Lektsia 7 Lokal f-la Teylora Teoremy o srednem












Ответы:

Теоремы о среднем.
Теорема Ролля.
(Ролль (1652-1719)- французский математик)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка (, a < ( < b, в которой производная функция f(x) равная нулю, f((() = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка ( такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M ( m.

Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за ( можно принять любую точку интервала.

Пусть М = m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим (, a < ( < b точку, в которой f(() = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для любого (х ( будем считать, что точка ( + (х находится внутри рассматриваемого интервала) верно неравенство:
(f(() = f(( + (x) – f(() ( 0

При этом 13 EMBED Equation.3 1415
Но так как по условию производная в точке ( существует, то существует и предел 13 EMBED Equation.3 1415.
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то можно сделать вывод:
13 EMBED Equation.3 1415

Теорема доказана.

Теорема Ролля имеет несколько следствий:

Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем f(a) = f(b) = 0, то существует по крайней мере одна точка (, a < ( < b, такая, что f((() = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n-1)- го порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала, в котором производная (n – 1) – го порядка равна нулю.


Теорема Лагранжа.
(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка (
a < ( < b, такая, что 13 EMBED Equation.3 1415

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Отношение13 EMBED Equation.3 1415 равно угловому коэффициенту секущей АВ.
у



В


А

0 а ( b x
Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка ( такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию
F(x) = f(x) – yсек АВ
Уравнение секущей АВ можно записать в виде:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка (, a < ( < b, такая что F((() = 0.

Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно

13 EMBED Equation.3 1415
Теорема доказана.

Определение. Выражение 13 EMBED Equation.3 1415 называется формулой

Лагранжа или формулой конечных приращений.
В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.
Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 0 < ( < 1, (x = b – a, (y = f(b) – f(a).


Теорема Коши.
( Коши (1789-1857)- французский математик)
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g((x) ( 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка (, a < ( < b, такая, что
13 EMBED Equation.3 1415.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке (.

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка ( для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
13 EMBED Equation.3 1415,
которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка (,
a < ( < b, такая, что F((() = 0. Т.к.
13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415

А т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема доказана.

Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.
Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя.
(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
13 EMBED Equation.3 1415

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g((x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х(а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
13 EMBED Equation.3 1415

Доказательство. Применив формулу Коши, получим:
13 EMBED Equation.3 1415

где ( - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:
13 EMBED Equation.3 1415

Пусть при х(а отношение 13 EMBED Equation.3 1415 стремится к некоторому пределу. Т.к. точка ( лежит между точками а и х, то при х(а получим ((а, а следовательно и отношение 13 EMBED Equation.3 1415 стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:
13 EMBED Equation.3 1415.

Теорема доказана.

Пример: Найти предел 13 EMBED Equation.3 1415.

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f((x) = 2x + 13 EMBED Equation.3 1415; g((x) = ex;
13 EMBED Equation.3 1415;

Пример: Найти предел 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Пример: Найти предел 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Пример: Найти предел 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 - применяем правило Лопиталя еще раз.

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;

Неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415 можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида 13 EMBED Equation.3 1415, f(x)>0 вблизи точки а при х(а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции ln(y) = g(x)*lnf(x).

Пример: Найти предел 13 EMBED Equation.3 1415.

Здесь y = xx, ln(y) = x*ln(x).
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415

Пример: Найти предел 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415- получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;









13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115




Рисунок 2Рисунок 5Рисунок 6Рисунок 7Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 18536925
    Размер файла: 338 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий