения исходной матрицы;
• — элементы исходной матрицы.
37.Анықтауышты жіктеу
а) алгебралық толықтауыш
б) анықтауышты қатар бойынша жіктеу
в) анықтауышты баған бойынша жіктеу 
Разложение определителя 
а) алгебрическое дополнение 
б) разложение определителя по стракам матрицы 
в) разложение определителя по столбцам матрицы 
(35 балл)






38
Одақтас матрица
а) алгебралық толықтауыштарб) матрицаға одақтас матрицаларв) скаляр матрицалар 
 
Союзная матрица 
а) алгебрические дополнения 
б) союзная матрица к данной матрице 
в) скалярная матрица 
(35 балл)


39) Кері матрица
А)

Б)

В)



40.КРАМЕР ережесі



Приложенные файлы

  • docx 19078758
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий