ege18-otrezki

18 (повышенный уровень, время – 3 мин)
Тема: Основные понятия математической логики.
Про обозначения
К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике ((,(,¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает ( и (. Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение). В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек ((, (,¬), что еще раз подчеркивает проблему. Далее во всех решениях приводятся два варианта записи.
Что нужно знать:
условные обозначения логических операций
¬ A, 13 EMBED Equation.3 1415 не A (отрицание, инверсия)
A ( B, 13 EMBED Equation.3 1415 A и B (логическое умножение, конъюнкция)
A ( B, 13 EMBED Equation.3 1415 A или B (логическое сложение, дизъюнкция)
A B импликация (следование)
таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация» (см. презентацию «Логика»)
операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
A B = ¬ A ( B или в других обозначениях A B = 13 EMBED Equation.3 1415
если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»
иногда полезны формулы де Моргана:
¬ (A ( B) = ¬ A ( ¬ B 13 EMBED Equation.3 1415
¬ (A ( B) = ¬ A ( ¬ B 13 EMBED Equation.3 1415
Пример задания:
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
(x
·
·{2, 4, 6, 8, 10, 12}) (((x
·
·{4, 8, 12, 116}) /\ ¬(x
·
·A)) ¬(x
·
·{2, 4, 6, 8, 10, 12}))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.
Решение:
Заметим, что в задаче, кроме множества A, используются еще два множества:
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Q = {4, 8, 12, 116}
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q
перейдем к более простым обозначениям
13 EMBED Equation.3 1415
раскрываем обе импликации по формуле 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
теперь используем закон де Моргана 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
поскольку это выражение должно быть равно 1, то A должно быть истинным везде, где ложно 13 EMBED Equation.3 1415
тогда минимальное допустимое множество A – это 13 EMBED Equation.3 1415 (по закону де Моргана)
переходим ко множествам
13 EMBED Equation.3 1415– все натуральные числа, кроме {4, 8, 12, 116}
13 EMBED Equation.3 1415– все натуральные числа, кроме {2, 4, 6, 8, 10, 12}
тогда 13 EMBED Equation.3 1415– это все натуральные числа, которые входят одновременно в 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415; они выделены жёлтым цветом: {4, 8, 12}
именно эти числа и должны быть «перекрыть» множеством Аmin, поэтому минимальный состав множества A – это Аmin = {4, 8, 12}, сумма этих чисел равна 24
Ответ: 24.
Пример задания:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула
13 EMBED Equation.3 1415
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Решение:
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q
перейдем к более простым обозначениям
13 EMBED Equation.3 1415
раскрываем обе импликации по формуле 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
теперь используем закон де Моргана 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
в таком виде выражение уже смотрится совсем не страшно; Сразу видно, что отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 должен перекрыть область на числовой оси, которая не входит в область 13 EMBED Equation.3 1415:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
по рисунку видно, что не перекрыт только отрезок [40;60] (он выделен жёлтым цветом), его длина – 20, это и есть правильный ответ.
Ответ: 20.
Ещё пример задания:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,39] и Q = [23, 58]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение
((x ( P) ( (x ( A) ) ((x ( Q) ( (x ( A) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [5, 20] 2) [15, 35] 3) [25, 45] 4) [5, 65]
Решение:
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q
перейдем к более простым обозначениям
P (A Q (A
раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ (13 EMBED Equation.3 1415):
13 EMBED Equation.3 1415
раскроем инверсию первого слагаемого по закону де Моргана (13 EMBED Equation.3 1415):
13 EMBED Equation.3 1415
теперь применим закон поглощения
13 EMBED Equation.3 1415
к последним двум слагаемым:
13 EMBED Equation.3 1415
для того, чтобы выражение было истинно при всех x, нужно, чтобы 13 EMBED Equation.3 1415 было истинно там, где ложно 13 EMBED Equation.3 1415, то есть там, где истинно 13 EMBED Equation.3 1415 (жёлтая область на рисунке)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
таким образом, A должно быть ложно на отрезке [10,23], такое отрезок в предложенном наборе один – это отрезок [25, 45]
Ответ: 3.
Ещё пример задания:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,30] и Q = [25, 55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула
( x ( A) ((x ( P) ( (x ( Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) 10 2) 20 3) 30 4) 45
Решение:
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q
перейдем к более простым обозначениям
A (P + Q)
раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ (13 EMBED Equation.3 1415):
13 EMBED Equation.3 1415
для того, чтобы выражение было истинно при всех x, нужно, чтобы 13 EMBED Equation.3 1415 было истинно там, где ложно 13 EMBED Equation.3 1415 (жёлтая область на рисунке)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
поэтому максимальный отрезок, где A может быть истинно (и, соответственно, 13 EMBED Equation.3 1415 ложно) – это отрезок [10,55], имеющий длину 45
Ответ: 4.
Ещё пример задания:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,20] и Q = [25, 55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула
( x ( A) ((x ( P) ( (x ( Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) 10 2) 20 3) 30 4) 45
Решение:
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q
перейдем к более простым обозначениям
A (P + Q)
раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ (13 EMBED Equation.3 1415):
13 EMBED Equation.3 1415
для того, чтобы выражение было истинно при всех x, нужно, чтобы 13 EMBED Equation.3 1415 было истинно там, где ложно 13 EMBED Equation.3 1415 (жёлтая область на рисунке)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
поскольку области истинности 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 разделены, максимальный отрезок, где A может быть истинно (и, соответственно, 13 EMBED Equation.3 1415 ложно) – это наибольший из отрезков 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то есть отрезок [25,55], имеющий длину 30
Ответ: 3.
Ещё пример задания:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [14,34] и Q = [24, 44]. Выберите такой отрезок A, что формула
( x ( A) ((x ( P) ( (x ( Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.
1) [15, 29] 2) [25, 29] 3) [35,39] 4) [49,55]
Решение:
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q
перейдем к более простым обозначениям
A (P ( Q)
выражение R = (P ( Q) истинно для всех значений x, при которых P и Q равны (либо оба ложны, либо оба истинны)
нарисуем область истинности выражения R = (P ( Q) на числовой оси (жёлтые области)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
импликация A R истинна за исключением случая, когда A=1 и R=0, поэтому на полуотрезках [14,24[ и ]34,44], где R=0, выражение A должно быть обязательно ложно; никаких других ограничений не накладывается
из предложенных ответов этому условия соответствуют отрезки [25,29] и [49,55]; по условию из них нужно выбрать самый длинный
отрезок [25,29] имеет длину 4, а отрезок [49,55] – длину 6, поэтому выбираем отрезок [49, 55]
Ответ: 4.
Ещё пример задания:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [10, 60]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( А) ) /\ ( (x ( A) (x ( Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.
1) [5, 40] 2) [15, 54] 3) [30,58] 4) [5, 70]
Решение:
в этом выражении две импликации связаны с помощью операции И (конъюнкции), поэтому для истинности всего выражения обе импликации должны быть истинными
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q
перейдем к более простым обозначениям в обоих условиях
(P A) /\ (A Q)
и выразим импликацию через операции ИЛИ и НЕ:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно быть истинно на всей числовой оси; обозначим область, которую перекрывает выражение13 EMBED Equation.3 1415 – это две полуоси
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
отсюда следует, что отрезок A должен полностью перекрывать отрезок P; этому условию удовлетворяют варианты ответов 2 и 4
выражение 13 EMBED Equation.3 1415 тоже должно быть истинно на всей числовой оси; выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно перекрывать все, кроме отрезка, который перекрывает выражение13 EMBED Equation.3 1415:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
поэтому начало отрезка 13 EMBED Equation.3 1415должно быть внутри отрезка [10,20], а его конец – внутри отрезка [50,60]
этим условиям удовлетворяет только вариант 2.
Ответ: 2.
Ещё пример задания:
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [35, 55] и Q = [45, 65]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниже формулы истинны при любом значении переменной х:
(x ( P) (x ( A)
(( (x ( А)) (((x ( Q))
Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.
1) [40,50] 2) [30,60] 3) [30,70] 4) [40, 100]
Решение:
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q
перейдем к более простым обозначениям в первом условии P A и выразим импликацию через операции ИЛИ и НЕ: 13 EMBED Equation.3 1415
выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно быть истинно на всей числовой оси; обозначим область, которую перекрывает выражение13 EMBED Equation.3 1415 - это две полуоси
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
отсюда следует, что отрезок A должен полностью перекрывать отрезок P; этому условию удовлетворяют варианты ответов 2 и 3
аналогично разбираем и преобразуем второе выражение
13 EMBED Equation.3 1415
и находим, что для того, чтобы обеспечить истинность второго выражения на всей оси отрезок A должен полностью перекрыть отрезок Q; этому условию удовлетворяют варианты ответов 3 и 4
объединяя результаты п. 5 и 7, получаем, что условию задачи соответствует только отрезок 3.
Ответ: 3.
Ещё пример задания:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ (x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [0, 3] 2) [3, 11] 3) [11, 15] 4)[15, 17]
Решение:
два условия связаны с помощью операции \/ («ИЛИ»), поэтому должно выполняться хотя бы одно из них
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q
тогда получаем, переходя к более простым обозначениям:
Z = (AP) + Q
представим импликацию A P через операции «ИЛИ» и «НЕ»: 13 EMBED Equation.3 1415, так что получаем13 EMBED Equation.3 1415
это значит, что для тождественной истинности выражения Z нужно, чтобы для любого x было выполнено одно из условий: 13 EMBED Equation.3 1415, P, Q; из всех этих выражений нам неизвестно только 13 EMBED Equation.3 1415
посмотрим, какие интервалы перекрываются условиями P и Q:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
видим, что отрезок [2,14] перекрыт, поэтому выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно перекрывать оставшуюся часть; таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415должно быть истинно на интервалах (– (,2) и (14,() и, соответственно, выражение A (без инверсии) может быть истинно только внутри отрезка [2,14]
из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2,14], это и есть правильный ответ
Ответ: 2.
Решение (вариант 2, А.Н. Евтеев):
пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения
полученное после преобразований выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно быть истинно при любом x
логическая сумма истинна во всех случаях кроме одного: если все слагаемые ложны, следовательно выражение 13 EMBED Equation.3 1415 ложно только когда A = 1, P = 0 и Q = 0
поэтому если область истинности A выйдет за пределы отрезка [2,14], где одновременно ложны P и Q, то 13 EMBED Equation.3 1415 будет ложно
это значит, что A может быть истинно только внутри отрезка [2,14]
из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2,14], это и есть правильный ответ
Ответ: 2.
Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):
пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения
если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков
эти точки (2,6,10 и 14) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415
x
P
Q
13 EMBED Equation.3 1415

x < 2
0
0
0

2 < x < 6
1
0
1

6 < x < 10
1
1
1

10 < x < 14
0
1
1

x > 14
0
0
0

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение
по условию выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно быть равно 1 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение 13 EMBED Equation.3 1415 (и соответствующее значение 13 EMBED Equation.3 1415) для каждого интервала:


x
P
Q
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

x < 2
0
0
0
1
0
1

2 < x < 6
1
0
1
любое
любое
1

6 < x < 10
1
1
1
любое
любое
1

10 < x < 14
0
1
1
любое
любое
1

x > 14
0
0
0
1
0
1

таким образом, значение13 EMBED Equation.3 1415должно быть равно 0 вне отрезка [2,14]; из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2)
Ответ: 2.
Ещё пример задания:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ (x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [0, 15] 2) [10, 25] 3) [2, 10] 4)[15, 20]
Решение (отрезки на оси):
два условия связаны с помощью операции \/ («ИЛИ»), поэтому должно выполняться хотя бы одно из них
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q
учтем, что в формуле используется знак ( («не принадлежит»), поэтому при переходе к более простым обозначениям получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
представим импликацию 13 EMBED Equation.3 1415 через операции «ИЛИ» и «НЕ»: 13 EMBED Equation.3 1415, так что получаем13 EMBED Equation.3 1415
это значит, что для тождественной истинности выражения Z нужно, чтобы для любого x было выполнено одно из условий: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, Q; из всех этих выражений нам неизвестно только 13 EMBED Equation.3 1415
посмотрим, какие интервалы перекрываются условиями 13 EMBED Equation.3 1415и Q; область 13 EMBED Equation.3 1415 состоит из двух участков числовой оси, которые не входят в отрезок [2,20], а область Q – это отрезок [15,25]:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
таким образом, область истинности выражения 13 EMBED Equation.3 1415 должна перекрывать оставшуюся часть – отрезок [2,15]
из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0,15] (вариант 1) полностью перекрывает отрезок [2,15], это и есть правильный ответ
Ответ: 1.
Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):
пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения
если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков
эти точки (2,15,20 и 25) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415
x
P
13 EMBED Equation.3 1415
Q
13 EMBED Equation.3 1415

x < 2
0
1
0
1

2 < x < 15
1
0
0
0

15 < x < 20
1
0
1
1

20 < x < 25
0
1
1
1

x > 25
0
1
0
1

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение
по условию выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно быть равно 1 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение 13 EMBED Equation.3 1415для каждого интервала:
x
P
13 EMBED Equation.3 1415
Q
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

x < 2
0
1
0
1
любое
1

2 < x < 15
1
0
0
0
1
1

15 < x < 20
1
0
1
1
любое
1

20 < x < 25
0
1
1
1
любое
1

x > 25
0
1
0
1
любое
1

таким образом, область истинности выражения 13 EMBED Equation.3 1415 должна перекрывать отрезок [2,15]
из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0,15] (вариант 1) полностью перекрывает отрезок [2,15], это и есть правильный ответ
Ответ: 1.
Ещё пример задания:
На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 25], Q = [15, 30] и R=[25,40]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( Q) (x ( R) ) /\ (x ( A) /\ (x ( P)
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
1) [0, 15] 2) [10, 40] 3) [25, 35] 4)[15, 25]
Решение (способ 1):
три условия связаны с помощью операции /\ (логическое «И»), поэтому для того, чтобы выражение было тождественно равно нулю, для каждого значения x по крайней мере одно из них должно был ложно
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q, R: x ( R
учтем, что в формуле дважды используется знак ( («не принадлежит»), поэтому при переходе к более простым обозначениям получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
представим импликацию 13 EMBED Equation.3 1415 через операции «ИЛИ» и «НЕ»: 13 EMBED Equation.3 1415, так что получаем13 EMBED Equation.3 1415
роль сомножителя A состоит в том, чтобы обнулить выражение везде, где произведение 13 EMBED Equation.3 1415 равно 1; поэтому для этих значений x выражение A должно быть равно нулю, а для остальных x его значение не играет роли
область истинности выражения 13 EMBED Equation.3 1415 по закону де Моргана совпадает с областью истинности выражения 13 EMBED Equation.3 1415, то есть это область вне общей части отрезков Q и R (она показана жёлтым цветом на рисунке):
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
теперь умножим это выражение на 13 EMBED Equation.3 1415 (ему соответствует область вне отрезка [10,25]), построив область 13 EMBED Equation.3 1415; эта область, где одновременно истинны 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, выделена фиолетовым цветом:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
как следует из п. 4, в фиолетовой области на предыдущем рисунке выражение A должно быть обязательно равно 0, и только внутри отрезка [10,30] может быть истинно
таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]
этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)
Ответ: 4.
Решение (способ 2, инверсия и преобразование):
пп. 1-4 такие же, как и в первом способе
выражение 13 EMBED Equation.3 1415 тождественно ложно тогда и только тогда, когда обратное ему, 13 EMBED Equation.3 1415, тождественно истинно; таким образом, если выполнить инверсию для 13 EMBED Equation.3 1415, мы сведём задачу к задаче из демо-варианта ЕГЭ-2013, разобранной выше
имеем, используя законы де Моргана:
13 EMBED Equation.3 1415
выражение 13 EMBED Equation.3 1415 истинно на общей части (пересечении) отрезков Q и R, то есть, на отрезке [25,30]
добавляя к этому диапазону отрезок P, получим отрезок [10,30], где истинно выражение 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
остальную часть числовой оси (при x меньше 10 и x больше 30) должно перекрыть выражение 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415 должно быть ложно вне отрезка [10,30]
таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]
этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)
Ответ: 4.
Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):
пп. 1-5 такие же, как и в первом способе решения
если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков
эти точки (10,15,25, 30 и 40) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415
x
P
13 EMBED Equation.3 1415
Q
13 EMBED Equation.3 1415
R
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

x < 10
0
1
0
1
0
1
1
1

10 < x < 15
1
0
0
1
0
1
1
0

15 < x < 25
1
0
1
0
0
1
1
0

25 < x < 30
0
1
1
0
1
0
0
0

30 < x < 40
0
1
0
1
1
0
1
1

x > 40
0
1
0
1
0
1
1
1

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение
по условию выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно быть равно 0 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение 13 EMBED Equation.3 1415для каждого интервала:
x
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

x < 10
1
0
0

10 < x < 15
0
любое
0

15 < x < 25
0
любое
0

25 < x < 30
0
любое
0

30 < x < 40
1
0
0

x > 40
1
0
0

таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]
этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)
Ответ: 4.
Ещё пример задания:
На числовой прямой даны три интервала: P = (5, 10), Q = [10, 20] и R = [25,40]. Выберите такой отрезок A, что выражения
(x ( A) (x ( P) и (x ( Q) (x ( R)
тождественно равны, то есть принимают одинаковые значения при любом значении переменной х.
1) [7, 20] 2) [2, 12] 3) [10,25] 4)[20, 30]
Решение (способ 1, отрезки на числовой прямой):
обратите внимание, что интервал P – это открытый интервал; это необходимо для того, чтобы можно было выполнить заданное условие в точках стыковки отрезков
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q, R: x ( R
перейдём к более простым обозначениям:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
выразим импликации через операции «ИЛИ» и «НЕ»:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
заметим, что неизвестная величина A входит только в выражение 13 EMBED Equation.3 1415
общая идея состоит в том, чтобы построить на числовой оси область истинности для полностью известного выражения 13 EMBED Equation.3 1415, а затем дополнить отрезок P до этой области; это «дополнение» будет соответствовать области 13 EMBED Equation.3 1415
построим область 13 EMBED Equation.3 1415 – объединение отрезка R и области вне отрезка Q:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
обратим внимание, что область 13 EMBED Equation.3 1415 (выделена жёлтым цветом) в данном случае совпадает с 13 EMBED Equation.3 1415
теперь рассмотрим область 13 EMBED Equation.3 1415 (выделена голубым цветом)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
чтобы область истинности выражения 13 EMBED Equation.3 1415 совпала с жёлтой областью, выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно «перекрыть» всю фиолетовую область (возможно, заходя в область 13 EMBED Equation.3 1415)
поэтому выражение 13 EMBED Equation.3 1415обязательно должно быть истинно на отрезке [10,20]; обязательно должно быть ложно на полуосях 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, а на отрезке [5,10] его значение может быть любым (там выполнение требований обеспечивает область 13 EMBED Equation.3 1415)
из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [7,20] (ответ 1)
Ответ: 1.
Решение (способ 2, таблицы истинности, Е.А. Смирнов):
пп. 1-6 такие же, как и в первом способе решения
если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков
эти точки (5, 10, 20, 25 и 40) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415
x
P
Q
13 EMBED Equation.3 1415
R
13 EMBED Equation.3 1415

x < 5
0
0
1
0
1

5 < x < 10
1
0
1
0
1

10 < x < 20
0
1
0
0
0

20 < x < 25
0
0
1
0
1

25 < x < 40
0
0
1
1
1

x > 40
0
0
1
0
1

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение
по условию выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно быть равно выражению 13 EMBED Equation.3 1415 при любых значениях x, отсюда можно найти, каким должно быть значение 13 EMBED Equation.3 1415 (и соответствующее значение 13 EMBED Equation.3 1415) для каждого интервала:



x
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
P
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

x < 5
1
1
0
1
0

5 < x < 10
1
1
1
любое
любое

10 < x < 20
0
0
0
0
1

20 < x < 25
1
1
0
1
0

25 < x < 40
1
1
0
1
0

x > 40
1
1
0
1
0

таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который перекрывает отрезок [10,20] и, возможно, заходит внутрь отрезка [5,10]
из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [7,20] (ответ 1)
Ответ: 1.
Ещё пример задания:
На числовой прямой даны три интервала: P = (10, 15), Q = [5, 20] и R = [15,25]. Выберите такой отрезок A, что выражения
(x ( A) (x ( P) и (x ( Q) (x ( R)
принимают различные значения при любых x.
1) [7, 20] 2) [2, 15] 3) [5,12] 4)[20, 25]
Решение (способ 1, отрезки на числовой прямой):
обратите внимание, что интервал P – это открытый интервал; это необходимо для того, чтобы можно было выполнить заданное условие в точках стыковки отрезков
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x ( А, P: x ( P, Q: x ( Q, R: x ( R
перейдём к более простым обозначениям:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
выразим импликации через операции «ИЛИ» и «НЕ»:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
заметим, что неизвестная величина A входит только в выражение 13 EMBED Equation.3 1415
общая идея состоит в том, чтобы построить на числовой оси область истинности для полностью известного выражения 13 EMBED Equation.3 1415, а затем дополнить отрезок P до «обратной» области, в которой выражение 13 EMBED Equation.3 1415 ложно; это «дополнение» будет соответствовать области 13 EMBED Equation.3 1415
построим область 13 EMBED Equation.3 1415 – объединение отрезка R и области вне отрезка Q:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
теперь рассмотрим область 13 EMBED Equation.3 1415 (выделена голубым цветом)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
чтобы выполнить заданное условие (противоположность значений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при любых x), область истинности выражения 13 EMBED Equation.3 1415 должна совпадать с областью, где выражение 13 EMBED Equation.3 1415 ложно; для этого выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно «перекрыть» всю фиолетовую область (возможно, заходя в область 13 EMBED Equation.3 1415), но не должно заходить в «жёлтую» область:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [5,12] (ответ 3)
Ответ: 3.
Решение (способ 2, таблицы истинности, Е.А. Смирнов):
пп. 1-6 такие же, как и в первом способе решения
если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков
эти точки (5, 10, 15, 20 и 25) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415
x
P
Q
13 EMBED Equation.3 1415
R
13 EMBED Equation.3 1415

x < 5
0
0
1
0


5 < x < 10
0
1
0
0


10 < x < 15
1
1
0
0


15 < x < 20
0
1
0
1


20 < x < 25
0
0
1
1


x > 25
0
0
1
0


для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение
по условию выражение 13 EMBED Equation.3 1415 должно быть НЕ равно выражению 13 EMBED Equation.3 1415 при любых значениях x, отсюда можно найти, каким должно быть значение 13 EMBED Equation.3 1415 для каждого интервала:
x
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
P
13 EMBED Equation.3 1415

x < 5
1
0
0
0

5 < x < 10
0
1
0
1

10 < x < 15
0
1
1
любое

15 < x < 20
1
0
0
0

20 < x < 25
1
0
0
0

x > 25
1
0
0
0

таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который перекрывает отрезок [5,10] и, возможно, заходит внутрь отрезка [10,15]
из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [5,12] (ответ 3)
Ответ: 3.
Ещё пример задания:
Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию: (первая буква согласная вторая буква согласная) /\ (предпоследняя буква гласная последняя буква гласная)?
1) КРИСТИНА 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ
Решение:
два условия связаны с помощью операции /\ («И»), поэтому должны выполняться одновременно
импликация ложна, если ее первая часть («посылка») истинна, а вторая («следствие») – ложна
первое условие «первая буква согласная вторая буква согласная» ложно тогда, когда первая буква согласная, а вторая – гласная, то есть для ответов 2 и 4
второе условие «предпоследняя буква гласная последняя буква гласная» ложно тогда, когда предпоследняя буква гласная, а последняя – согласная, то есть, для ответа 3
таким образом, для варианта 1 (КРИСТИНА) оба промежуточных условия и исходное условие в целом истинны
ответ: 1.
Ещё пример задания:
Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬((X > 2)(X > 3))?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Решение (вариант 1, прямая подстановка):
определим порядок действий: сначала вычисляются результаты отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть «большие» скобки), затем – отрицание (операция «НЕ») для выражения в больших скобках
выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1 обозначает истинное условие, 0 – ложное); сначала определяем результаты сравнения в двух внутренних скобках:
X
X > 2
X > 3
(X > 2)(X > 3)
¬((X > 2)(X > 3))

1
0
0



2
0
0



3
1
0



4
1
1



по таблице истинности операции «импликация» находим третий столбец (значение выражения в больших скобках), применив операцию «импликация» к значениям второго и третьего столбцов (в каждой строке):
X
X > 2
X > 3
(X > 2)(X > 3)
¬((X > 2)(X > 3))

1
0
0
1


2
0
0
1


3
1
0
0


4
1
1
1


значение выражения равно инверсии третьего столбца (меняем 1 на 0 и наоборот):
X
X > 2
X > 3
(X > 2)(X > 3)
¬((X > 2)(X > 3))

1
0
0
1
0

2
0
0
1
0

3
1
0
0
1

4
1
1
1
0

таким образом, ответ – 3.
Возможные ловушки и проблемы:
можно «забыть» отрицание (помните, что правильный ответ – всего один!)
можно перепутать порядок операций (скобки, «НЕ», «И», «ИЛИ», «импликация»)
нужно помнить таблицу истинности операции «импликация», которую очень любят составители тестов
этот метод проверяет только заданные числа и не дает общего решения, то есть не определяет все множество значений X, при которых выражение истинно

Решение (вариант 2, упрощение выражения):
обозначим простые высказывания буквами:
A = X > 2, B = X > 3
тогда можно записать все выражение в виде
¬(A B) или 13 EMBED Equation.3 1415
выразим импликацию через «ИЛИ» и «НЕ» (см. выше):
¬(A B)= ¬(¬A ( B) или 13 EMBED Equation.3 1415
раскрывая по формуле де Моргана операцию «НЕ» для всего выражения, получаем
¬(¬A ( B)= A ( ¬B или 13 EMBED Equation.3 1415
таким образом, данное выражение истинно только тогда, когда A истинно (X > 2), а B – ложно (X
· 3), то есть для всех X, таких что 2 < X
· 3
из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,
таким образом, ответ – 3.
Возможные проблемы:
нужно помнить законы логики (например, формулы де Моргана)
при использовании формул де Моргана нужно не забыть заменить «И» на «ИЛИ» и наоборот
нужно не забыть, что инверсией (отрицанием) для выражения X > 3 является X
· 3, а не X < 3


Решение (вариант 3, использование свойств импликации):
обозначим простые высказывания буквами:
A = X > 2, B = X > 3
тогда исходное выражение можно переписать в виде ¬(AB)=1 или AB=0
импликация AB ложна в одном единственном случае, когда A = 1 и B = 0; поэтому заданное выражение истинно для всех X, таких что X > 2 и X
· 3
из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,
таким образом, ответ – 3.
Выводы:
в данном случае, наверное, проще третий вариант решения, однако он основан на том, что импликация ложна только для одной комбинации исходных данных; не всегда этот прием применим
второй и третий варианты позволяют не только проверить заданные значения, но и получить общее решение – все множество X, для которых выражение истинно; это более красиво для человека, обладающего математическим складом ума.


Задачи для тренировки:
Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание
((X < 5)(X < 3)) ( ((X < 2)(X < 1))
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Для какого числа X истинно высказывание ((X > 3)((X < 3)) (X < 1)
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Для какого числа X истинно высказывание X > 1 ( ((X < 5)(X < 3))
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква имени гласная Четвертая буква имени согласная)?
1) ЕЛЕНА 2) ВАДИМ 3) АНТОН 4) ФЕДОР
Для какого символьного выражения неверно высказывание:
Первая буква гласная ¬ (Третья буква согласная)?
1)abedc 2)becde 3) babas 4) abcab
Для какого числа X истинно высказывание (X > 2)((X > 5)(X < 3)
1) 5 2) 2 3) 3 4) 4
Для какого из значений числа Z высказывание ((Z > 2)((Z > 4)) (Z > 3) будет ложным?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква имени согласная Третья буква имени гласная)?
1) ЮЛИЯ 2) ПЕТР 3) АЛЕКСЕЙ 4) КСЕНИЯ

Для какого из значений числа Y высказывание (Y < 5) ( ((Y > 1) (Y > 5)) будет истинным?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Для какого символьного выражения верно высказывание:
¬ (Первая буква согласная) ( ¬ (Вторая буква гласная)?
1) abcde 2) bcade 3) babas 4) cabab
Для какого имени истинно высказывание:
(Вторая буква гласная Первая буква гласная) ( Последняя буква согласная?
1) ИРИНА 2) МАКСИМ 3) МАРИЯ 4) СТЕПАН
Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква согласная Последняя буква гласная) ( Вторая буква согласная?
1) ИРИНА 2) СТЕПАН 3) МАРИНА 4) ИВАН
Для какого имени истинно высказывание:
(Первая буква согласная Вторая буква согласная) ( Последняя буква гласная?
1) КСЕНИЯ 2) МАКСИМ 3) МАРИЯ 4) СТЕПАН
Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Вторая буква гласная Первая буква гласная) ( Последняя буква согласная?
1) ИРИНА 2) МАКСИМ 3) МАРИЯ 4) СТЕПАН
Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква согласная Последняя буква согласная) ( Вторая буква согласная?
1) ИРИНА 2) СТЕПАН 3) МАРИЯ 4) КСЕНИЯ
Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква гласная Вторая буква гласная) ( Последняя буква гласная?
1) ИРИНА 2) МАКСИМ 3) АРТЕМ 4) МАРИЯ
Для какого названия животного ложно высказывание:
Заканчивается на согласную ( В слове 7 букв ¬(Третья буква согласная)?
1) Верблюд 2) Страус 3) Кенгуру 4) Леопард
Для какого названия животного ложно высказывание:
В слове 4 гласных буквы ( ¬ (Пятая буква гласная) ( В слове 5 согласных букв?
1) Шиншилла 2) Кенгуру 3) Антилопа 4) Крокодил
Для какого названия животного ложно высказывание:
Четвертая буква гласная ¬ (Вторая буква согласная)?
1) Собака 2) Жираф 3) Верблюд 4) Страус
Для какого слова ложно высказывание:
Первая буква слова согласная (Вторая буква имени гласная ( Последняя буква слова согласная)?
1) ЖАРА 2) ОРДА 3) ОГОРОД 4) ПАРАД
Для какого числа X истинно высказывание (X((X-16) > -64) (X > 8)
1) 5 2) 6 3) 7 4) 8
Для какого числа X истинно высказывание (X((X-8) > -25 + 2(X) (X > 7)
1) 4 2) 5 3) 6 4) 7
Для какого символьного набора истинно высказывание:
Вторая буква согласная ( (В слове 3 гласных буквы ( Первая буква согласная)?
1) УББОШТ 2) ТУИОШШ 3) ШУБВОИ 4) ИТТРАО
Для какого имени ложно высказывание:
(Первая буква гласная ( Последняя буква согласная) ¬(Третья буква согласная)?
1) ДМИТРИЙ 2) АНТОН 3) ЕКАТЕРИНА 4) АНАТОЛИЙ
Для какого имени истинно высказывание:
Первая буква гласная ( Четвертая буква согласная ( В слове четыре буквы?
1) Сергей 2) Вадим 3) Антон 4) Илья
Для какого числа X истинно высказывание ((X < 4) (X < 3)) ( ((X < 3) (X < 1))
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква согласная Вторая буква согласная) ( Последняя буква согласная?
1) ИРИНА 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ
Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква согласная Последняя буква согласная) ( Вторая буква согласная?
1) ИРИНА 2) СТЕПАН 3) КСЕНИЯ 4) МАРИЯ
Для какого имени истинно высказывание:
(Первая буква согласная Вторая буква согласная) ( Последняя буква гласная?
1) КСЕНИЯ 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ
Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Последняя буква гласная Первая буква согласная) ( Вторая буква согласная?
1) ИРИНА 2) АРТЁМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ
Для какого слова истинно высказывание:
¬ (Первая буква согласная (Вторая буква согласная ( Последняя буква гласная))?
1) ГОРЕ 2) ПРИВЕТ 3) КРЕСЛО 4) ЗАКОН
Для какого имени истинно высказывание:
(Первая буква согласная Вторая буква гласная) ( Последняя буква согласная?
1) АЛИСА 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) ЕЛЕНА
Для какого имени истинно высказывание:
(Вторая буква гласная Первая буква гласная) ( Последняя буква согласная?
1) АЛИСА 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) ЕЛЕНА
Для какого названия реки ложно высказывание:
(Вторая буква гласная Предпоследняя буква согласная) ( Первая буква стоит в алфавите раньше третьей?
1) ДУНАЙ 2) МОСКВА 3) ДВИНА 4) ВОЛГА
Для каких значений X и Y истинно высказывание:
(Y+1 > X) ( (Y+X < 0) ( (X > 1)?
1) X = 0,5; Y = -1,1 2) X = 1,1; Y = -4 3) X = -1; Y = -4 4) X = -1/10; Y = -1,1
Для какого слова истинно высказывание:
(Вторая буква согласная ( Последняя буква гласная) Первая буква гласная?
1) ГОРЕ 2) ПРИВЕТ 3) КРЕСЛО 4) ЗАКОН
Для какого имени истинно высказывание:
Первая буква согласная ( (¬ Вторая буква согласная Четвертая буква гласная)?
1) ИВАН 2) ПЕТР 3) ПАВЕЛ 4) ЕЛЕНА
Для какого названия станции метро истинно высказывание:
(Первая буква согласная Вторая буква согласная) ~ Название содержит букву «л»)?
Знаком ~ обозначается операция эквивалентности (результат X ~ Y – истина, если значения X и Y совпадают).
1) Маяковская 2) Отрадное 3) Волжская 4) Комсомольская
Для какого названия города истинно высказывание:
(Первая буква гласная ( Последняя буква гласная) ~ Название содержит букву «м»)?
Знаком ~ обозначается операция эквивалентности (результат X ~ Y – истина, если значения X и Y совпадают).
1) Москва 2) Дюссельдорф 3) Амстердам 4) Атланта
Для какого имени истинно высказывание:
(Первая буква согласная ( Вторая буква гласная) В слове 4 буквы?
1) МИХАИЛ 2) ГРИГОРИЙ 3) ЕВГЕНИЙ 4) ИОЛАНТА
Для какого числа X истинно высказывание ((X < 5) (X < 3)) ( ((X < 2) (X > 1))
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [12, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ (x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3, 11] 2) [2, 21] 3) [10, 17] 4)[15, 20]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 10] и Q = [15, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ (x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3, 11] 2) [6, 10] 3) [8, 16] 4)[17, 23]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 30] и Q = [15, 20]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ (x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 15] 2) [12, 30] 3) [20, 25] 4)[26, 28]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 30]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ (x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [0, 15] 2) [3, 20] 3) [10, 25] 4)[25, 40]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 25] и Q = [0, 12]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ (x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 15] 2) [20, 35] 3) [5, 20] 4)[12, 40]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [12, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ (x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 15] 2) [20, 35] 3) [5, 20] 4)[12, 40]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( Q) ) \/ (x ( A)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 15] 2) [20, 35] 3) [15, 22] 4)[12, 18]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( Q) ) \/ (x ( A)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [8, 17] 2) [10, 12] 3) [15, 22] 4)[12, 18]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 40], Q = [5, 15] и R=[35,50]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( Q) ) \/ ( (x ( A) (x ( R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 20] 2) [15, 25] 3) [20, 30] 4)[120, 130]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [0,20], Q = [5, 15] и R=[35,50]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( Q) ) \/ ( (x ( A) (x ( R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [-15,-5] 2) [2, 7] 3) [10,17] 4)[15, 20]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [15,30], Q = [0, 10] и R=[25,35]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( Q) ) \/ ( (x ( A) (x ( R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10,17] 2) [15, 25] 3) [20,30] 4)[35, 40]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [20,50], Q = [15, 20] и R=[40,80]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( Q) ) \/ ( (x ( A) (x ( R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10,25] 2) [20, 30] 3) [40,50] 4)[35, 45]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,50], Q = [15, 20] и R=[30,80]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( Q) ) \/ ( (x ( A) (x ( R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10,25] 2) [25, 50] 3) [40,60] 4)[50, 80]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [0,40], Q = [20, 45] и R=[10,50]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( Q) ) \/ ( (x ( A) (x ( R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [5,20] 2) [10, 15] 3) [15,20] 4)[35,50]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [10,20]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x ( P) /\ (x ( Q) /\ (x ( A)
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
1) [0, 7] 2) [8, 15] 3) [15, 20] 4)[7, 20]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [12, 22] и Q = [7,17]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x ( P) /\ (x ( Q) /\ (x ( A)
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
1) [0, 5] 2) [7, 12] 3) [10, 20] 4)[5, 22]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5,15]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( Q) (x ( P) ) /\ (x ( A)
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
1) [0, 6] 2) [5, 8] 3) [7, 15] 4)[12, 20]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [15, 30], Q = [5,10] и R=[20,25]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( Q) ) /\ ( (x ( A) (x ( R) )
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
1) [0, 20] 2) [0, 10] 3) [10, 15] 4)[25, 30]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [15, 30], Q = [5,10] и R=[10,20]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( Q) ) /\ (x ( A) /\ (x ( R)
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
1) [0, 12] 2) [10, 17] 3) [15, 20] 4)[15, 30]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,15], Q = [10,20] и R=[5,15]. Выберите такой интервал A, что формулы
(x ( A) (x ( P) и (x ( Q) (x ( R)
тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).
1) [5, 12] 2) [10, 17] 3) [12, 20] 4)[15, 25]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [5,10], Q = [15,20] и R=[25,30]. Выберите такой интервал A, что формулы
(x ( A) (x ( P) и (x ( Q) (x ( R)
тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).
1) [5, 10] 2) [15, 20] 3) [10, 20] 4)[15, 25]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,25], Q = [15,30] и R=[25,35]. Выберите такой интервал A, что формулы
(x ( A) (x ( P) и (x ( Q) (x ( R)
тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).
1) (10, 12) 2) (0, 10) 3) (5, 15) 4)(15, 25)
На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,30], Q = [15,30] и R=[20,35]. Выберите такой интервал A, что формулы
(x ( A) (x ( P) и (x ( Q) (x ( R)
тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).
1) (10, 25) 2) (15, 20) 3) (15, 30) 4)(5, 20)
На числовой прямой даны три отрезка: P = [5,15], Q = [10,20] и R=[15,20]. Выберите такой интервал A, что формулы
(x ( A) (x ( P) и (x ( Q) (x ( R)
тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).
1) [3, 10] 2) [7, 12] 3) [12, 17] 4)[22, 25]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [5,25], Q = [5,15] и R=[10,20]. Выберите такой интервал A, что формулы
(x ( A) (x ( P) и (x ( Q) (x ( R)
тождественно различны, то есть принимают разные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).
1) (5, 12) 2) (10, 18) 3) (18, 25) 4)(20, 35)
На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 9] и Q = [4, 12]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ (x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [0, 5] 2) [5, 10] 3) [10, 15] 4)[15, 20]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [4, 16] и Q = [9, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ (x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [1, 11] 2) [3, 10] 3) [5, 15] 4)[15, 25]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 13] и Q = [7, 17]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ ((x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [5, 20] 2) [10, 25] 3) [15, 30] 4)[20, 35]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [11, 21]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( А) (x ( P) ) \/ ((x ( Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [2, 22] 2) [3, 13] 3) [6, 16] 4) [17, 27]
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [30, 45] и Q = [40, 55]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниже формулы истинны при любом значении переменной х:
(( (x ( А)) ((x ( P)
(x ( Q) (x ( A)

Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.
1) [25,50] 2) [25,65] 3) [35,50] 4) [35,85]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [41, 61] и Q = [11, 91]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( А) ) /\ ( (x ( A) (x ( Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении
переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет
большую длину.
1) [7, 43] 2) [7, 73] 3) [37, 53] 4) [37, 63]

На числовой прямой даны два отрезка: P = [32, 52] и Q = [12, 72]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ( P) (x ( А) ) /\ ( (x ( A) (x ( Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении
переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет
большую длину.
1) [7, 53] 2) [7, 33] 3) [27, 53] 4) [27, 33]
([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]) На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,30] и Q = [20, 40]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x ( A) ( (x ( P) ( (x ( Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.
1) [10, 19] 2) [21, 29] 3) [31, 39] 4) [9, 41]
([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]) На числовой прямой даны два отрезка: P = [54,84] и Q = [64, 94]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x ( A) ( (x ( P) ( (x ( Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.
1) [25, 40] 2) [45, 61] 3) [65, 82] 4) [75, 83]
([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] ) На числовой прямой даны два отрезка: P = [34,64] и Q = [74, 94]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x ( A) ( (x ( P) ( (x ( Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.
1) [5, 33] 2) [25, 42] 3) [45, 71] 4) [65, 90]
([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] ) На числовой прямой даны два отрезка: P = [34,84] и Q = [44, 94]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x ( A) ( (x ( P) (x ( Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.
1) [45, 60] 2) [65, 81] 3) [85, 102] 4) [105, 123]
([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]) На числовой прямой даны два отрезка: P = [6, 16] и Q = [30, 50]. Отрезок A таков, что формула
( (x ( А) (x ( Q) ) \/ (x ( P)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?
1) 10 2) 20 3) 21 4)30
([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]) На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 40] и Q = [30, 50]. Отрезок A таков, что формула
( (x ( А) (x ( Q) ) \/ (x ( P)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?
1) 10 2) 20 3) 30 4)40
На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 42] и Q = [22, 62]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x ( A) ( (x ( P) (x ( Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3, 14] 2) [23, 32] 3) [43, 54] 4) [15, 45]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 42] и Q = [22, 62]. Выберите такой отрезок A, что формула
((x ( P) (x ( Q)) (x ( A)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3, 14] 2) [23, 32] 3) [43, 54] 4) [15, 45]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [3,33] и Q = [22, 44]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x ( Q) ( (x ( P) (x ( A) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [2, 20] 2) [10, 25] 3) [20, 40] 4) [25, 30]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [3,33] и Q = [22, 44]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x ( P) ( (x ( Q) (x ( A) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [31, 45] 2) [21, 35] 3) [11, 25] 4) [1, 15]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [23,58] и Q = [10,39]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение
((x ( P) ( (x ( A) ) ((x ( Q) ( (x ( A) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [5, 20] 2) [20, 40] 3) [40, 55] 4) [5, 55]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [20,70] и Q = [5,32]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение
((x ( P) ( (x ( A) ) ((x ( Q) ( (x ( A) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [15, 35] 2) [20, 40] 3) [40, 65] 4) [75, 88]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [23,58] и Q = [1,39]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение
((x ( P) ( (x ( A) ) ((x ( Q) ( (x ( A) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [5, 30] 2) [15, 40] 3) [25, 50] 4) [35, 60]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [8,39] и Q = [23,58]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение
((x ( P) ( (x ( A) ) ((x ( Q) ( (x ( A) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [5, 30] 2) [15, 40] 3) [20, 50] 4) [35, 60]
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
(x
·
·{2, 4, 6, 8, 10, 12}) (((x
·
·{3, 6, 9, 12, 15}) /\ ¬(x
·
·A)) ¬(x
·
·{2, 4, 6, 8, 10, 12}))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(x
·
·{2, 4, 6, 8, 10, 12})
· (¬(x
·
·{3, 6, 9, 12, 15}) (x
·
·A))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(x
·
·{1, 2, 3, 4, 5, 6})
· (¬(x
·
·{3, 6, 9, 12, 15}) (x
·
·A))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
((x
·
·{3, 5, 7, 11, 12, 15}) (x
·
·{5, 6, 12, 15}))
· (x
·
·A)
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
((x
·
·{1, 3, 5, 7, 9, 12}) (x
·
·{3, 6, 9, 12}))
· (x
·
·A)
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
(x
·
·{2, 4, 8, 12, 15}) ((x
·
·{3, 6, 8, 15})
· (x
·
·A))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
((x
·
·{3, 5, 7, 11, 12}) ¬(x
·
·{5, 6, 12, 15}))
· (x
·
·A)
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
((x
·
·{1, 3, 5, 7, 9, 11}) ¬(x
·
·{3, 6, 9, 12}))
· (x
·
·A)
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
(x
·
·{2, 4, 8, 12, 15}) (¬(x
·
·{3, 6, 8, 15})
· (x
·
·A))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(x
·
·{1, 2, 4, 8, 16}) ( ¬(x
·
·{3, 4, 9, 16})
· (x
·
·A)
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(x
·
·{2, 4, 8, 12, 16}) ( ¬(x
·
·{3, 6, 7, 15})
·¬(x
·
·{3, 6, 7, 15})
· (x
·
·A)
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(x
·
·A) (¬(x
·
·{1, 2, 3, 4, 5, 6}) ( (x
·
·{3, 5, 15}))
·¬(x
·
·{3, 5, 15})
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества A. Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(x
·
·A) ¬(x
·
·{1, 3, 7})
· (¬(x
·
·{1, 2, 4, 5, 6}) ( (x
·
·{1, 3, 7}))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(x
·
·A) (¬(x
·
·{1, 2, 3, 4})
· ¬(x
·
·{1, 2, 3, 4, 5, 6}))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(x
·
·A) (¬(x
·
·{1, 12}) ( ¬(x
·
·{12, 13, 14, 15, 16}))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(x
·
·A) ¬((x
·
·{1, 2, 4, 8})
· (x
·
·{1, 2, 3, 4, 5, 6}))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(¬(x
·
·A) ( (x
·
·{3, 6, 9, 12}))
·¬(x
·
·{1, 2, 3, 4, 5, 6}))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.


 Огастес (Август) де Морган – шотландский математик и логик.
 но которая, к сожалению, почти не нужна на практике. (
 Источники заданий:
Демонстрационные варианты ЕГЭ 2004-2015 гг.
Тренировочные и диагностические работы МИОО.
Гусева И.Ю. ЕГЭ. Информатика: раздаточный материал тренировочных тестов. СПб: Тригон, 2009.
Якушкин П.А., Лещинер В.Р., Кириенко Д.П. ЕГЭ 2010. Информатика. Типовые тестовые задания. М: Экзамен, 2010.
Крылов С.С., Ушаков Д.М. ЕГЭ 2010. Информатика. Тематическая рабочая тетрадь. М.: Экзамен, 2010.
Якушкин П.А., Ушаков Д.М. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010. Информатика. М.: Астрель, 2009.
М.Э. Абрамян, С.С. Михалкович, Я.М. Русанова, М.И. Чердынцева. Информатика. ЕГЭ шаг за шагом. – М.: НИИ школьных технологий, 2010.
Самылкина Н.Н., Островская Е.М. ЕГЭ 2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. М.: Эксмо, 2010.
Крылов С.С., Лещинер В.Р., Якушкин П.А. ЕГЭ 2011. Информатика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. М.: Интеллект-центр, 2011.
Чуркина Т.Е. ЕГЭ 2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. М.: Эксмо, 2010.









© К. Поляков, 2009-2014

13 PAGE \* MERGEFORMAT 14315 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]



40

x

13 EMBED Equation.3 1415

77

13 EMBED Equation.3 1415

60

37

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

10

23

x

13 EMBED Equation.3 1415

55

13 EMBED Equation.3 1415

39

10

23

x

13 EMBED Equation.3 1415

58

13 EMBED Equation.3 1415

39

10

20

x

13 EMBED Equation.3 1415

55

13 EMBED Equation.3 1415

25

14

24

x

13 EMBED Equation.3 1415

44

13 EMBED Equation.3 1415

34

20

50

x

13 EMBED Equation.3 1415

10

60

x

13 EMBED Equation.3 1415

35

55

x

13 EMBED Equation.3 1415

2

6

10

14

x

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

2

15

20

25

x

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

10

15

30

40

x

25

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

10

15

30

40

x

25

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

10

15

30

40

x

25

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

10

15

40

x

25

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

5

20

13 EMBED Equation.3 1415

10

15

40

x

25

13 EMBED Equation.3 1415

5

20

13 EMBED Equation.3 1415

10

15

x

25

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

5

20

13 EMBED Equation.3 1415

10

15

x

25

13 EMBED Equation.3 1415

5

20

13 EMBED Equation.3 1415

10

15

x

25

13 EMBED Equation.3 1415

5

20

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 19143790
    Размер файла: 763 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий